2018-2019学年广西桂林十八中高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

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1、2018-2019学年广西桂林十八中高一(上)期中数学试卷一、选择题(每小题只有一个选项符合题意,每小题5分,共60分)1(5分)设集合A1,2,3,B2,3,4,则AB()A1,2,3,4B1,2,3C2,3,4D1,3,42(5分)若4x8,则x()A2B4CD3(5分)若l1、l2为异面直线,直线l3l1,则l3与l2的位置关系是()A相交B异面C平行D异面或相交4(5分)若logx3,则x()ABC8D95(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1,则AC与BA1所成的角为()A30B5C60D906(5分)函数y3x22,x2,1的值域为()A1,10B2,10C2,+)D2,17(

2、5分)已知函数f(x)x2+1(x1)的反函数是f1(x),则f1(10)()A21B101C3D38(5分)已知a2,b3,clog32,则()AabcBcbaCacbDcab9(5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A3B2C2D210(5分)化简的结果是()A2B2C2D211(5分)函数ylgx的零点所在的大致区间是()A(6,7)B(7,8)C(8,9)D(9,10)12(5分)已知函数f(x)2+log3x的定义域为1,3,g(x)f2(x)+f(x2)+m,若存在实数a1,a2,a3y|yg(x),使得a1+a2a3,则实数m的取值范围是()ABmCm1D

3、m2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知幂函数yf(x)的图象经过点(2,)则f(3)   14(5分)已知球的表面积为36,则该球的体积为   15(5分)函数f(x)|x24x+3|x+m有3个零点,则m   16(5分)给出下列4个结论:棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥;函数y既不是奇函数又不是偶函数;若函数f(x)lg(ax2+5x+4)的值域为R,则实数a的取值范围是0,;若函数f(x)满足条件f(x)4f()x,则|f(x)|的最小值为其中正确的结论的序号是:   (写出所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小

4、题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知集合Ax|x4或 x2,Bx|3x782x,求(RA)B18(12分)已知函数f(x)x23ax+2(aR)()若a1,解不等式f(x)0;()若对于任意实数x,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围19(12分)若用模型yax2来描述汽车紧急刹车后滑行的距离ym与刹车时的速度xkm/h的关系,而某种型号的汽车在速度为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20m在限速为100km/h的高速公路上,一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m,问这辆车是否超速行驶?20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形

5、,PD底面ABCD,PDAB2,E,F分别为AB,PC的中点()证明:直线EF平面PAD;()求三棱锥BEFC的体积21(12分)已知函数f(x)(a0且a1),不等式f(x)2的解集为M()若a2,求M;()若M(3,+),求实数a的取值范围22(12分)已知函数f(x)lg,且关于x的不等式bx2+3x+c0的解集是集合Ax|()求b,c的值;()设Mm|存在tA,使f(t)m成立,求集合M2018-2019学年广西桂林十八中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题只有一个选项符合题意,每小题5分,共60分)1(5分)设集合A1,2,3,B2,3,4,则AB()A1,2,

6、3,4B1,2,3C2,3,4D1,3,4【分析】可用并集的定义直接求出两集合的并集【解答】解:A1,2,3,B2,3,4,AB1,2,3,4故选:A【点评】本题考查并集及其运算,解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则,是集合中的基本概念型题2(5分)若4x8,则x()A2B4CD【分析】把已知等式两边取以4为底数的对数,再由对数的换底公式求解【解答】解:由4x8,得x故选:D【点评】本题考查指数式化对数式,考查对数的运算性质,是基础题3(5分)若l1、l2为异面直线,直线l3l1,则l3与l2的位置关系是()A相交B异面C平行D异面或相交【分析】根据空间直线的位置关系,结合题意得直

7、线l3与l2的所成角为锐角或直角由此可得l3与l2不平行,即直线l3与l2的位置关系为相交或异面,得到本题答案【解答】解:l1、l2为异面直线,直线l1、l2所成角为锐角或直角l3l1,直线l3与l2的所成角为锐角或直角由此可得:l3与l2不平行,即直线l3与l2的位置关系为相交或异面故选:D【点评】本题给出直线l1的平行线和与l1的异面直线,求它们的位置关系,着重考查了异面直线所成角和空间直线的位置关系等知识,属于基础题4(5分)若logx3,则x()ABC8D9【分析】把对数式化为指数式即可得出【解答】解:logx3,x故选:A【点评】本题考查了对数式化为指数式,考查了推理能力与计算能力,

8、属于基础题5(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1,则AC与BA1所成的角为()A30B5C60D90【分析】由题意画出图形,找出AC与BA1所成的角,再由正方体的结构特征求解【解答】解:如图,连接A1C1,BC1,则A1C1AC,则BA1C1为AC与BA1所成的角,由正方形面对角线相等,可得A1BC1为等边三角形,则AC与BA1所成的角为60,故选:C【点评】本题考查异面直线所成角,关键是找出异面直线所成角,是基础题6(5分)函数y3x22,x2,1的值域为()A1,10B2,10C2,+)D2,1【分析】本题可通过画出二次函数在区间2,1上的图象判断出最大值和最小值【解答】解:由题意,

9、可画出函数y3x22在区间2,1上的图象如下:则由图象可知:当x0时,y取最小值2;当x2时,y取最大值3(2)2210函数y3x22在区间2,1上的值域为2,10故选:B【点评】本题主要考查二次函数在一定区间上的求值域问题,可通过数形结合法解决本题属基础题7(5分)已知函数f(x)x2+1(x1)的反函数是f1(x),则f1(10)()A21B101C3D3【分析】f(x)x2+1,y1x2,又因为x1,f1(x),可得【解答】解:函数f(x)yx2+1,所以x2y1,又因为x1,所以x,f1(x),则f1(10)3,故选:D【点评】本题考查了反函数的求法,属于基础题8(5分)已知a2,b3

10、,clog32,则()AabcBcbaCacbDcab【分析】容易得出,从而可得出a,b,c的大小关系【解答】解:;cab故选:D【点评】考查指数函数、幂函数和对数函数的单调性,以及增函数的定义9(5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A3B2C2D2【分析】根据三视图可得物体的直观图,结合图形可得最长的棱为PA,根据勾股定理求出即可【解答】解:由三视图可得直观图,再四棱锥PABCD中,最长的棱为PA,即PA2,故选:B【点评】本题考查了三视图的问题,关键画出物体的直观图,属于基础题10(5分)化简的结果是()A2B2C2D2【分析】直接化根式为分数指数幂得答案【解答】

11、解:故选:B【点评】本题考查有理指数幂与根式的互化,是基础的计算题11(5分)函数ylgx的零点所在的大致区间是()A(6,7)B(7,8)C(8,9)D(9,10)【分析】由于函数yf(x)lgx在(0,+)上是增函数,f(9)0,f(10)0,由此得出结论【解答】解:由于函数yf(x)lgx在(0,+)上是增函数,f(9)lg910,f(10)10,f(9)f(10)0,故函数ylgx的零点所在的大致区间是(9,10),故选:D【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题12(5分)已知函数f(x)2+log3x的定义域为1,3,g(x)f2(x)+f(x2)+m,

12、若存在实数a1,a2,a3y|yg(x),使得a1+a2a3,则实数m的取值范围是()ABmCm1Dm2【分析】由已知求得函数定义域,得到函数g(x)的解析式,换元后利用配方法求得函数最值,把原问题转化为2(t)minh(t)max求解【解答】解:f(x)的定义域为1,3,由,解得1g(x)f2(x)+f(x2)+m的定义域为1,g(x)f2(x)+f(x2)+m令log3xt,x1,t0,则h(t)t2+6t+6+m(t+3)2+m3,当t0,时为增函数,h(t)minh(0)6+m,存在实数a1,a2,a3y|yg(x),使得a1+a2a3,2h(t)minh(t)max,即12+2m解得

13、:m故选:A【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系,考查数学转化思想方法,训练了利用配方法求函数的最值,是中档题二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知幂函数yf(x)的图象经过点(2,)则f(3)【分析】求出幂函数的解析式,然后求解f(3)的值【解答】解:因为幂函数yf(x)的图象经过点(2,),所以幂函数的解析式为:f(x),则f(3)故答案为:【点评】本题考查幂函数的解析式的求法,函数值的求法,考查计算能力14(5分)已知球的表面积为36,则该球的体积为36【分析】设出球的半径,由表面积求得半径,再代入体积公式求解【解答】解:设球的半径为R,则4R236,即

14、R3该球的体积为V故答案为:36【点评】本题考查球的表面积与体积,是基础的计算题15(5分)函数f(x)|x24x+3|x+m有3个零点,则m1或【分析】把函数f(x)|x24x+3|x+m有3个零点,则函数|x24x+3|x+m0有3个根,即y|x24x+3|与yxm的图象有3个交点画出图形,数形结合即可求解【解答】解:函数f(x)|x24x+3|x+m有3个零点,则函数|x24x+3|x+m0有3个根,即y|x24x+3|与yxm的图象有3个交点如图,由图可知,当直线过点(1,0)或与曲线y|x24x+3|在区间(1,2)内相切时函数f(x)|x24x+3|x+m有3个零点,若直线过点(1

15、,0),则m1,即m1;当直线yxm与曲线y|x24x+3|相切时,联立,得x23x+3m0,由94(3m)0,得mm的值为1或故答案为:1或【点评】本题考查函数零点的判定,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题16(5分)给出下列4个结论:棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥;函数y既不是奇函数又不是偶函数;若函数f(x)lg(ax2+5x+4)的值域为R,则实数a的取值范围是0,;若函数f(x)满足条件f(x)4f()x,则|f(x)|的最小值为其中正确的结论的序号是:,(写出所有正确结论的序号)【分析】利用正棱锥的性质推理判断;利用函数的奇偶性定义判断;对a分两种情况讨论进行求

16、解;利用方程组法求出函数f(x)解析式,再求最小值【解答】解:设六棱的底面正六边形的边长为a,高为h,棱长为l,根据正棱锥的性质可知,l2a2+h2,显然al,故棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥;即正确;函数y的定义域为(3,3),则,f(x)是偶函数,故错误;当a0时,函数f(x)lg(5x+4)的值域为R,符合题意;当a0时,则,解之得;综上可知,实数a的取值范围是0,故正确;由,得,根据两式得则,显然偶函数当x0时,则|f(x)|的最小值为正确;故答案为【点评】本题考查命题真假性的判断,以及空间几何体、函数的值域、解析式等问题;属于中档题目三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文

17、字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知集合Ax|x4或 x2,Bx|3x782x,求(RA)B【分析】求出结合B的等价条件,集合集合补集,交集的定义进行求解【解答】解:RAx|2x4,Bx|3x782xx|x3,则(RA)Bx|2x3【点评】本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件是解决本题的关键比较基础18(12分)已知函数f(x)x23ax+2(aR)()若a1,解不等式f(x)0;()若对于任意实数x,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围【分析】本题第()题将a1代入后进行因式分解即可解得不等式f(x)0;第()题因二次函数f(x)x23ax+2开口向上,所以要使对于任意实

18、数x,f(x)0恒成立则必定0算出即可得到实数a的取值范围【解答】解:()由题意,可知:当a1时,f(x)x23x+2不等式f(x)0即为:x23x+20即:(x1)(x2)0解得:x1,或x2不等式f(x)0的解集为x|x1,或x2()由题意,可知:对于任意实数x,f(x)0恒成立二次函数f(x)x23ax+2开口向上,要使对于任意实数x,f(x)0恒成立,则必定0(3a)24129a280,解得:实数a的取值范围为()【点评】本题第()题主要考查一元二次不等式的解法问题;第()题二次函数对于自变量取任意实数时恒成立的问题本题属基础题19(12分)若用模型yax2来描述汽车紧急刹车后滑行的距

19、离ym与刹车时的速度xkm/h的关系,而某种型号的汽车在速度为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20m在限速为100km/h的高速公路上,一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m,问这辆车是否超速行驶?【分析】通过将汽车在速度为60km/h时紧急刹车后滑行的距离为20m代入模型yax2可知yx2,通过令x50计算即得结论【解答】解:依题意,20a602,a,yx2,紧急刹车后滑行的距离为50m,紧急刹车时的速度为,100,这辆车没有超速行驶答:这辆车没有超速行驶【点评】本题考查函数模型的选择与应用,注意解题方法的积累,属于基础题20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正

20、方形,PD底面ABCD,PDAB2,E,F分别为AB,PC的中点()证明:直线EF平面PAD;()求三棱锥BEFC的体积【分析】()取PD的中点G,连接FG,利用三角形中位线定理可得FGCD,FG,再由已知AECD,AE,得到AEFG,AEFG,可得四边形AEFG为平行四边形,得到EFAG,再由线面平行的判定可得EF平面PAD;()直接利用等积法求三棱锥BEFC的体积【解答】解:()证明:取PD的中点G,连接FG,F为PC的中点,FGCD,FG,AECD,AE,AEFG,AEFG,则四边形AEFG为平行四边形,EFAG,又EF平面PAD,AG平面PAD,EF平面PAD;()解:,F到平面BCE

21、的距离为,【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题21(12分)已知函数f(x)(a0且a1),不等式f(x)2的解集为M()若a2,求M;()若M(3,+),求实数a的取值范围【分析】()根据题意,若a2,不等式f(x)2等价于或,解可得x的取值范围,即可得答案;()不等式f(x)2,则有或,分0a1与a1两种情况讨论,分析M(3,+)是否成立,求出a的取值范围,综合即可得答案【解答】解:()根据题意,若a2,函数f(x)(a0且a1),若不等式f(x)2,则有或,解可得:1x2或x4,则Mx|x4或1x2;()根据题意,不等

22、式f(x)2,则有或,分2种情况讨论:,当0a1时,解可得xloga2,解可得x4,则Mx|x4或xloga2,此时M(3,+)不成立,当a1时,解可得,(*)解可得x4,若M(3,+),则不等式组(*)的解集为空集,必有loga22,解可得1a,综合可得:a的取值范围为(1,【点评】本题考查分段函数的性质以及应用,涉及不等式的解法,关键是掌握对数函数的性质,属于基础题22(12分)已知函数f(x)lg,且关于x的不等式bx2+3x+c0的解集是集合Ax|()求b,c的值;()设Mm|存在tA,使f(t)m成立,求集合M【分析】本题第()题可通过根与系数的关系列出算式得到b,c的值;第()题可

23、将f(x)拆成两个函数分别考虑,判断两个函数在定义域上单调性,然后再判断复合函数f(x)的单调性,则即可判断出在定义域上的函数最值,由此得到集合M【解答】解:()由题意,可知:不等式bx2+3x+c0的解集为x|,2是方程bx2+3x+c0的两个根,根据,可得:,解得()由(),可知:,可令,对于g(x):分母x2+1在实数集R上恒大于0,分子2x22x+22分子在实数集R上恒大于0,sg(x)的定义域为实数集R,f(x)lg的定义域为也实数集R2(xR)g(x)令g(x)0,即(x+1)(x1)0,解得:1x1;令g(x)0,即(x+1)(x1)0,解得:x1,或x1g(x)在(,1)上单调递增,在1,1上单调递减,在(1,+)上单调递增x,2,g(x)在,1上单调递减,在(1,2上单调递增而f(s)lgs在实数集R上单调增f(x)在,1上单调递减,在(1,2上单调递增,lg10,集合Mm|【点评】本题第()题主要考查根语系数的关系;第()题主要考查复合函数单调性的判断以及取函数值问题,本题属中档题

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