1、2018-2019学年广西桂林十八中高二（下）开学数学试卷（文科）（3月份）一、选择题（每小题只有一个选项符合题意每小题5分，共60分）1（5分）设集合Ax|x22x30，xR，集合Bx|2x2，则AB（）A2，1B1，2）C1，1D1，2）2（5分）若，则cos（2）（）ABCD3（5分）已知平面向量（1，2），（2，m），且，则（）A（5，10）B（4，8）C（3，6）D（2，4）4（5分）已知命题p：x4，log2x2；命题q：在ABC中，若A，则sinA则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）q5（5分）在等差数列 an中，a1+3a8+a15120，则a2+a
2、14的值为（）A.6B，12C.24D.486（5分）已知函数f（x）x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD7（5分）过原点且倾斜角为的直线被圆x2+y24y10所截得的线段长为（）A1B2C3D48（5分）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A7B6C5D49（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）ABCD10（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）Ak，
3、k+，kZB2k，2k+，kZCk，k+，kZD2k，2k+，kZ11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|F1F2|，且3|PF2|2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D12（5分）若曲线yln（x+a）的一条切线为yex+b，其中a，b为正实数，则a+的取值范围是（）ABe，+）C2，+）D2，e）二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知x，y满足，则目标函数z2x+y的最大值为 14（5分）已知a0，1，2，b1，1，3，5，则函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数
4、的概率是 15（5分）若点P在以F1、F2为焦点的双曲线1上，且F1PF260，则PF1F2的面积为 16（5分）已知函数f（x），若方程f（x）ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若，BC边上中线，求ABC的面积18（12分）已知数列an中，a1，an+13an+2n（nN*）（1）令bnan+1an+1，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式19（12分）已知x3是f（x）x3ax2+3x的极值点（1
5、）求a；（2）求f（x）在2，4上的值域20（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，PA平面ABCD，E为PC中点（）求证：平面BED平面ABCD；（）若BED90，求三棱锥EBDP的体积21（12分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点（）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数f（x）ax2+bxlnx（a，bR）（1）当a1，b3时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设a0，且对任意的x0，f（x）f（1），试比较
6、lna与2b的大小2018-2019学年广西桂林十八中高二（下）开学数学试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项符合题意每小题5分，共60分）1（5分）设集合Ax|x22x30，xR，集合Bx|2x2，则AB（）A2，1B1，2）C1，1D1，2）【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出AB【解答】解：集合Ax|x22x30，xRx|x1或x3，集合Bx|2x2，ABx|2x12，1故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（5分）若，则cos（2）（）ABCD【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简即可【解答
7、】解：由，可得：sincos（2）cos2（12sin2）2sin21故选：D【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式化简计算能力属于基础知识的考查3（5分）已知平面向量（1，2），（2，m），且，则（）A（5，10）B（4，8）C（3，6）D（2，4）【分析】向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法【解答】解：排除法：横坐标为2+（6）4，故选：B【点评】认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化4（5分）已知命题p：x4，log2x
8、2；命题q：在ABC中，若A，则sinA则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）q【分析】先判断命题p，命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案【解答】解：命题p：x4，log2x2，为真命题；在ABC中，若A，则sinA故命题q为假命题，故命题pq，（p）（q），（p）q为假命题，命题p（q）为真命题；故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，对数函数的图象和性质，三角函数的定义等知识点，难度中档5（5分）在等差数列 an中，a1+3a8+a15120，则a2+a14的值为（）A.6B，12C.24D.48【分析】利用等差数列通
9、项公式求出a824，a2+a142a8，由此能求出结果【解答】解：在等差数列 an中，a1+3a8+a15120，由等差数列的性质可得a1+3a8+a155a8120，a824，a2+a142a848故选：D【点评】本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5分）已知函数f（x）x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD【分析】由于f（x）x2+cosx，得f（x）xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x代入f（）sin10，排除C，只有A适
10、合【解答】解：由于f（x）x2+cosx，f（x）xsinx，f（x）f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x时，f（）sin10，排除C，只有A适合，故选：A【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题7（5分）过原点且倾斜角为的直线被圆x2+y24y10所截得的线段长为（）A1B2C3D4【分析】根据题意，求出直线的方程，分析与按的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得答案【解答】解：根据题意，过原点且倾斜角为的直线的方程为yx，即xy0，圆x2+y24y10，变形可得x2+（y2）25，
11、其圆心为（0，2），半径r，圆心到直线xy0的距离d1，则直线被圆截得的线段长为24；故选：D【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题8（5分）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A7B6C5D4【分析】直接画出三视图的复原图，进一步利用体积公式求出结果【解答】解：根据三视图得知：该几何体由一个正方体，沿上边的面的对角线切去一个一半高的直三棱柱即：V，如图所示：故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用9（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）ABCD【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环
12、结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S+1+的值，由退出循环的条件为n50，故最后一次进行循环的循环变量的值：kn50，故输出的S值为，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答10（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）Ak，k+，kZB2k，2k+，kZCk，k+，kZD2k，2k+，kZ【分析】利用yAsin
13、（x+）的图象特征，求出函数yAsin（x+）的解析式，再根据yAsin（x+）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）的单调增区间【解答】解：由图可知A2，T4（），2由图可得点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2+）2，解得：2+2k+，kZ，由|，可得：，f（x）2sin（2x+）若将yf（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）2sin2（x）+2sin2x由2k2x2k+，kZ，可得kxk+，kZ，函数g（x）的单调增区间为：k，k+，kZ故选：A【点评】本题主要考查yAsin（x+）的图象变换规律，由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，正
14、弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|F1F2|，且3|PF2|2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在PMQ中有，这样即可求得d，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|2c2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可【解答】解：如图，l为该双曲线的右准
15、线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1l，QQ1l，分别交l于P1，Q1；，3|PF2|2|QF2|；，；过P作PMQQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；解得d；根据双曲线的定义，|PF1|PF2|2a，|PF2|2c2a；根据双曲线的第二定义，；整理成：；解得（舍去）；即该双曲线的离心率为故选：A【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系12（5分）若曲线yln（x+a）的一条切线为yex+b，其中a，b为正实数，则a+的取值范围是（）ABe，+）C2，+）D2，e）【分析】设切点为（m，n）
16、，根据导数几何意义列出方程有，得到bae2，从而进一步求解即可【解答】解：设切点为（m，n），则有bae2；b0，a所以，a+a+2；故选：C【点评】本题主要考查了导数几何意义、切线方程，以及基本不等式应用，属中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知x，y满足，则目标函数z2x+y的最大值为3【分析】首先画出可行域，利用目标函数等于直线在y轴的截距最大值求z 的最大值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y2x+z经过图中的A时，z最大，由得到A（3，3），所以z23+33；故答案为：3【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值
17、考查数形结合的思想14（5分）已知a0，1，2，b1，1，3，5，则函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数的概率是【分析】构成函数f（x）ax22bx的基本事件（a，b）的个数n248，由函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数，求出对称轴x1，由此利用列举法能求出函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数的概率【解答】解：a0，1，2，b1，1，3，5，构成函数f（x）ax22bx的基本事件（a，b）的个数n11+249，函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数，对称轴x1，函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数包含的基本事件（a，b）有：
18、（0，1），（1，1），（1，1），（2，1），（2，1），共5个，函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数的概率是p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查二次函数的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）若点P在以F1、F2为焦点的双曲线1上，且F1PF260，则PF1F2的面积为9【分析】根据双曲线的性质结合余弦定理和三角形的面积公式计算即可【解答】解：设PF1m，PF2n，PF1F22c，则mn2a，由余弦定理可得4c2m2+n22mncos60（mn）2+mn，即mn4c24a24b2，由双曲线方程可得b3，F1PF2的面积为Smnsin6
19、0b29，故答案为：9【点评】本题考查了双曲线的性质以及余弦定理，考查了运算能力，属于基础题16（5分）已知函数f（x），若方程f（x）ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是（1，0）（，）【分析】由题意，方程f（x）ax恰有两个不同实数根，等价于yf（x）与yax有2个交点，求出a的取值范围【解答】解：当x1时f（x）+1，+1ax，a+，令g（x）+，x1 又g（x）在（，0）和（0，1）上都是单调递减的，g（x）在x1上的值域是（，0）（1.1，+）当x1时，f（x）lnx1ax，得到a，令h（x），x1，h（x），令h（x）0，得到2lnx0 得到xe2，h（x）在x属于（1，e
20、2）上单调增，在（e2，+）上单调减，h（x）的最大值为h（e2），当xe时，lnx10，而x趋向正无穷时，h（x）趋向0，h（x）的最小值为h（1）1（但是开区间 因为x1），h（x）的值域是（1，），f（x）ax恰有两个不同的实数根，a属于（1，0）（，），故答案为：（1，0）（，）【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，以及分类讨论的思想，以及函导数数与函数最值问题，进行解答，是易错题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若，BC边上中线，求ABC的面积【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正
21、弦函数公式可得2sinBcosAsinB，结合sinB0可求，结合范围0A，即可得解A的值（2）由已知及三角形内角和定理可求C，进而利用余弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1），由正弦定理，得，2sinBcosAsin（A+C）sinB，sinB0，又0A，（2），可知ABC为等腰三角形，在ABC中，由余弦定理，得AM2AC2+MC22ACMCcos120，即，b2，ABC的面积【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题18（12分）已知数列an中，a1，an+13a
22、n+2n（nN*）（1）令bnan+1an+1，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式【分析】本题第（1）题可利用题中递推式an+13an+2n（nN*）得出an+23an+1+2（n+1），然后两式相减，整理可得bn+13bn即可证明数列bn是等比数列；第（2）题先写出数列bn的通项公式，然后得到an+1an的表达式，然后根据累加法即可得到数列an的通项公式【解答】解：（1）由题意，可知：当n1时，b1a2a1+13+1当n2时，an+13an+2n，an+23an+1+2（n+1）两式相减，可得：an+2an+13（an+1an）+2，两边同时加1，可得：an+2an+1+1
23、3（an+1an+1），即：bn+13bn数列bn是以为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1），可知：113n2，nN*an+1an+1113n2，即：an+1an113n21，a1，a2a1113121，a3a2113221，anan1113（n1）21各项相加，可得：an+11（31+30+31+3n3）（n1）+11+数列an的通项公式为：an，nN*【点评】本题第（1）题主要考查根据递推式进行转化、构造得到数列bn递推式，然后转化为一般式；第（2）题主要考查累加法求数列的通项公式本题属中档题19（12分）已知x3是f（x）x3ax2+3x的极值点（1）求a；（2）求f（x）在2，4上
24、的值域【分析】（1）由极值点是导数等于零的根，直接求出a的值；（2）由（1）得求出函数的导函数，根据在所给区间判断原函数的单调性可得函数的值域【解答】解：（1）f'（x）3x22ax+3，由题意得：x3是方程f'（x）0的根，3322a3+30，a5；（2）由（1）得，f'（x）3x210x+3（3x1）（x3），当2x3，时f'（x）0，3x4时，f'（x）0，所以函数f（x）在2，3单调递减，（3，4单调递增，f（3）为最小值且等于9，f（2）6，f（4）4，f（x）在2，4上的值域为：9，4【点评】考查用导数来求函数的值域，属于基础题20（12分）
25、如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，PA平面ABCD，E为PC中点（）求证：平面BED平面ABCD；（）若BED90，求三棱锥EBDP的体积【分析】（I）连接AC交BD于O点，连接EO，由中位线定理得出OEPA，由于PA平面ABCD，故而OE平面ABCD，于是平面BED平面ABCD；（II）在直角三角形BDE中，根据BD的长得出OE，从而求得PA，于是三棱锥EBDP的体积对于四棱锥PABCD的体积减去三棱锥PABD和三棱锥EBCD的体积【解答】（）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，又E为PC中点，OEPA，PA平面ABCD，OE平面ABC
26、D，又OE平面BED，平面BDE平面ABCD（）解：四边形ABCD是边长为2的菱形，OBODOE平面ABCD，OEBD，BED90，OEOB，PA2OE2VPABCD4VPABD2VEBCD1VEBDPVPABCDVPABDVEBCD4211【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题21（12分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点（）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（）设P（x，y），则，根据x的取值范围能够得到的最大值和最
27、小值（）假设存在满足条件的直线l由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk（x5），再把直线yk（x5）和椭圆联系方程用根的判别式求l的方程或说明理由【解答】解：（）由题意知，设P（x，y），则，当 x0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4（）假设存在满足条件的直线l由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk（x5）由方程组，得（5k2+4）x250k2x+125k2200依题意，当
28、时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为R（x0，y0），则，又|F2C|F2D|F2Rl，20k220k24，而20k220k24不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|F2D|【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，难度较大，解题时要仔细审题，认真解答22（12分）已知函数f（x）ax2+bxlnx（a，bR）（1）当a1，b3时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设a0，且对任意的x0，f（x）f（1），试比较lna与2b的大小【分析】（1）利用导数研究函数的单调性得：f（x）2x+3，由f（x）0得：x1，f（x）0得：0x或1
29、x2，故f（x）在（，1）为增函数，在（1，2）为减函数（2）利用导数求函数的最值得：设f（x）0的两根为x1，x2，由x1x20，不妨设x10，x20，则函数yf（x）在（0，x2）为减函数，在（x2，+）为增函数，即f（x）minf（x2）再构造函数g（x）24x+lnx，则g（x），得g（x）1ln40，即g（a）0，故24a+lna2b+lna0，故lna2b，得解【解答】解：（1）当a1，b3时，f（x）x2+3xlnx，x，2，则f（x）2x+3，由f（x）0得：x1，f（x）0得：0x或1x2，故f（x）在（，1）为增函数，在（1，2）为减函数（2）由题意得，函数f（x）在x1处取得最小值，又因为f（x）2ax+b，设f（x）0的两根为x1，x2，由x1x20，不妨设x10，x20，则函数yf（x）在（0，x2）为减函数，在（x2，+）为增函数，即f（x）minf（x2）又对任意的x0，f（x）f（1），所以x21，即2a+b1，即b12a，令g（x）24x+lnx，则g（x），当0时，g（x）0，当x时，g（x）0，即函数g（x）在（0，）为增函数，在（，+）为减函数，因为g（x）1ln40，即g（a）0，故24a+lna2b+lna0，故lna2b【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及利用导数求函数的最值，属难度较大的题型
