1、2017-2018学年广西桂林十八中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合A1，2，3，Bx|x24x+30，则AB（）A1B2C0，1D1，22（5分）sin（）（）ABCD3（5分）函数的定义域是（）A（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（3，4）（4，+）4（5分）函数f（x）sin2xcos2x的最小正周期是（）ABC2D45（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a（）A2B4
2、C6D86（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A1BCD27（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴为（）ABCDx8（5分）若非零向量，满足|，且（）（3+2），则与的夹角为（）ABCD9（5分）已知圆C：x2+y24x2y+10的圆心在直线l：x+ay10（aR）上，过点A（4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|（）A2BC6D10（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增若实数a满足，则a的最大值是（）A1BCD11（5分）函数f（x）x2bx+c满足f（1+x）
3、f（1x）且f（0）3，则f（bx）和f（cx）的大小关系是（）Af（bx）f（cx）Bf（bx）f（cx）Cf（bx）f（cx）D大小关系随x的不同而不同12（5分）在直角ABC中，BCA90，CACB1，P为AB边上的点且，若，则的取值范围是（）A，1B，1C，D，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）111正视图侧视图俯视图13（5分）cos20cos10sin20sin10 14（5分）设，是两个不共线的向量，且向量2与向量+是共线向量，则实数 15（5分）若圆x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：yx+b的距离为，则b取值范围为 16（5分）对于实数a
4、和b，定义运算“*”：，设f（x）（2x1）*（x1），且关于x的方程为f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是 ；x1+x2+x3的取值范围是 三、解答题（本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知tan2，求（1）（2）18（12分）如图所示，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABAD，CDAD，CD2AB点E是PC的中点（）求证：BE平面PAD；（）已知平面PCD底面ABCD，且PCDC在棱PD上是否存在点F，使CFPA？请说明理由19（12分）已知向量，（1）若，求x的值；（2）记，求f（x）的单调递增区间2
5、0（12分）已知函数的最小正周期为，且点为f（x）图象上的一个最低点（1）求f（x）的解析式；（2）设函数，求g（x）的值域21（12分）已知圆E过圆x2+y2+2x4y40与直线yx的交点，且圆E上任意一点关于直线y2x2的对称点仍在圆E上（1）求圆E的标准方程；（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点（异于点A），且点H（2，0）满足AHl，求直线l的方程22（12分）已知函数f（x）x2+4x+a5，g（x）m4x12m+7（1）若函数f（x）在区间1，1上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a0时，若对任意的x11，2，总存在x21，2，使f（x1）g（x2）成
6、立，求实数m的取值范围；（3）若yf（x）（xt，2）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为64t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间p，q的长度qp）2017-2018学年广西桂林十八中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合A1，2，3，Bx|x24x+30，则AB（）A1B2C0，1D1，2【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出AB【解答】解：由x24x+30得1x3，则集合Bx|1x3，又集合A1，2，3，则AB（2），故选
7、：B【点评】本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题2（5分）sin（）（）ABCD【分析】直接利用诱导公式化简求解即可【解答】解：因为sin（）sinsin（6+）sin故选：B【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的值的求法，基本知识的考查3（5分）函数的定义域是（）A（，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（3，4）（4，+）【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解【解答】解：要使原函数有意义，则，即x3且x4函数的定义域是（3，4）（4，+）故选：D【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题4（5分）函数f（x）sin2xcos2x的
8、最小正周期是（）ABC2D4【分析】利用两角差和的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求出函数的最小正周期【解答】解：函数f（x）sin2xcos2xcos（2x+）所以函数f（x）sin2xcos2x的最小正周期是：T故选：B【点评】本题是基础题，考查三角函数的最小正周期的求法，三角函数的化简，考查计算能力，常考题型5（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a（）A2B4C6D8【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，
9、分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a24，b30不满足ab，可得b30246，满足ab，可得a24618，满足ab，可得a18612，满足ab，可得a1266，此时，满足ab6，退出循环，输出a的值为6，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题6（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A1BCD2【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：
10、其中PB平面ABCD，底面ABCD为正方形PB1，AB1，AD1，BD，PDPC该几何体最长棱的棱长为：故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键7（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴为（）ABCDx【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律可得所得图象对应的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数的一条对称轴【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得ycos（x）的图象；再向右平移个单位，可得ycos（x）sinx
11、的图象令xk+，求得x2k+，kZ，令k0，可得函数的一条对称轴为x，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8（5分）若非零向量，满足|，且（）（3+2），则与的夹角为（）ABCD【分析】设与的夹角为，利用两个向量的数量积的定义，数两个向量垂直的性质，求得cos的值，可得的值【解答】解：设与的夹角为，（）（3+2），|，（）（3+2）323|cos20，cos，故选：D【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，数两个向量垂直的性质，属于基础题9（5分）已知圆C：x2+y24x2y+10的圆心在直线l：x+ay10（aR）上，过点A
12、（4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|（）A2BC6D【分析】由圆C：x2+y24x2y+10的圆心C（2，1）在直线l：x+ay10（aR）上，得a1，过点A（4，1）作圆C的一条切线，切点为B，求出|AC|，r2，由此能求出|AB|【解答】解：圆C：x2+y24x2y+10的圆心C（2，1）在直线l：x+ay10（aR）上，2+a10，解得a1，A（4，1），过点A（4，1）作圆C的一条切线，切点为B，|AC|，r2，|AB|6故选：C【点评】本题考查圆切线长的求法，考查圆、切线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（5分）已知函数f（
13、x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增若实数a满足，则a的最大值是（）A1BCD【分析】根据f（x）为R上的偶函数即可得出f（32a1）f（32a1），再根据f（x）在（，0）上单调递增，即可根据条件得出，由此即可解得a，从而便可得出a的最大值【解答】解：f（x）是R上的偶函数，在（，0）上单调递增；f（32a1）f（32a1）；由得；解得；a的最大值为故选：D【点评】考查偶函数的定义，以及增函数的定义，指数函数的单调性，不等式的性质11（5分）函数f（x）x2bx+c满足f（1+x）f（1x）且f（0）3，则f（bx）和f（cx）的大小关系是（）Af（bx）f（cx）Bf（bx
14、）f（cx）Cf（bx）f（cx）D大小关系随x的不同而不同【分析】由f（1+x）f（1x）推出函数关于直线x1对称，求出b，f（0）3推出c的值，x0，x0确定f（bx）和f（cx）的大小【解答】解：f（1+x）f（1x），f（x）图象的对称轴为直线x1，由此得b2又f（0）3，c3f（x）在（，1）上递减，在（1，+）上递增若x0，则3x2x1，f（3x）f（2x）若x0，则3x2x1，f（3x）f（2x）f（3x）f（2x）故选：A【点评】本题是基础题，考查学生分析问题解决问题的能力，基本知识掌握的熟练程度，利用指数函数、二次函数的性质解决问题12（5分）在直角ABC中，BCA90，CA
15、CB1，P为AB边上的点且，若，则的取值范围是（）A，1B，1C，D，【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出的取值范围【解答】解：直角ABC中，BCA90，CACB1，以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），0，1，1+2+2224+10，解得：，0，1，1故选：B【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）111正视图侧视图俯视图13（5分）cos20cos10sin20sin10【
16、分析】由已知利用两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解【解答】解：cos20cos10sin20sin10cos（20+10）cos30故答案为：【点评】本题主要考查了两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题14（5分）设，是两个不共线的向量，且向量2与向量+是共线向量，则实数【分析】设存在实数m使得，代入整理，然后利用平面向量基本定理及复数相等的条件可得【解答】解：设存在实数m使得，则m（）m+m，由平面向量基本定理，这样的表示是唯一的，m2，m1，解得故答案为：【点评】本题考查平面向量基本定理及向量共线，属基础题15（
17、5分）若圆x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：yx+b的距离为，则b取值范围为2，2【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2，要求 圆上至少有三个不同的点到直线l：xy+b0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果【解答】解：圆x2+y24x4y100整理为（x2）2+（y2）218，圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：xy+b0的距离为2，则圆心到直线的距离d，2b2，b的取值范围是2，2，故答案为2，2【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题16（5分）对于实数a和b，定义运算“
18、*”：，设f（x）（2x1）*（x1），且关于x的方程为f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是【分析】由已知新定义，我们可以求出函数的解析式，进而分析出函数的两个极值点，进而求出x的方程为f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1+x2+x3的取值范围【解答】解：，f（x）（2x1）*（x1），则当x0时，函数取得极小值0，当x时，函数取得极大值故关于x的方程为f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3时，实数m的取值范围是令f（x），则x，或x不妨令
19、x1x2x3时则x10，x2+x31x1+x2+x3的取值范围是故答案为：，【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象形状及性质是解答的关键三、解答题（本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知tan2，求（1）（2）【分析】（1）由题意利用诱导公式、同角三角，求得要求式子的值（2）利用函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值【解答】解：（1）tan2，原式（2）tan2，原式【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题18（12分）如图所示，四棱锥P
20、ABCD的底面为直角梯形，ABAD，CDAD，CD2AB点E是PC的中点（）求证：BE平面PAD；（）已知平面PCD底面ABCD，且PCDC在棱PD上是否存在点F，使CFPA？请说明理由【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明：BE平面PAD；（2）棱PD上存在点F为PD的中点，使CFPA，利用三垂线定理可得结论【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ（1分）E为PC的中点，EQCD且EQCD（2分）又ABCD且ABCD，EQAB且EQAB（3分）四边形ABED是平行四边形，BEAQ（4分）又BE平面PAD，AQ平面PAD，BE平面PAD（5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中
21、点，使CFPA，平面PCD底面ABCD，平面PCD底面ABCDCD，ADCD，AD平面PCD，DP是PA在平面PCD中的射影，PCDC，PFDF，CFDP，CFPA【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理考查学生的推理能力19（12分）已知向量，（1）若，求x的值；（2）记，求f（x）的单调递增区间【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求，根据特殊角的三角函数值即可得解x的值（2）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x），根据正弦函数的单调性即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由得，即：，所以，（6分）
22、（2），由：，得：，可得：f（x）的单调递增区间为（12分）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题20（12分）已知函数的最小正周期为，且点为f（x）图象上的一个最低点（1）求f（x）的解析式；（2）设函数，求g（x）的值域【分析】（1）根据题意求得A、和的值，即可写出f（x）的解析式；（2）化简函数g（x）为正弦型函数，求出时函数g（x）的最大、最小值即得值域【解答】解：（1）根据f（x）Asin（2x+）的最小正周期为，可得，再根据f（x）图象上一个最低点为，
23、可得A2；又，即，再由，得，；（6分）（2）化简g（x）2sin（2x+）4sin2xsin2x+cos2x2（1cos2x）2sin（2x+）2，当时，故当，即时，函数g（x）取得最大值为2，当，即时，函数g（x）取得最小值为，故函数g（x）的值域为【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题21（12分）已知圆E过圆x2+y2+2x4y40与直线yx的交点，且圆E上任意一点关于直线y2x2的对称点仍在圆E上（1）求圆E的标准方程；（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点（异于点A），且点H（2，0）满足AHl，求直线l的方程【分
24、析】（1）方法一、联立直线方程和圆的方程求交点P，Q，求得PQ的垂直平分线，联立直线方程组求得交点即圆心，可得圆的半径，即有所求圆的方程；方法二、设圆E的方程为x2+y2+2x4y4+（xy）0，求得圆的圆心坐标，代入直线y2x2，解得，即可得到所求圆的标准方程；（2）求得A的坐标，设直线l的方程为yx+m，B（x1，y1），C（x2，y2），联立已知圆的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，即可得到所求直线方程【解答】（1）解法一：由，解得两交点分别为P（1，1），Q（2，2），PQ的中点为（，），斜率为1，则直线PQ的垂直平分线方程为，即yx+1，由联立解得圆心E（1，
25、0），半径，所以得到圆E的标准方程为（x1）2+y25；解法二：设圆E的方程为x2+y2+2x4y4+（xy）0，即为x2+y2+（2+）x（4+）y40，由条件知圆心在直线y2x2上，故，解得4于是所求圆E的标准方程为（x1）2+y25；（2）由题知A（0，2），H（2，0），kAH1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为yx+m，B（x1，y1），C（x2，y2），由，得2x2+2（m1）x+m240，故x1+x21m，（*）又（x12）x2+（x1+m）（x2+m2）2x1x2+（m2）（x1+x2）+m（m2）0，将（*）代入得m2+m60，解得m2或m3，当m2时，直线l：yx+2
26、过点A，不合题意；当m3时，直线l：yx3，经检验直线l与圆E相交，故所求直线l的方程为yx3【点评】本题考查圆的方程和运用，以及直线和圆的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）x2+4x+a5，g（x）m4x12m+7（1）若函数f（x）在区间1，1上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a0时，若对任意的x11，2，总存在x21，2，使f（x1）g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若yf（x）（xt，2）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为64t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间p，
27、q的长度qp）【分析】（1）求出函数的对称轴，得到函数的单调性，解关于a的不等式组，解出即可；（2）只需函数yf（x）的值域是函数yg（x）的值域的子集，通过讨论m0，m0，m0的情况，得到函数的单调性，从而确定m的范围即可；（3）通过讨论t的范围，结合函数的单调性以及f（2），f（2）的值，得到关于t的方程，解出即可【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x2，故f（x）在区间1，1递增，函数在区间1，1存在零点，故有，即，解得：0a8，故所求实数a的范围是0，8；（2）若对任意的x11，2，总存在x21，2，使f（x1）g（x2）成立，只需函数yf（x）的值域是函数yg（x）的值域的
28、子集，a0时，f（x）x2+4x5，x1，2的值域是0，7，下面求g（x），x1，2的值域，令t4x1，则t1，4，ymt2m+7，m0时，g（x）7是常数，不合题意，舍去；m0时，g（x）的值域是7m，2m+7，要使0，77m，2m+7，只需，解得：m7；m0时，g（x）的值域是2m+7，7m，要使0，72m+7，7m，只需，解得：m，综上，m的范围是（，7，+）；（3）由题意得，解得：t，t6时，在区间t，2上，f（t）最大，f（2）最小，f（t）f（2）t2+4t+464t，即t2+8t20，解得：t43或t4+3（舍去）；6t2时，在区间t，2上，f（2）最大，f（2）最小，f（2）f（2）1664t，解得：t；2t时，在区间t，2上，f（2）最大，f（t）最小，f（2）f（t）t24t+1264t，即t26，解得：t或t，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t43或t【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，集合思想，是一道综合题
