1、如果把 RtABC 的各边长都扩大到原来的 n 倍， 那么锐角 A 的四个三角比值 （ ） A都缩小到原来的 n 倍 B都扩大到原来的 n 倍 C都没有变化 D不同三角比的变化不一致 2 （4 分） 已知 P 是线段 AB 的黄金分割点， 且 APBP， 那么下列比例式能成立的是 （ ） A B C D 3 （4 分）k 为任意实数，抛物线 ya（xk）2k（a0）的顶点总在（ ） A直线 yx 上 B直线 yx 上 Cx 轴上 Dy 轴上 4 （4 分）如图，在正三角形 ABC 中，点 D、E 分别在 AC、AB 上，且，AEBE， 那么有（ ） AAEDBED BBADBCD CAEDAB
2、D DAEDCBD 5 （4 分）下列命题是真命题的是（ ） A经过平面内任意三点可作一个圆 B相等的圆心角所对的弧一定相等 C相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线 D内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和 6 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有以下结论： a0；abc0；ab+c0；b24ac0； 其中正确的结论有（ ） 第 2 页（共 27 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应分） 【请将结果直接填入答题纸的相应
3、位置上】位置上】 7 （4 分）如果线段 a4 厘米，c9 厘米，那么线段 a、c 的比例中项 b 厘米 8 （4 分）在ABC 中，若C90，AB10，sinA，则 BC 9 （4 分）抛物线 y2（x1） 2+3 在对称轴右侧的部分是 的 （填“上升”或“下 降” ） 10 （4 分）如果两个相似三角形的相似比为 2：3，两个三角形的周长的和是 100cm，那么 较小的三角形的周长为 cm 11 （4 分） 为单位向量， 与 的方向相反，且长度为 6，那么 12 （4 分）某人从地面沿着坡度为 i1：的山坡走了 100 米，这时他离地面的高度是 米 13 （4 分）已知正方形 ABCD 的
4、边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 BC 的延长线上的点 E 处，那么 tanBAE 14 （4 分）已知在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，C 与斜边 AB 相切，那么 C 的半径为 15 （4 分）设抛物线 l：yax2+bx+c（a0）的顶点为 D，与 y 轴的交点是 C，我们称以 C 为顶点，且过点 D 的抛物线为抛物线 l 的“伴随抛物线” ，请写出抛物线 yx24x+1 的 伴随抛物线的解析式 16 （4 分）半径分别为 3cm 与cm 的O1与O2相交于 A、B 两点，如果公共弦 AB 4cm，那么圆心距 O1O2的长为 cm 17 （4 分）
5、正五边形的边长与边心距的比值为 （用含三角比的代数式表示） 18 （4 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC4，BC6，点 D 在底边 BC 上，且DAC ACD，将ACD 沿着 AD 所在直线翻折，使得点 C 落到点 E 处，联结 BE，那么 BE 第 3 页（共 27 页） 的长为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）已知二次函数图象的最高点是 A（1，4） ，且经过点 B（0，3） ，与 x 轴交于 C、 D 两点（点 C 在点 D 的左侧） 求BCD 的面积 20 （10 分）已知：在平行四边形 ABCD 中，AB：
6、BC3：2 （1）根据条件画图：作BCD 的平分线，交边 AB 于点 E，取线段 BE 的中点 F，联结 DF 交 CE 于点 G （2）设 ， ，那么向量 ； （用向量 、 表示） ，并在图中画出向 量在向量和方向上的分向量 21 （10 分）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC4，tanB3以 AB 为直径作O，交边 DC 于 E、F 两点 （1）求证：DECF； （2）求：直径 AB 的长 22 （10 分）2019 年第 18 号台风“米娜”于 9 月 29 日早晨 5 点整，由位于台湾省周边的 B 岛东南方约 980 千米的西北太平洋洋面上（A 点）生成，向西
7、北方向移动并于 9 月 30 日 20 时 30 分到达 B 岛后风力增强且转向，一路向北于 24 小时后在浙江省舟山市登陆 “米娜” 在登录后风力减弱且再一次转向， 以每小时 20 千米的速度向北偏东 30的方向 移动，距台风中心 170 千米的范围内是受台风影响的区域已知上海位于舟山市北偏西 第 4 页（共 27 页） 7方向，且距舟山市 250 千米 （1）台风中心从生成点（A 点）到达 B 岛的速度是每小时多少千米？ （2）10 月 2 日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？ （结果保留整数，参考数据：sin230.39，cos230.92，tan230.42；
8、sin37 0.60，cos370.80，tan370.75 ） 23 （12 分）如图，在ABC 中，BD 是 AC 边上的高，点 E 在边 AB 上，联结 CE 交 BD 于 点 O，且 ADOCABOD，AF 是BAC 的平分线，交 BC 于点 F，交 DE 于点 G 求证： （1）CEAB； （2）AFDEAGBC 24 （12 分）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线 x2 的抛物线经过点 C（0， 2） ，与 x 轴交于 A（3，0） 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结 BC，求BCO 的余切值； （3）如果过点 C 的直线
9、，交 x 轴于点 E，交抛物线于点 P，且CEOBCO，求点 P 的坐标 第 5 页（共 27 页） 25 （14 分）已知：如图，在 RtABC 和 RtACD 中，ACBC，ACB90，ADC 90，CD2， （点 A、B 分别在直线 CD 的左右两侧） ，射线 CD 交边 AB 于点 E，点 G 是 RtABC 的重心，射线 CG 交边 AB 于点 F，ADx，CEy （1）求证：DABDCF； （2）当点 E 在边 CD 上时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）如果CDG 是以 CG 为腰的等腰三角形，试求 AD 的长 第 6 页（共 27 页） 2020
10、 年上海市闵行区中考数学一模试卷年上海市闵行区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1（4 分） 如果把 RtABC 的各边长都扩大到原来的 n 倍， 那么锐角 A 的四个三角比值 （ ） A都缩小到原来的 n 倍 B都扩大到原来的 n 倍 C都没有变化 D不同三角比的
11、变化不一致 【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义， 可得答案 【解答】解：如果把 RtABC 的三边长度都扩大 2 倍，锐角 A 不变，锐角三角函数值不 变， 故选：C 【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变 2 （4 分） 已知 P 是线段 AB 的黄金分割点， 且 APBP， 那么下列比例式能成立的是 （ ） A B C D 【分析】根据黄金分割的定义：把线段 AB 分成两条线段 AP 和 BP（APBP） ，且使 AP 是 AB 和 BP 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点 【解答
12、】解：根据黄金分割定义可知： AP 是 AB 和 BP 的比例中项， 即 AP2ABBP， 故选：A 【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义 3 （4 分）k 为任意实数，抛物线 ya（xk）2k（a0）的顶点总在（ ） A直线 yx 上 B直线 yx 上 Cx 轴上 Dy 轴上 【分析】求出抛物线的顶点为（k，k） ，可以得到顶点在 yx 直线上 第 7 页（共 27 页） 【解答】解：ya（xk）2k（a0） ， 抛物线的顶点为（k，k） ， k 为任意实数， 顶点在 yx 直线上， 故选：B 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法，和一次函数的性
13、质 是解题的关键 4 （4 分）如图，在正三角形 ABC 中，点 D、E 分别在 AC、AB 上，且，AEBE， 那么有（ ） AAEDBED BBADBCD CAEDABD DAEDCBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定AEDCBD 【解答】解：AD：AC1：3， AD：DC1：2； ABC 是正三角形， ABBCAC； AEBE， AE：BCAE：AB1：2 AD：DCAE：BC； A 为公共角， AEDCBD； 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三 角形相似；也考查了等边三角形的性质 5 （4 分）下列命题是
14、真命题的是（ ） A经过平面内任意三点可作一个圆 第 8 页（共 27 页） B相等的圆心角所对的弧一定相等 C相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线 D内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和 【分析】利用确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系分别判断后即可确定正确 的选项 【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题； C、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题； D、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差错误，是假命题； 故选：C 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确
15、定圆的条件，弦、弧的关 系及两圆的位置关系，属于基础题，难度不大 6 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有以下结论： a0；abc0；ab+c0；b24ac0； 其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用抛物线开口方向对进行判断；利用对称轴的位置得到 b0，利用抛物线 与 y 轴的交点位置得到 c0，则可对进行判断；利用自变量为1 对应的函数值为负 数可对进行判断；利用抛物线与 x 轴的交点个数和判别式的意义可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0，所以正确； 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， a、b 异号，即 b0， 抛
16、物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， 第 9 页（共 27 页） c0， abc0，所以错误； x1 时，y0， 即 ab+c0，所以正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以错误 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向 和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和 二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异 号时，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛 物线与 x 轴交点个
17、数由判别式确定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交 点 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应分） 【请将结果直接填入答题纸的相应 位置上】位置上】 7 （4 分）如果线段 a4 厘米，c9 厘米，那么线段 a、c 的比例中项 b 6 厘米 【分析】根据比例中项的定义得到 a：bb：c，然后利用比例性质计算即可 【解答】解：线段 a 和 c 的比例中项为 b， a：bb：c， 即 4：bb
18、：9， b6（负值舍去） 故答案为：6 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即 它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：bc：d（即 adbc） ，我们就说这四条 线段是成比例线段，简称比例线段判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小 顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可 8 （4 分）在ABC 中，若C90，AB10，sinA，则 BC 4 【分析】根据锐角三角函数的定义得出 sinA，代入求出即可 第 10 页（共 27 页） 【解答】解： sinA，SB10， BC4， 故答案为：4 【点评】本题考查了锐角三角函数
19、的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题 的关键 9 （4 分）抛物线 y2（x1）2+3 在对称轴右侧的部分是 下降 的 （填“上升”或 “下降” ） 【分析】根据 a0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势 【解答】解：a20， 抛物线开口向下， 对称轴右侧的部分呈下降趋势 故答案为：下降 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变 化规律是解题的关键 10 （4 分）如果两个相似三角形的相似比为 2：3，两个三角形的周长的和是 100cm，那么 较小的三角形的周长为 40 cm 【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算 【解答】解
20、：设较小的三角形的周长为 xcm，则较大的三角形的周长为（100x）cm， 两个相似三角形的相似比为 2：3， 两个相似三角形的周长比为 2：3， ， 解得，x40， 故答案为：40 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的 关键 第 11 页（共 27 页） 11 （4 分） 为单位向量， 与 的方向相反，且长度为 6，那么 6 【分析】根据平面向量的性质解决问题即可 【解答】解： 为单位向量， 与 的方向相反，且长度为 6， 6 ， 故答案为6 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 12 （4 分） 某人从地面沿着坡度
21、为 i1：的山坡走了 100 米， 这时他离地面的高度是 50 米 【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形利用坡度比找到垂直高 度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答 【解答】解：坡度为 i1：， 设离地面的高度为 x，那么水平距离为x x2+（x）21002 解得 x50 即这时他离地面的高度是 50 米 【点评】本题考查了坡度垂直距离：水平距离它们与斜边构成直角三角形 13 （4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 BC 的延长线上的点 E 处，那么 tanBAE 【分析】由正方形 ABCD 中四个内角为直角
22、，四条边相等，求出 BC 与 DC 的长，利用 勾股定理求出 BD 的长，由旋转的性质可求 BE 的长，即可求解 【解答】解；如图， 正方形 ABCD， ABCC90， 在 RtBCD 中，DCBC2， 根据勾股定理得：BD2， 第 12 页（共 27 页） 将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 BC 的延长线上的点 E 处， BEBD2， tanBAE， 故答案为： 【点评】此题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形等知识，熟 练掌握勾股定理是解本题的关键 14 （4 分）已知在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，C 与斜边 AB 相切，那么 C 的半径为 【
23、分析】r 的长即为斜边 AB 上的高，由勾股定理易求得 AB 的长，根据直角三角形面积 的不同表示方法，即可求出 r 的值 【解答】解：RtABC 中，C90，AC3，BC4； 由勾股定理，得：AB232+4225， AB5； 又AB 是C 的切线， CDAB， CDr； SABCACBCABr， r， 故答案为： 【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，熟练掌握切线的 性质是解题的关键 15 （4 分）设抛物线 l：yax2+bx+c（a0）的顶点为 D，与 y 轴的交点是 C，我们称以 C 第 13 页（共 27 页） 为顶点，且过点 D 的抛物线为抛物线 l 的“伴
24、随抛物线” ，请写出抛物线 yx24x+1 的 伴随抛物线的解析式 yx2+1 【分析】先根据抛物线的解析式求出其顶点 D 和抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标然后根 据 C 的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将 D 点的坐标代入抛物线 的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 yx24x+1（x2）23， 顶点坐标 D 为（2，3） ，与 y 轴交点为 C（0，1） ， 设伴随抛物线的解析式为：yax2+1，把 D（2，3）代入得 a1， 伴随抛物线 yx2+1， 故答案为：yx2+1 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键
25、是 正确理解题意再用待定系数法求函数解析式 16 （4 分）半径分别为 3cm 与cm 的O1与O2相交于 A、B 两点，如果公共弦 AB 4cm，那么圆心距 O1O2的长为 2 或 4 cm 【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质 解题 【解答】解：如图，O1与O2相交于 A、B 两点， O1O2AB，且 ADBD； 又AB4厘米， AD2厘米， 在 RtAO1D 中，根据勾股定理知 O1D1 厘米； 在 RtAO2D 中，根据勾股定理知 O2D3 厘米， O1O2O1D+O2D4 厘米； 同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得 O1O23 厘米1 厘米2
26、厘米 故答案是：4 或 2； 【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点注意，解题时要分类 第 14 页（共 27 页） 讨论，以防漏解 17 （4 分）正五边形的边长与边心距的比值为 2tan36 （用含三角比的代数式表示） 【分析】根据圆内接正五边形的性质求出BOC，再根据垂径定理求出136，然后 利用勾股定理和解直角三角形即可得解 【解答】解：O 是正五边形 ABCDE 的外接圆， BOC36072， 1BOC7236， 设这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为 r，R2r2（a）2a2， aRsin36， a2Rsin36； artan36， a2rtan36，
27、2tan36， 故正五边形的边长与边心距的比值为 2tan36， 故答案为：2tan36 【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并 求出中心角的度数是解题的关键 18 （4 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC4，BC6，点 D 在底边 BC 上，且DAC ACD，将ACD 沿着 AD 所在直线翻折，使得点 C 落到点 E 处，联结 BE，那么 BE 的长为 1 第 15 页（共 27 页） 【分析】只要证明ABDMBE，得，只要求出 BM、BD 即可解决问题 【解答】解：ABAC， ABCC， DACACD， DACABC， CC， CADCBA， ， ，
28、 CD，BDBCCD， DAMDACDBA，ADMADB， ADMBDA， ，即， DM，MBBDDM， ABMCMED， A、B、E、D 四点共圆， ADBBEM，EBMEADABD， ABDMBE， （不用四点共圆，可以先证明BMAEMD，推出BMEAMD， 推出ADBBEM 也可以！ ） ， BE1 故答案为：1 第 16 页（共 27 页） 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题， 题目比较难 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分
29、）分） 19 （10 分）已知二次函数图象的最高点是 A（1，4） ，且经过点 B（0，3） ，与 x 轴交于 C、 D 两点（点 C 在点 D 的左侧） 求BCD 的面积 【分析】根据二次函数图象的最高点是 A（1，4） ，且经过点 B（0，3） ，可以求得该函数 的解析式，然后令 y0，求出相应的 x 的值，即可得到点 C 和点 D 的坐标，从而可以求 得BCD 的面积 【解答】解：设二次函数解析式为 ya（x1）2+4（a0） ， 把 B（0，3）代入得 3a（01）2+4 解得：a1， 令 y0，那么（x1）2+40， 解得：x13，x21， 点 C 的坐标为（1，0） ，点 D 的坐
30、标为（3，0） ， CD4， 点 B 的坐标为（0，3） ， OB3， BCD 的面积是：6 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关 键是明确题意，利用二次函数的性质解答 20 （10 分）已知：在平行四边形 ABCD 中，AB：BC3：2 （1）根据条件画图：作BCD 的平分线，交边 AB 于点 E，取线段 BE 的中点 F，联结 DF 交 CE 于点 G （2）设 ， ，那么向量 ； （用向量 、 表示） ，并在图中 画出向量在向量和方向上的分向量 第 17 页（共 27 页） 【分析】 （1）首先作BCD 的平分线，然后作 BE 的垂直平分线即可
31、； （2）首先判定GEFGCD，然后根据 AB：BC3：2，得，进而得出 EFCD，CGCE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量 【解答】解： （1）作BCD 的平分线，交边 AB 于点 E，取线段 BE 的中点 F，联结 DF 交 CE 于点 G 作图如下： （2）CE 为BCD 的平分线， BCEDCE 又ABCD DCEBEC GEFGCD AB：BC3：2 EFCD，CGCE ， ， ， +， 第 18 页（共 27 页） （+）（+ ） 同理可得， （+）（ ） 在向量和方向上的分向量，如图所示： 故答案为： 【点评】此题考查了角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题
32、 21 （10 分）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC4，tanB3以 AB 为直径作O，交边 DC 于 E、F 两点 （1）求证：DECF； （2）求：直径 AB 的长 【分析】 （1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出 DHHC，进而得出 答案； （2）过点 A 作 AGBC，垂足为点 G，再利用已知结合勾股定理得出答案 【解答】 （1）证明：过点 O 作 OHDC，垂足为 H ADBC，ADC90，OHDC， BCNOHCADC90 ADOHBC 第 19 页（共 27 页） 又OAOB DHHC OHDC，OH 过圆心， EHHF， DHEHHCH
33、F 即：DECF （2）解：过点 A 作 AGBC，垂足为点 G，AGB90， AGBBCN90， AGDC ADBC， ADCG AD2，BC4， BGBCCG2 在 RtAGB 中，tanB3， AGBGtanB236 在 RtAGB 中，AB2AG2+BG2 AB 【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键 22 （10 分）2019 年第 18 号台风“米娜”于 9 月 29 日早晨 5 点整，由位于台湾省周边的 B 岛东南方约 980 千米的西北太平洋洋面上（A 点）生成，向西北方向移动并于 9 月 30 日 20 时 30 分到达 B 岛后风力增强且转向
34、，一路向北于 24 小时后在浙江省舟山市登陆 “米娜” 在登录后风力减弱且再一次转向， 以每小时 20 千米的速度向北偏东 30的方向 移动，距台风中心 170 千米的范围内是受台风影响的区域已知上海位于舟山市北偏西 7方向，且距舟山市 250 千米 （1）台风中心从生成点（A 点）到达 B 岛的速度是每小时多少千米？ 第 20 页（共 27 页） （2）10 月 2 日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？ （结果保留整数，参考数据：sin230.39，cos230.92，tan230.42；sin37 0.60，cos370.80，tan370.75 ） 【分析】 （
35、1）由题意得，AB980 千米，台风中心到达 B 岛的时间是 39.5 小时，于是得 到结论； （2）过点 S 作 SHZD，垂足为点 H，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）由题意得，AB980 千米，台风中心到达 B 岛的时间是 39.5 小时， （千米） ， 答：台风中心从生成点（A 点）到达 B 岛的速度是每小时 25 千米； （2）过点 S 作 SHZD，垂足为点 H， SHZ90， NZD30，CZN7， CZDCZN+NZD7+3037， 在 RtSHZ 中，sinCZD CZD37，SZ250 千米， SHSZsinCZD250sin372500.60150（千米）
36、， 150 千米170 千米， 设台风中心移动到 E 处时上海开始遭受台风影响 到 F 处影响结束即 SESF170（千米） 第 21 页（共 27 页） 在 RtSEH 中，SHE90，SE2SH2+HE2， ， EF2EH160（千米） ， 上海遭受这次台风影响的时间为（小时） ， 答：上海遭受这次台风影响的时间为 8 小时 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系， 解题的关键是构造直角三角形 23 （12 分）如图，在ABC 中，BD 是 AC 边上的高，点 E 在边 AB 上，联结 CE 交 BD 于 点 O，且 ADOCABOD，AF 是BAC
37、的平分线，交 BC 于点 F，交 DE 于点 G 求证： （1）CEAB； （2）AFDEAGBC 【分析】 （1）由已知得出，证明 RtADBRtODC，得出ABDOCD， 证出OEB90，即可得出结论； （2）证明ADBAEC，得出，即，证明DAEBAC，由相似三 角形的性质得出，即可得出结论 第 22 页（共 27 页） 【解答】证明： （1）ADOCABOD， ， BD 是 AC 边上的高， BDCBDA90，ADB 和ODC 是直角三角形， RtADBRtODC， ABDOCD， 又EOBDOC， DOC+OCD+ODC180， EOB+ABD+OEB180 OEB90， CEAB；
38、 （2）在ADB 和AEC 中， BADCAE，ABDOCD， ADBAEC， ，即， 在DAE 和BAC 中 DAEBAC， DAEBAC， AF 是BAC 的平分线， ，即 AFDEAGBC 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定定理是解题的关 键 24 （12 分）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线 x2 的抛物线经过点 C（0， 2） ，与 x 轴交于 A（3，0） 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结 BC，求BCO 的余切值； （3）如果过点 C 的直线，交 x 轴于点 E，交抛物线于点 P，且CEO
39、BCO，求点 P 的坐标 第 23 页（共 27 页） 【分析】 （1）设抛物线的表达式为 yax2+bx+c，将 A，B 的坐标及对称轴方程代入即可； （2）分别求出点 B，C 的坐标，直接在 RtOBC 中，根据余切定义即可求出； （3）设点 E 的坐标是（x，0） ，求出点 E 的坐标，再求出 CE 的解析式，即可求出其与 抛物线的交点坐标 【解答】解： （1）设抛物线的表达式为 yax2+bx+c，将点 C（0，2） 、A（3，0） 、对 称轴直线 x2 代入， 得：， 解得：， 这条抛物线的表达式为； （2）令 y0，那么， 解得 x13，x21， 点 A 的坐标是（3，0） ，点
40、B 的坐标是（1，0） ， C（0，2） ， OB1，OC2， 在 RtOBC 中，BOC90， ； （3）设点 E 的坐标是（x，0） ，得 OE|x| 第 24 页（共 27 页） CEOBCO， cotCEOcotBCO， 在 RtEOC 中， |x|4，点 E 坐标是（4，0）或（4，0） ， 点 C 坐标是（0，2） ， ， ，或 解得和（舍去） ，或和（舍去） ； 点 P 坐标是（，）或（，） 第 25 页（共 27 页） 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点 E 坐标 时需注意可在 x 轴的正半轴，也可在负半轴 25 （14 分）已知：如图，在
41、RtABC 和 RtACD 中，ACBC，ACB90，ADC 90，CD2， （点 A、B 分别在直线 CD 的左右两侧） ，射线 CD 交边 AB 于点 E，点 G 是 RtABC 的重心，射线 CG 交边 AB 于点 F，ADx，CEy （1）求证：DABDCF； （2）当点 E 在边 CD 上时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）如果CDG 是以 CG 为腰的等腰三角形，试求 AD 的长 【分析】 （1）由点 G 是 RtABC 的重心，证明 CFAB，即AFC90，利用外角的 性质即可证明结论； （2）过点 B 作 BHCD 于点 H，先证CADBCH，得
42、出 BHCD2，CHADx， DH2x，再证ADEBHE，利用合比性质即可求出结论； （3）分两种情况讨论，当 GCGD 时，如图 21，取 AC 的中点 M，联结 MD，可证 ADCH；当 CGCD 时，如图 22，可由重心分别求出 CF，AC，CD 的长， 可由勾股定理求出 AD 的长 【解答】 （1）证明：点 G 是 RtABC 的重心， CF 是 RtABC 的中线， 又在 RtABC 中，ACBC，ACB90， CFAB，即AFC90， DEFADE+DAEEFC+ECF，且ADEEFC90， DABDCF； （2）解：如图 1，过点 B 作 BHCD 于点 H， 则CBH+BCH9
43、0， 又BCH+ACD90， 第 26 页（共 27 页） ACDCBH， 又ADCCHB90，ACCB， CADBCH， BHCD2，CHADx，DH2x， ADCCHBBHD90， ADBH， ADEBHE， ， ， ， ， ； （3）解：当 GCGD 时，如图 21， 取 AC 的中点 M，联结 MD，那么 MDMC， 联结 MG，MGCD，且直线 MG 经过点 B，那么 BH 与 MG 共线， 又 CHAD，那么 ADCH； 当 CGCD 时，如图 22， 即 CG2，点 G 为ABC 的重心， ， AB2CF6， ， ； 综上所述，AD1 或 第 27 页（共 27 页） 【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练 掌握重心的性质
