1、2018-2019学年广西桂林十八中高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x20，Bx|lgx0，则AB（）Ax|0x2Bx|0x1Cx|1x2D2（5分）已知复数z，则|z|（）AB3C1D2i3（5分）“是“cos“成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知抛物线C：y2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|x0，则x0等于（）A1B2C4D85（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几
2、何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD6（5分）在区间0，1上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）ABCD7（5分）设实数alog23，blog，c，则a，b，c的大小关系为（）AbacBbcaCabcDacb8（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S6a7a1，则an的公比q（）A1B2C2或3D1或29（5分）若函数f（x）x+asin2x在0，）上单调递增，则a的取值范围是（）A，0B1，+）C，+）D（，10（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12种B18
3、种C36种D54种11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|若直线PF1与圆x2+y2a2相切，则双曲线的离心率为（）ABC2D312（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）1，则不等式f（x）ex的解集为（）A（，0）B（0，+）C（，e4）D（e4，+）二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知实数x，y满足，则的最大值是 14（5分）（1+2x）3（1x）4的展开式中x的系数是 15（5分）在数列a
4、n中，已知a1a22若an+2是anan+1的个位数字，则a27 16（5分）如图所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为 三解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17（10分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值18（12分）已知函数f（x）xlnx+（a1）x2（aR）（1）当a1时，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（2）若f（x）0在（0，+）内有两个不相等的实
5、数根，求实数a的取值范围19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值20（12分）为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”（1）求S620且Si0（i1，2，3）的概率；（2）记X|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）21（12分）如图，已知椭圆C：+y21（a1）的
6、上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2+y26x2y+70相切（）求椭圆C的方程；（）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且0求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标22（12分）已知函数f（x）ex1（1）若f（x）ax对x（0，+）恒成立，求a的取值范围；（2）数列（nN*）的前n项和为Tn，求证：Tn2018-2019学年广西桂林十八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x20，Bx|lgx0，则AB（）Ax|0x2Bx|0x1Cx
7、|1x2D【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|x2，Bx|0x1；ABx|0x1故选：B【点评】考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2（5分）已知复数z，则|z|（）AB3C1D2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z，|z|故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5分）“是“cos“成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断【解答】解：由一定能推出cos，当由cos，则不一
8、定推出，故“是“cos“成立的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义和三角函数的值，属于基础题4（5分）已知抛物线C：y2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|x0，则x0等于（）A1B2C4D8【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出【解答】解：抛物线C：y2x的焦点为F（，0）A（x0，y0）是C上一点，|AF|x0，x0x0+，解得x01故选：A【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题5（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD【分析】由几何体的三视图得：该几何
9、体是三棱锥SABC，其中平面SACABC，SAABBCSCSB2，AC4，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥SABC，其中平面SACABC，SAABBCSCSB2，AC4，如图，SASC，ABBC，该几何体的表面积为：S2（SSAC+SSAB）2（）8+4故选：A【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题6（5分）在区间0，1上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）ABCD【分析】设取出的两个数为x、y，则可得“0x1，0y1”表示的区域为纵横坐标都
10、在0，1之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y1.5表示的区域为直线x+y1.5下方，且在0x1，0y1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案【解答】解：设取出的两个数为x、y，则有0x1，0y1，其表示的区域为纵横坐标都在0，1之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y1.5表示的区域为直线x+y1.5下方，且在0x1，0y1表示区域内部的部分，易得其面积为1，则两数之和小于1.5的概率是故选：D【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于用平面区域表示出题干的代数关系7（5分）设实数alog23，blog，c，则a，b，c的大小关系为（）AbacBbcaC
11、abcDacb【分析】利用对数函数、定积分的性质直接求解【解答】解：实数alog23log221，logbloglog1，c，a，b，c的大小关系为abc故选：C【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、定积分的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S6a7a1，则an的公比q（）A1B2C2或3D1或2【分析】由S6a7a1，可得：q1利用求和公式可得：a1（q61），解得：q【解答】解：由S6a7a1，可得：q1a1（q61），解得：q2或1故选：D【点评】本题考查了等比数列的求和公式及其性质、分类讨论方法，考查
12、了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）若函数f（x）x+asin2x在0，）上单调递增，则a的取值范围是（）A，0B1，+）C，+）D（，【分析】根据题意，求出函数f（x）的导数，分析可得f（x）1+2acos2x0在0，）上恒成立，进而变形可得2a，结合x的范围分析的最大值，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）x+asin2x，其导数f（x）1+2acos2x，若函数f（x）x+asin2x在0，）上单调递增，则f（x）1+2acos2x0在0，）上恒成立，又由x0，），则有0cos2x1，则f（x）1+2acos2x02a，又由0cos2x1，则1，即有最大值1，若f（x
13、）1+2acos2x0在0，）上恒成立，则a，即a的取值范围为，+），故选：C【点评】本题考查利用函数的导数分析函数的单调性，涉及复合函数的导数计算，属于基础题10（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12种B18种C36种D54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从3个信封中选一个放1，2，有3种不同的选
14、法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有6种放法，共有36118故选：B【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|若直线PF1与圆x2+y2a2相切，则双曲线的离心率为（）ABC2D3【分析】先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值
15、【解答】解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|F1F2|，所以PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点，所以|F1M|PF1|，又因为在直角F1MO中，|F1M|2|F1O|2a2c2a2，所以|F1M|b|PF1|又|PF1|PF2|+2a2c+2a，c2a2+b2由可得c2a2（）2，即为4（ca）c+a，即3c5a，解得e故选：B【点评】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题12（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）1，则不等式f（x）e
16、x的解集为（）A（，0）B（0，+）C（，e4）D（e4，+）【分析】令，利用导数和已知即可得出其单调性再利用函数的奇偶性和已知可得h（0）1，即可得出【解答】解：设，f（x）f（x），h（x）0所以函数h（x）是R上的减函数，函数f（x+2）是偶函数，函数f（x+2）f（x+2），函数关于x2对称，f（0）f（4）1，原不等式等价为h（x）1，不等式f（x）ex等价h（x）1h（x）h（0），h（x）在R上单调递减，x0故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知实数x
17、，y满足，则的最大值是【分析】实数x，y满足，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，2），C（0，2），则的几何意义是点（x，y）与P（2，0）连线的斜率，由此可求结论【解答】解：实数x，y满足，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，），C（1，2），则的几何意义是点（x，y）与P（2，0）连线的斜率，由于PC的斜率为 ，PB的斜率为：，所以的最大值为：故答案为：【点评】本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义14（5分）（1+2x）3（1x）4的展开式中x的系数是2【分
18、析】含x的项有（1+2x）3的一次项乘以 （1x）4中的常数项，还有（1+2x）3的常数项乘以（1x）4中的一次项，即 C31（2x）1+1C41x，运算求得结果【解答】解：利用二项式定理，含x的项有（1+2x）3的一次项乘以 （1x）4中的常数项，还有（1+2x）3的常数项乘以（1x）4中的一次项，即 C31（2x）1+1C41x2x，故展开式中x的系数是2，故答案为 2【点评】本题考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现了分类讨论的数学思想，得到展开式中x的系数是 C31（2x）1+1C41x，是解题的关键15（5分）在数列an中，已知a1a22若an+2是anan
19、+1的个位数字，则a274【分析】由已知得a1a22，a34，依此类推可得数列的一个周期为6，故a27a34【解答】解：an+2等于anan+1的个位数字，a1a22，a1a24，a34，a2a38，a48，a3a432，a52，a4a516，a66，a5a612，a72，a6a712，a82，a7a84，a94，数列的一个周期为6，a27a34，故答案为：4【点评】本题考查注意数列的周期性质的合理运用，属于中档题16（5分）如图所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为2【分析】设ABa，BB1h，求出a262h2，故
20、正四棱柱的体积是Va2h6h2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论【解答】解：设ABa，BB1h，则OB，连接OB1，OB，则OB2+BB12OB123，+h23，a262h2，故正四棱柱的体积是Va2h6h2h3，V66h2，当0h1时，V0，1h时，V0，h1时，该四棱柱的体积最大，此时AB2故答案为：2【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，借助导数研究出四棱柱的体积最大，是解题的关键，根据题意建立适当的模型是解决一个实际问题的关键，学习时要注意积累此类题中模型的建立方法三解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17（10分）在ABC中，
21、角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc20又b5，解得c4由余弦定理得a2b2+c22bccosA25+162021，即可得出a又由正弦定理得即可得到即可得出【解答】解：（）由cos2A3cos（B+C）1，得2cos2A+3cosA20，即（2cosA1）（cosA+2）0，解得（舍去）因为0A，所以（）由S，得到bc20又b5，解得c4由余弦定理得a2b2+c22bccosA25+162021，故又由正弦
22、定理得【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键18（12分）已知函数f（x）xlnx+（a1）x2（aR）（1）当a1时，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（2）若f（x）0在（0，+）内有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；（2）由题意可得1a在x0有两个不等实根，可令g（x），求得导数和单调性、极值和最大值，画出g（x）的图象，由图象可得a的范围【解答】解：（1）由f（x）xlnx的导数为f（x）1+lnx，可得曲线yf（x）在x1处的切线斜率为k1，切
23、点为（1，0），可得切线方程为yx1；（2）f（x）0在（0，+）内有两个不相等的实数根，即为1a在x0有两个不等实根，可令g（x），则g（x），由xe可得g（x）0，g（x）递减；当0xe时，g（x）0，g（x）递增，可得g（x）的最大值为g（e），由g（x）的图象可得01a，即有1a1【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和转化思想，数形结合思想，以及运算能力，属于中档题19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值【分析】（1）由已知可
24、得PAAB，PDCD，再由ABCD，得ABPD，利用线面垂直的判定可得AB平面PAD，进一步得到平面PAB平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，得到ABAD，则四边形ABCD为矩形，设PAAB2a，则AD取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APBC的余弦值【解答】（1）证明：BAPCDP90，PAAB，PDCD，ABCD，ABPD，又PAPDP，且PA平面
25、PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，ABAD，则四边形ABCD为矩形，在APD中，由PAPD，APD90，可得PAD为等腰直角三角形，设PAAB2a，则AD取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（），设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y1，得AB平面PAD，AD平面PAD，ABPD，又PDPA，PAABA，PD平面PAB，则为平面PAB的一个法
26、向量，cos由图可知，二面角APBC为钝角，二面角APBC的余弦值为【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题20（12分）为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”（1）求S620且Si0（i1，2，3）的概率；（2）记X|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）【分析】（1）当S620时，即回答6个问题后，正确4个，错误2
27、个若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为，由此能求出S620且Si0（i1，2，3）的概率（2）由X|S5|可知X的取值为10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）当S620时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正
28、确2个记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为（3分）故所求概率为：（6分）（2）由X|S5|可知X的取值为10，30，50可有，（9分）故X的分布列为：X103050PE（X）（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用21（12分）如图，已知椭圆C：+y21（a1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2+y26x2y+70相切（）求椭圆C的方程；（）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且0求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标
29、【分析】（）确定圆M的圆心与半径，利用直线AF与圆M相切，根据点到直线的距离公式，求得几何量，从而可求椭圆C的方程；（）设直线AP的方程为ykx+1，则直线AQ的方程为y，分别与椭圆C的方程联立，求得P、Q的坐标，可得直线l的方程，即可得到结论【解答】（）解：将圆M的一般方程x2+y26x2y+70化为标准方程（x3）2+（y1）23，圆M的圆心为M（3，1），半径r由A（0，1），F（c，0）（c），得直线AF：+y1，即x+cyc0，由直线AF与圆M相切，得，c22a2c2+13，椭圆C的方程为C：+y21；（）证明：0，APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1）可设直线AP的方
30、程为ykx+1，则直线AQ的方程为y将ykx+1代入椭圆C的方程，整理得：（1+3k2）x2+6kx0，解得x0或x，因此P的坐标为（，+1），即P（，）将上式中的k换成，得Q（，）直线l的斜率为直线l的方程为y（x）+化简得直线l的方程为yx，因此直线l过定点N（0，）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查圆锥曲线和直线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）ex1（1）若f（x）ax对x（0，+）恒成立，求a的取值范围；（2）数列（nN*）的前n项和为Tn，求证：Tn【分析】（1）直接利用函数的恒等变换和函数的恒成立
31、问题的应用求出a的范围（2）利用构造函数和放缩法的应用及裂项相消法的应用求出结果【解答】解：（1）函数f（x）ex1，若f（x）ax对x（0，+）恒成立，即：令g（x），则：令g（x）0，得到：x1，令g（x）0，整理得：0x1所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增所以：g（x）ming（1）1，所以：a1则：a的取值范围时（，1（2）由（1）知：当a1时，有f（x）x恒成立，即对任意的x有ex1x令：xn2，则：，得到：n21lnn2，所以：所以：，则：，【点评】本题考查的知识要点：导数在函数的单调性求法中的应用，恒成立问题的应用，放缩法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型
