1、已知集合 A0，1，2，3，Bx|2x10，则 AB（ ） A0，1 B0，1，2 C2，3 D1，2，3 2 （5 分）已知复数 z，则复数 z 的模为（ ） A5 B C D 3 （5 分）已知 sin，则 cos（+2）（ ） A B C D 4 （5 分）某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是 （ ） A2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同 B支出最高值与支出最低值的比是 6：1 C第三季度平均收入为 50 万元 D利润最高的月份是 2 月份 第 2 页（共 23 页） 5 （5 分）若 alog32，blg0.2，c2
2、0.2，则（ ） Acba Bbac Cabc Dbca 6 （5 分）将函数 ysin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 （ ） A在区间，上单调递增 B在区间，上单调递减 C在区间，上单调递增 D在区间，2上单调递减 7 （5 分）已知向量，若，则实数 （ ） A1 或3 B1 C3 D1 或 3 8 （5 分）已知数列an满足，且 a2+a4+a69，则 （ ） A3 B3 C D 9 （5 分）如图所示程序框图，若输出的 x 为1，则输入 x0的值为（ ） 第 3 页（共 23 页） A1 B C1 D2 10（5 分） 已知点 F 是抛物线 y2x2的焦点， M，
3、 N 是该抛物线上的两点， 若， 则线段 MN 中点的纵坐标为（ ） A B2 C D3 11 （5 分）双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作倾斜 角为 60的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A，B 两点，若点 A 平分线段 F1B，则 该双曲线的离心率是（ ） A B2+ C2 D+1 12 （5 分）已知函数 f（x）lnx+a，g（x）ax+b+1，若x0，f（x）g（x） ，则的 最小值是（ ） A1+e B1e Ce 1 D2e 1 二、填空题：本大题二、填空题：本大题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分。分。 13 （
4、5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为 14 （5 分）二项式（x）8的展开式中，含 x4项的系数为 15 （5 分）在四面体 PABC 中，若APBBPCAPC，且 PA3，PB4，PC 5，则该四面体的外接球的表面积为 16 （5 分）已知数列an满足 a2，且 3anan1n+1（nN*且 n2） ，记数列an） 的前 n 项和为 Sn，则 Sn的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生
5、都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。 ）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 acosB+bsinAc （1）求角 A 的大小； （2）若，ABC 的面积为，求 b+c 的值 18 （12 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16现采用分层抽 第 4 页（共 23 页） 样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 （）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7
6、 人中随机抽取 3 人做进 一步的身体检查 （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事 件 A 发生的概率 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ABC90， ABPBPCBC2CD，平面 PBC平面 ABCD （）求证：AB平面 PBC； （）求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小 20 （12 分）已知点 F1，F2为椭圆1（ab0）的左、右焦点，焦距为 2，且离 心率为 （）求椭圆的方程； （
7、）若过 F2的直线 l 与圆交于 A，B 两点，且满足|F2A|F2B|（12） ，求ABF1 中 AB 边上中线长的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）axlnx （）讨论 f（x）的单调性； （）若，求证：f（x）2axxeax 1 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方：坐标系与参数方程程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 第 5 页（共 23 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直
8、线 l 的参数方程为（t 为参数） ，圆 C 的 标准方程为（x3）2+（y3）24以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系 （1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程； （2）若射线 与 l 的交点为 M，与圆 C 的交点为 A，B，且点 M 恰好为线段 AB 的 中点，求 a 的值 选修选修 4-5：不等式讲：不等式讲（本小遐满分（本小遐满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x1| （1）解不等式 f（2x）+f（x+4）6； （2）若 a、bR，|a|1，|b|1，证明：f（ab）f（ab+1） 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年广西桂林十八中高三（上）第
9、一次月考数学试卷学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，Bx|2x10，则 AB（ ） A0，1 B0，1，2 C2，3 D1，2，3 【分析】可解出 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：； AB1，2，3 故选：D 【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算 2
10、（5 分）已知复数 z，则复数 z 的模为（ ） A5 B C D 【分析】直接由商的模等于模的商求解 【解答】解：z， |z| 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）已知 sin，则 cos（+2）（ ） A B C D 【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果 【解答】解：sin，则 cos（+2）cos22sin21， 故选：D 【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题 第 7 页（共 23 页） 4 （5 分）某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误
11、的是 （ ） A2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同 B支出最高值与支出最低值的比是 6：1 C第三季度平均收入为 50 万元 D利润最高的月份是 2 月份 【分析】通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可 【解答】 解： A， 2至 3 月份的收入的变化率为20， 11至 12 月份的变化率为 20，故相同A 正确 B，支出最高值是 2 月份 60 万元，支出最低值是 5 月份的 10 万元，故支出最高值与支出 最低值的比是 6：1 故 B 正确 C，第三季度的 7，8，9 月每个月的收入分别为 40 万元，50 万元，60 万元，故第三季度 的平均收入为
12、50 万元，故 C 正确 D，利润最高的月份是 3 月份和 10 月份都是 30 万元，高于 2 月份的利润是 806020 万元，故 D 错误 故选：D 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目 5 （5 分）若 alog32，blg0.2，c20.2，则（ ） Acba Bbac Cabc Dbca 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 【解答】解：0log31alog32log331， blg0.2lg10， c20.2201， bac 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、
13、指数函数的单调性的合理运用 6 （5 分）将函数 ysin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 （ ） A在区间，上单调递增 B在区间，上单调递减 C在区间，上单调递增 D在区间，2上单调递减 【分析】 将函数 ysin （2x+） 的图象向右平移个单位长度， 得到的函数为： ysin2x， 增区间为+k，+k，kZ，减区间为+k，+k，kZ，由此能求出 结果 【解答】解：将函数 ysin（2x+）的图象向右平移个单位长度， 得到的函数为：ysin2x， 增区间满足：+2k2x，kZ， 减区间满足：2x，kZ， 增区间为+k，+k，kZ， 第 9 页（共 23 页） 减区间为
14、+k，+k，kZ， 将函数 ysin（2x+）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数在区间，上单调递增 故选：A 【点评】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 7 （5 分）已知向量，若，则实数 （ ） A1 或3 B1 C3 D1 或 3 【分析】由向量的加减坐标运算和模的公式，解方程可得所求值 【解答】解：向量，若， 可得|（3+，12）|5， 即有（3+）2+（12）225， 解得 1 或3， 故选：A 【点评】本题考查向量的坐标运算和模的公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题 8 （5 分
15、）已知数列an满足，且 a2+a4+a69，则 （ ） A3 B3 C D 【分析】数列an满足，可得 an+1an+2，即 an+1an2，由 a2+a4+a6 9，利用等差数列的性质可得 3a49，利用通项公式解得 a1而 a5+a7+a93a7，再利 用对数运算性质即可得出 【解答】解：数列an满足，an+1an+2，即 an+1an2， 数列an是等差数列，公差为 2 a2+a4+a69，3a49，a43， a1+323，解得 a13 a5+a7+a93a73（3+62）27 第 10 页（共 23 页） 3 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、对数运算性质，考查了
16、推理能力与 计算能力，属于中档题 9 （5 分）如图所示程序框图，若输出的 x 为1，则输入 x0的值为（ ） A1 B C1 D2 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：由题意知 i0 时 xx0， i1 时 x1， i2 时 x1， i3 时 xx0， 以此类推可知 x200811，解得 x02 故选：D 第 11 页（共 23 页） 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 10（5 分） 已知点 F 是抛物线
17、 y2x2的焦点， M， N 是该抛物线上的两点， 若， 则线段 MN 中点的纵坐标为（ ） A B2 C D3 【分析】根据抛物线的定义求出 M，N 两点到焦点的距离之和，再利用中点坐标公式得 出答案 【解答】解：抛物线的标准方程为：x2， 抛物线的准线方程为：y， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则|MF|+|NF|y1+y2+， y1+y24， 线段 MN 中点的纵坐标为2 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的定义，性质，属于中档题 11 （5 分）双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作倾斜 角为 60的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A，B
18、两点，若点 A 平分线段 F1B，则 该双曲线的离心率是（ ） A B2+ C2 D+1 【分析】由题意可得直线方程为 y（x+c） ，根据中点坐标公式求出 B 的坐标，代入 双曲线方程，化简整理即可求出 【解答】解：由题意可得直线方程为 y（x+c） ， 当 x0 时，yc， A（0，c） ， F1（c，0） ， 设 B（x，y） ， 20xc，2cy+0， 第 12 页（共 23 页） xc，y2c， B（c，2c） ， 1， 即1+ b412a2c2， 即（c2a2）212a2c2， 整理可得 e414e2+10， 即 e27+4（2+）2， 解得 e2+ 故选：B 【点评】本题考查了直
19、线和双曲线的位置关系，以及直线方程，中点坐标公式，属于中 档题 12 （5 分）已知函数 f（x）lnx+a，g（x）ax+b+1，若x0，f（x）g（x） ，则的 最小值是（ ） A1+e B1e Ce 1 D2e 1 【分析】令 h（x）axlnx+b+1a， 当 a0 时，h（x）0，函数 h（x）单调递减， 当 a0 时，令 h（x）0，可得 x，可得， ， （a0） 令 G（a）， （a0） 可得 G（a）在（0，） 递减，在（）递增，即可 【解答】解：由题意，axlnx+b+1a0 在（0，+）上恒成立， 令 h（x）axlnx+b+1a， 当 a0 时，h（x）0，函数 h（x）
20、单调递减， 且 x+时，h（x），故不符合题意 当 a0 时，令 h（x）0，可得 x， 第 13 页（共 23 页） 可得， balna2 ， （a0） 令 G（a）， （a0） ， （a0） 可得 G（a）在（0，）递减，在（）递增 故选：B 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查恒成立问题，考查函数的单调性，分离参 数，求最值是关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分。分。 13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论
21、【解答】解：由 z2x+y，得 y2x+z 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象可知当直线 y2x+z 过点 A 时，直线 y2x+z 的在 y 轴的截距最小，此时 z 最小， 由得 A（，） ， 此时 z2x+y， 故答案为： 第 14 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 14 （5 分）二项式（x）8的展开式中，含 x4项的系数为 56 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解：二项式（x）8的展开式中的通项公式：Tr+1C8r（1）rx， 令 84，解得 r3， 则含 x4项的系数为 C83（1）356， 故答案为：56
22、【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 15 （5 分）在四面体 PABC 中，若APBBPCAPC，且 PA3，PB4，PC 5，则该四面体的外接球的表面积为 50 【分析】先证明 PA平面 PBC，并计算出PBC 的外接圆直径 BC，再利用公式 可计算出该四面体的外接球的半径 R，最后利用球体的表面积公式可得 出答案 【解答】解：APBBPCAPC，则 PAPB，PAPC，又PBPCP， PA平面 PBC， ，PBC 的外接圆直径为， 所以，四面体 PABC 的外接球的直径为， 第 15 页（共 23 页） 因此，该四面体的外接球的表面积为
23、4R2（2R）250 故答案为：50 【点评】本题考查球体的表面积，解决本题的关键是找出合适的模型计算出球体的半径， 考查计算能力，属于中等题 16 （5 分）已知数列an满足 a2，且 3anan1n+1（nN*且 n2） ，记数列an） 的前 n 项和为 Sn，则 Sn的最小值为 【分析】数列an满足 a2，且 3anan1n+1（nN*且 n2） ，3a2a12，解 得 a1由 3anan1n+1（nN*且 n2） ，变形为：an可 得数列an是等比数列，可得 an，令 an0，可得：n 范围即可得出 【解答】解：数列an满足 a2，且 3anan1n+1（nN*且 n2） ， 3a2a
24、12，解得 a132 由 3anan1n+1（nN*且 n2） ，变形为：an 数列an是等比数列，首项为 a19，公比为 an933 n， an33 n， 令 an0，可得：33 n， 可得：n2 Sn的最小值S2 故答案为： 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
25、答。 ）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。 ）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 acosB+bsinAc （1）求角 A 的大小； 第 16 页（共 23 页） （2）若，ABC 的面积为，求 b+c 的值 【分析】 （1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得 A 的值； （2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得 b+c 的值 【解答】解： （1）ABC 中，acosB+bsinAc， 由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinAsinC， 又 sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAs
26、inB， sinBsinAcosAsinB， 又 sinB0， sinAcosA， 又 A（0，） ， tanA1，A； （2）由 SABCbcsinAbc， 解得 bc2； 又 a2b2+c22bccosA， 2b2+c2bc（b+c）2（2+）bc， （b+c）22+（2+）bc2+（2+） （2）4， b+c2 【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题 18 （12 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16现采用分层抽 样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 （）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （）若抽出的 7 人中有
27、4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进 一步的身体检查 （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事 件 A 发生的概率 【分析】 （）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽 取人数； （）若（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到 第 17 页（共 23 页） 随机变量 X 的分布列，然后求解数学期望； （ii）利用互斥事件的概率求解即可 【解答】解： （）单位甲
28、、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16人数比为： 3：2：2， 从中抽取 7 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3，2，2 人 （）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进 一步的身体检查 （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数， 随机变量 X 的取值为：0，1，2，3，k0，1，2，3 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望 E（X）； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ， 设事件 B 为：抽取的 3 人中，睡眠充足的员
29、工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人，事件 C 为抽取的 3 人中， 睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人， 则：ABC，且 P（B）P（X2） ，P（C）P（X1） ， 故 P（A）P（BC）P（X2）+P（X1） 所以事件 A 发生的概率： 【点评】本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期 望，确定 X 的可能取值，求出相应的概率是关键 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ABC90， ABPBPCBC2CD，平面 PBC平面 ABCD （）求证：AB平面 PBC； （）求平面 ADP 与平面 BCP
30、 所成的锐二面角的大小 第 18 页（共 23 页） 【分析】 （）证明 AB平面 PBC，利用面面垂直的性质，根据 ABBC，平面 PBC 平面 ABCD，即可得证； （）取 BC 的中点 O，连接 PO，以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz， 求出 平面 ADP 与平面 BCP 的法向量， 利用向量的夹角公式， 即可求平面 ADP 与平面 BCP 所 成的锐二面角的大小 【解答】 （）证明：因为ABC90，所以 ABBC， 因为平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平
31、面 ABCDBC，AB平面 ABCD， 所以 AB平面 PBC （）解：如图，取 BC 的中点 O，连接 PO， 因为 PBPC，所以 POBC 因为 PBPC，所以 POBC， 因为平面 PBC平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD 以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz 不妨设BC2由ABPBPCBC2CD得， ， 所以， 设平面 PAD 的法向量为 （x，y，z） 所以 令 x1，则，所以 （1，2，） 取平面 BCP 的一个法向量， 第 19 页（共 23 页） 所
32、以 cos ， ， 所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为 【点评】本题考查线面垂直，考查平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角，解题的关键 是掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法，属于中档题 20 （12 分）已知点 F1，F2为椭圆1（ab0）的左、右焦点，焦距为 2，且离 心率为 （）求椭圆的方程； （）若过 F2的直线 l 与圆交于 A，B 两点，且满足|F2A|F2B|（12） ，求ABF1 中 AB 边上中线长的取值范围 【分析】 （）由 2c2，椭圆的离心率为可得 a，b，即可求出椭圆的方程， （）当直线的斜率为 0 时，显然不成立设直线 l：xmy+1
33、，A（x1，y1） ，B（x2， y2） ，由韦达定理即可求出ABF1中 AB 边上的中线长为为| ，利用换元法和函数的性质即可求出取值范围 【解答】 解：（） 由 2c2， 椭圆的离心率为 可得 a， c1， b ，即椭圆的方程：， （）当直线的斜率为 0 时，显然不成立 设直线 l：xmy+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立得（2m2+3）y2+4my40， 第 20 页（共 23 页） 则， ABF1中 AB 边上的中线长为| 令 t2m2+3，则 2m2t3 | |F2A|F2B|（12） ， 12， 3t4，| ABF1中 AB 边上中线长的取值范围为： 【点评】本题
34、考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，综合性强， 运算量大，转化困难，属于难题 21 （12 分）已知函数 f（x）axlnx （）讨论 f（x）的单调性； （）若，求证：f（x）2axxeax 1 【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间； （）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可 【解答】解： （）因为 f（x）axlnx，f（x）a，x0，aR， 若 a0，则 f（x）0 对 x0 恒成立， 所以，此时 f（x）的单调递减区间为（0，+） ； 若 a0，则 f（x）0 时，x， 第 21 页（共 23 页） f（x）的单调递减区间为（0
35、，） ，单调递增区间为（，+） ； 综上：当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增 （）证明：令 g（x）f（x）2ax+xeax 1xeax1axlnx， 则 g（x）eax 1+axeax1a （ax+1） （eax 1 ） ， 由于 eax 1 ，设 r（x）xeax 11，r（x）（1+ax）eax1， 由 r（x）01+ax0x，所以 r（x）在（0，）上单调递增； 由 r（x）01+ax0x，所以 r（x）在（，+）上单调递减 r（x）maxr（）（+1）0（因为 a） ，从而 eax 1 0， 则 g（x）在
36、（0，）上单调递减；在（，+）上单调递增， g（x）ming（） ， 设 t（0，e2，g（）h（t）lnt+1（0te2） ， h（t）0，h（x）在（0，e2上递减，h（t）h（e2）0； g（x）0，故 f（x）2axxeax 1 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10
37、 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，圆 C 的 标准方程为（x3）2+（y3）24以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系 （1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程； （2）若射线 与 l 的交点为 M，与圆 C 的交点为 A，B，且点 M 恰好为线段 AB 的 中点，求 a 的值 【分析】 （1）直线 l 的参数方程消去 t 可得直线 l 的普通方程，将 xcos，ysin 代 入，能求出直线 l 的极坐标方程由圆的标准方程能求出圆 C 的极坐标方程 第 22 页（共 23 页） （ 2 ） 设M （）， A （）， B （ 3，） 联 立 ，
38、得， 从而 2+33+3， 进而 M（，） 把 M（，）代入，能 求出 a 的值 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 在直线 l 的参数方程中消去 t 可得直线 l 的普通方程为 xy0， 将 xcos，ysin 代入以上方程中， 得到直线 l 的极坐标方程为 cossin0 圆 C 的标准方程为（x3）2+（y3）24， 圆 C 的极坐标方程为 26cos6sin+140 （2）在极坐标系中，由已知可设 M（） ，A（） ，B（3，） 联立，得， 2+33+3 点 M 恰好为 AB 的中点， ，即 M（，） 把 M（，）代入， 得0， 解得 a 【点评】本题考查直线
39、和圆的极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、 直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式讲：不等式讲（本小遐满分（本小遐满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x1| 第 23 页（共 23 页） （1）解不等式 f（2x）+f（x+4）6； （2）若 a、bR，|a|1，|b|1，证明：f（ab）f（ab+1） 【分析】 （1）化简不等式，通过去掉绝对值符号，转化求解即可 （2）f（ab）f（ab+1）|ab1|ab|，利用已知条件，通过作差法转化证明即可 【解答】解： （1）由 f（2x）+f（x+4）6 得：|2x1|+|x+3|6， 当 x3 时，2x+1x36，解得 x3； 当时，2x+1+x+36，解得3x2； 当时，2x1+x+36，解得； 综上，不等式的解集为 （2）证明：f（ab）f（ab+1）|ab1|ab|， 因为|a|1，|b|1，即 a21，b21， 所以|ab1|2|ab|2a2b22ab+1a2+2abb2a2b2a2b2+1（a21） （b21） 0， 所以|ab1|2|ab|2，即|ab1|ab|，所以原不等式成立 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查计算能力
