1、设集合 Mx|log2（x1）0，集合 Nx|x2，则 NRM（ ） Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x3 Dx|2x2 2 （5 分）复数 z 满足，则 在复平面上对应的点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）设 x，yR，则（xy）x40 是 xy 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）设双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线互相垂直，顶点到一条 渐近线的距离为 1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A B2 C2 D4 5 （5 分）已知 m0，n0，在（1+mx）3+（1
2、+nx）2的展开式中，当 x2项系数为 3 时， 则 m+n 的最大值为（ ） A B C2 D2 6 （5 分）已知公差不为 0 的等差数列an满足 a32a1a4，Sn为数列an的前 n 项和，则 的值为（ ） A2 B3 C2 D3 7 （5 分）某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是 第 2 页（共 25 页） （ ） A2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同 B支出最高值与支出最低值的比是 6：1 C第三季度平均收入为 50 万元 D利润最高的月份是 2 月份 8 （5 分）若 sin（），cos（+2）（ ） A B
3、C D 9 （5 分）某程序框图如图所示，若输出 S，则判断框中 M 为（ ） 第 3 页（共 25 页） Ak7？ Bk6？ Ck8？ Dk8？ 10 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11当 n2 时，an+2Sn12n+1，则 S299 （ ） A246 B299 C247 D248 11 （5 分）网格纸的各小格都是边长为 1 的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三 视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）logax+x，g（x）ln（x1）logxa+4（a0） ，若存在实数 x0，使得 f（x
4、0）g（x0） ，则 a（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上.） 13 （5 分）已知向量 （1，2） ， （2，m） ，与垂直，则 m 第 4 页（共 25 页） 14 （5 分）若 x，y 满足不等式组，则 z3x+2y 的最大值为 15 （5 分）已知 ab1，且 2logab+4logba9，则函数 f（x）|b2xa|的单调递增区间 为 16 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过点 F 斜率为的直 线 l与抛
5、物线 C 交于点 M（M 在 x 轴的上方） ，过 M 作 MNl 于点 N，连接 NF 交抛物 线 C 于点 Q，则 三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应 位置位置.） 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C0 所对的边分别为 a、b、c，已知， （）求 A 的大小； （）若 a6，求 b+c 的取值范围 18 （12 分）甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出 工其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天 250 元；
6、方式而：雨天每 天 120 元，晴天出工每天 200 元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30 天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10 天）为依 据作出选择；乙和丙在分析了当地近 9 年此月的下雨天数（n）的频数分布表（见表）后， 乙以频率最大的 n 值为依据作出选择，丙以 n 的平均值为依据作出选择 n 8 9 10 11 12 13 频数 3 1 2 0 2 1 （）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由； （）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？ （）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过 11 天的概率 1
7、9 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ABDC， ABCCAD90，且 PAABBC，点 E 是棱 PB 上的动点 （I）当 PD平面 EAC 时，确定点 E 在棱 PB 上的位置； （II）在（I）的条件下，若 CBa，求三棱锥 APEC 的体积 第 5 页（共 25 页） 20 （12 分）已知两点 A（2，0） ，B（2，0） ，直线 AM、BM 相交于点 M，且这两条直线 的斜率之积为 （）求点 M 的轨迹方程； （）记点 M 的轨迹为曲线 C，曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1，直线 PE、 PF 与圆（x1）2+y2r
8、2（）相切于点 E、F，又 PE、PF 与曲线 C 的另一交 点分别为 Q、R求OQR 的面积的最大值（其中点 O 为坐标原点） 21 （12 分）设函数在1，+）上是增函数 （1）求正实数 a 的取值范围； （2）设 b0，a1，求证： 选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）已知平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为 （）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程； （）若 Q 为 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l：（t 为参数）距离的最小 值 选修选修 4-5：
9、不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x4|+|xa|（a4） （）若 f（x）的最小值为 3，求 a 值； （）求不等式 f（x）3x 的解集 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年广西南宁二中高三（上）学年广西南宁二中高三（上）10 月月考数学试卷（文月月考数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）设集合 Mx|log
10、2（x1）0，集合 Nx|x2，则 NRM（ ） Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x3 Dx|2x2 【分析】化简集合 M、求出RM，计算 NRM 即可 【解答】解：集合 Mx|log2（x1）0x|x11x|x2， RMx|x2， 又集合 Nx|x2， NRMx|2x2 故选：D 【点评】本题考查了交集与补集的运算问题，也考查了对数函数的定义与应用问题，是 基础题目 2 （5 分）复数 z 满足，则 在复平面上对应的点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 在复平面 上对应的点的坐标得答案 【
11、解答】解：由， 得， 在复平面上对应的点的坐标为（，） ，所在象限为第四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义， 是基础题 第 7 页（共 25 页） 3 （5 分）设 x，yR，则（xy）x40 是 xy 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由（xy）x40xy，反之不成立，例如取 x0，y1即可判断出结论 【解答】解：由（xy）x40xy，反之不成立，例如取 x0，y1 （xy）x40 是 xy 的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推
12、理能力与计算能力， 属于中档题 4 （5 分）设双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线互相垂直，顶点到一条 渐近线的距离为 1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A B2 C2 D4 【分析】利用已知条件求出渐近线的斜率，得到渐近线方程，通过顶点到一条渐近线的 距离为 1，求出 a，然后求解焦点到一条渐近线的距离 【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线互相垂直， 可得渐近线的斜率为1，渐近线方程为 xy0， 顶点到一条渐近线的距离为 1，可得：，可得 a，双曲线的一个焦点坐标（2， 0） ， 则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为： 故选：A 【点评】本题考查双曲线
13、的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 5 （5 分）已知 m0，n0，在（1+mx）3+（1+nx）2的展开式中，当 x2项系数为 3 时， 则 m+n 的最大值为（ ） A B C2 D2 【分析】 （1+mx）3+（1+nx）2的展开式中，x2项系数为+3n2，可得 m2+n21， 利用 m+n即可得出 第 8 页（共 25 页） 【解答】解： （1+mx）3+（1+nx）2的展开式中， x2项系数为+3n23m2+3n23， 化为 m2+n21， m0，n0， 则 m+n， 当且仅当 mn时取等号 m+n 的最大值为 故选：B 【点评】本题考查了二项式定理的应用、基本不等
14、式的性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 6 （5 分）已知公差不为 0 的等差数列an满足 a32a1a4，Sn为数列an的前 n 项和，则 的值为（ ） A2 B3 C2 D3 【分析】公差 d0 的等差数列an满足 a32a1a4，可得a1（a1+3d） ，化 为：a14d代入，化简即可得出 【解答】解：公差 d0 的等差数列an满足 a32a1a4， a1（a1+3d） ，化为：a14d 则2 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 7 （5 分）某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是 第
15、9 页（共 25 页） （ ） A2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同 B支出最高值与支出最低值的比是 6：1 C第三季度平均收入为 50 万元 D利润最高的月份是 2 月份 【分析】通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可 【解答】 解： A， 2至 3 月份的收入的变化率为20， 11至 12 月份的变化率为 20，故相同A 正确 B，支出最高值是 2 月份 60 万元，支出最低值是 5 月份的 10 万元，故支出最高值与支出 最低值的比是 6：1 故 B 正确 C，第三季度的 7，8，9 月每个月的收入分别为 40 万元，50 万元，60 万元，故第三
16、季度 的平均收入为50 万元，故 C 正确 D，利润最高的月份是 3 月份和 10 月份都是 30 万元，高于 2 月份的利润是 806020 万元，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目 第 10 页（共 25 页） 8 （5 分）若 sin（），cos（+2）（ ） A B C D 【分析】通过诱导公式化简所求的表达式，然后通过二倍角公式求解表达式的值即可 【解答】解：sin（）， cos（）cos（+）， cos（+2）2cos2（+）11， 故选：D 【点评】本题考查诱导公式的应用，二倍角公式的应用，考查计算能力 9 （5 分）某程序框
17、图如图所示，若输出 S，则判断框中 M 为（ ） Ak7？ Bk6？ Ck8？ Dk8？ 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：第一次执行循环体，S，不满足结束循环的条件，故 k2； 第二次执行循环体，S，不满足结束循环的条件，故 k3； 第三次执行循环体，S，不满足结束循环的条件，故 k4； 第 11 页（共 25 页） 第四次执行循环体，S，不满足结束循环的条件，故 k5； 第五次执行循环体，S1，不满足结束循环的条件，故 k6； 第六次执行循环体，S，不满足结束循环的条
18、件，故 k7； 第七次执行循环体，S，不满足结束循环的条件，故 k8； 第八次执行循环体，S，满足结束循环的条件， 故退出的循环的条件，应为：k8？， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答 10 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11当 n2 时，an+2Sn12n+1，则 S299 （ ） A246 B299 C247 D248 【分析】通过 an+2Sn12n+1 与 an+1+2Sn2（n+1）+1 作差可知 an+1+an2（n2） ， 进而利用分组法求和即可 【解答】解：an+2Sn12n+1，an+1+
19、2Sn2（n+1）+1， 两式相减得：an+1+2anan2，即 an+1+an2（n2） ， 又a11， S299a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a298+a299） 1+2 299， 故选：B 【点评】本题考查数列的求和，考查分组法求和，注意解题方法的积累，属于中档题 11 （5 分）网格纸的各小格都是边长为 1 的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三 视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（ ） 第 12 页（共 25 页） A B C D 【分析】该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面，高为 ，底面是一个等腰直角三角 形的三棱锥， 这个几何体的外接球的球心
20、 O 在高线 PD 上， 且是等边三角形 PAC 的中心， 由此能求出这个几何体的外接球的半径 R，从而能求出这个几何体的外接球的表面积 【解答】解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形， 可得该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面，高为 ， 底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图 则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上， 且是等边三角形 PAC 的中心， 这个几何体的外接球的半径 RPD 则这个几何体的外接球的表面积为 S4R24（）2 故选：D 【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注 意空间思维能力的培养 12 （5 分）
21、已知函数 f（x）logax+x，g（x）ln（x1）logxa+4（a0） ，若存在实数 第 13 页（共 25 页） x0，使得 f（x0）g（x0） ，则 a（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】令 f（x）g（x）logax+x1n（x1）+logxa4，运用导数求出 yxln（x 1）的最小值；运用基本不等式可得 logax+logxa2，由等号成立的条件，从而解得 a 【解答】解：令 f（x）g（x）logax+x1n（x1）+logxa4， 令 yxln（x1） ，y1， 故 yxln（x1）在（1，2）上是减函数， （2，+）上是增函数， 故当 x2 时，y 有最小值 202
22、， 存在实数 x0，使得 f（x0）g（x0） ， 可得 a1， 而 logax+logxa2（当且仅当 xa 时，等号成立） ； 故 xa2，满足题意 故选：A 【点评】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数 的零点的关系应用，属于中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上.） 13 （5 分）已知向量 （1，2） ， （2，m） ，与垂直，则 m 1 【 分 析 】 先 求 出 向 量的 坐 标 ， 根 据与垂 直 便 可 得 到 ，进行数量积的坐标
23、运算便可求出 m 的值 【解答】解：； ； ； 解得 m1 故答案为：1 【点评】考查向量坐标的加法和减法运算，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐 标运算 第 14 页（共 25 页） 14 （5 分）若 x，y 满足不等式组，则 z3x+2y 的最大值为 【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线 yx 可得结论 【解答】解：作出 x，y 满足不等式组所对应的可行域（如图ABC） ， 变形目标函数 z3x+2y 可得 yx+z，平移直线 yx+z 可知， 当直线经过点 A 时，直线的截距取最大值，z 取最大值，由，解得 A（，1） 代值计算可得 z 的最大值为：， 故答案为： 【点评】本
24、题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题 15 （5 分）已知 ab1，且 2logab+4logba9，则函数 f（x）|b2xa|的单调递增区间为 1，+） 【分析】可由条件得到，根据 ab1 即可解出 logba2，从而有 ab2，这便可得到 f（x）b2|x1|，根据一次函数的单调性便可得出 f（x）的 单调递增区间 【解答】解：由 2logab+4logba9 得，； ； 第 15 页（共 25 页） 解得； ab1； logba2； ab2； ； f（x）|b2xa|b2|x1|； f（x）的单调递增区间为1，+） 故答案为：1，+） 【点评】考查对数的换底公式，一元
25、二次方程的解法，对数函数的单调性，以及对数式 和指数式的互化，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及一次函数的单调性 16 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，过点 F 斜率为的直 线 l与抛物线 C 交于点 M（M 在 x 轴的上方） ，过 M 作 MNl 于点 N，连接 NF 交抛物 线 C 于点 Q，则 2 【分析】由于所求的是比值，为了便以计算，不妨设 p2，分别求出点 M，N，以及 Q 的坐标，即可求出答案 【解答】解：不妨设 p2，则 F（1，0） ，准线为 l 为 x1， 直线 l的方程为 y（x1） ， 联立方程组可得，解得或， M 在 x
26、轴的上方， M（3，2） ， MNl 于点 N， N（1，2） ， 直线 NF 的方程为 y（x1） ，即 y（x1） ， 联立方程组可得，解得，或， 第 16 页（共 25 页） Q（，） ， |QF|+1， |NF|4， |NQ|4， 2， 故答案为：2 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了抛物线的简单性质，考查了运算 能力和转化能力，属于中档题 三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应 位置位置.） 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C0 所对
27、的边分别为 a、b、c，已知， （）求 A 的大小； （）若 a6，求 b+c 的取值范围 【分析】 （）已知等式利用正弦定理化简，求出 tanA 的值，即可确定出 A 的大小； （）利用余弦定理，基本不等式可求 b+c12，结合大边对大角即可得解 【解答】解： （）由条件结合正弦定理得， sinAcosA， 即 tanA， 0A， A；5 分 （II）b0，c0，b+ca6， 由余弦定理得：36b2+c22bccosA（b+c） 23bc（b+c）2 （b+c）2 （b+c） 2， （当且仅当 bc 时等号成立） ， （b+c）2436，可得：b+c12， 又 b+c6， 6b+c12，从而
28、 b+c 的取值范围是（6，1212 分 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理 第 17 页（共 25 页） 是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18 （12 分）甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出 工其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天 250 元；方式而：雨天每 天 120 元，晴天出工每天 200 元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30 天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10 天）为依 据作出选择；乙和丙在分析了当地近 9 年此月的下雨天
29、数（n）的频数分布表（见表）后， 乙以频率最大的 n 值为依据作出选择，丙以 n 的平均值为依据作出选择 n 8 9 10 11 12 13 频数 3 1 2 0 2 1 （）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由； （）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？ （）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过 11 天的概率 【分析】 （）按计酬方式一、二的收入分别记为 f（n） 、g（n） ，f（10）250（30 10）5000，g（10）12010+200205200，从而甲选择计酬方式二；由频数分布 表知频率最大的 n8，f（8）250（308）5500，g
30、（8）1208+200225360， 从而乙选择计酬方式一；n 的平均值为 10，从而丙选择计酬方式二 （）甲统计了 1 个月的情况，乙和丙统计了 9 个月的情况，丙的统计范围最大，三人 中丙的依据更有指导意义 （）任选一年，此月下雨不超过 11 天的频率为 p，以此作为概率，则未来三 年中恰有两年，由此能求出此月下雨不超过 11 天的概率 【解答】解： （）按计酬方式一、二的收入分别记为 f（n） 、g（n） ， f（10）250（3010）5000， g（10）12010+200205200， 所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的 n8， f（8）250（308）5500， g
31、（8）1208+200225360， 所以乙选择计酬方式一； 第 18 页（共 25 页） n 的平均值为（83+91+102+122+131）10， 所以丙选择计酬方式二 （）甲统计了 1 个月的情况，乙和丙统计了 9 个月的情况， 但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大， 三人中丙的依据更有指导意义 （）任选一年，此月下雨不超过 11 天的频率为 p， 以此作为概率，则未来三年中恰有两年， 此月下雨不超过 11 天的概率为 p 【点评】本题考查平均数、概率的求法及应用，考查 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发 生 k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，
32、考查函数与方程思想，是基础 题 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ABDC， ABCCAD90，且 PAABBC，点 E 是棱 PB 上的动点 （I）当 PD平面 EAC 时，确定点 E 在棱 PB 上的位置； （II）在（I）的条件下，若 CBa，求三棱锥 APEC 的体积 【分析】 （）连结 AC、BD，交于点 F，连结 EF，设 PAABBCa，则 AC， ADAC，CD2a，由 ABCD，得，由此能求出当 PD平面 EAC 时，点 E 是棱 PB 上靠近点 B 的三等分点 （）以 A 为原点，AD 为 x 轴，AC 为 y 轴，
33、AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出三棱锥 APEC 的体积 【解答】解： （）连结 AC、BD，交于点 F，连结 EF， 底面 ABCD 为梯形，ABDC，ABCCAD90，且 PAABBC， 设 PAABBCa， 第 19 页（共 25 页） AC，ADAC，CD2a， ABCD，ABFCDF， ， PD平面 EAC，PDEF， 故当 PD平面 EAC 时，点 E 是棱 PB 上靠近点 B 的三等分点 （）以 A 为原点，AD 为 x 轴，AC 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 平面 APC 的法向量 （1，0，0） ， P（0，0，a） ，B（，0）
34、 ，E（，） ， （，） ， 点 E 到平面 APC 的距离 d， SPAC， 三棱锥 APEC 的体积： VAPECVEAPC 【点评】本题考查满足线面平行的点的位置的确定与求法，考查三棱锥的体积的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形 结合思想，是中档题 20 （12 分）已知两点 A（2，0） ，B（2，0） ，直线 AM、BM 相交于点 M，且这两条直线 第 20 页（共 25 页） 的斜率之积为 （）求点 M 的轨迹方程； （）记点 M 的轨迹为曲线 C，曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1，直线 PE、 PF 与圆（x1）2+
35、y2r2（）相切于点 E、F，又 PE、PF 与曲线 C 的另一交 点分别为 Q、R求OQR 的面积的最大值（其中点 O 为坐标原点） 【分析】 （）设点 M（x，y） ，由题意可得，利用斜率计算公式即可得出 化简即可 （II）把 x1 代入曲线 C 的方程，可得点 P（） 由于圆（x1）2+y2r2的圆心 为（1，0） ， 利用对称性可知直线 PE 与直线 PF 的斜率互为相反数设直线 PE 的方程为 ，与椭圆的方程联立可得 （4k2+3）x2+（12k8k2）x+（4k212k3）0，由于 x1 是方程的一个解，可得方 程的另一解为同理可得直线 RQ 的斜率为 kRQ 把直线 RQ 的方程
36、代入椭圆方程，消去 y 整理得 x2+tx+t230利用弦长 公式可得|RQ|再利用点到直线的距离公式可得：原点 O 到直线 RQ 的距离为 d利用 和基本不等式即可得出 【解答】解： （）设点 M（x，y） ， 整理得点 M 所在的曲线 C 的方程：（x2） （） 把 x1 代入曲线 C 的方程， 可得， y0， 解得， 点 P （） 圆（x1）2+y2r2的圆心为（1，0） ， 直线 PE 与直线 PF 的斜率互为相反数 设直线 PE 的方程为， 第 21 页（共 25 页） 联立，化为 （4k2+3）x2+（12k8k2）x+（4k212k3）0， 由于 x1 是方程的一个解， 方程的另
37、一解为 同理 故直线RQ的斜率为 把直线 RQ 的方程代入椭圆方程，消去 y 整理得 x2+tx+t230 |RQ| 原点 O 到直线 RQ 的距离为 d 当且仅当 t时取等号 OQR 的面积的最大值为 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得 到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、斜率计算公式、圆的标准方程及 第 22 页（共 25 页） 其切线性质、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了 推理能力和计算能力，属于难题 21 （12 分）设函数在1，+）上是增函数 （1）求正实数 a 的取值范围； （2）设 b0，a1，
38、求证： 【分析】 （1）求出 f（x）的导函数，因为函数在1，+）上是增函数，即导函数大于等 于 0 对 x 属于1，+）恒成立，令导函数大于等于 0 列出不等式，解出 a 大于等于 x 的 倒数，求出 x 倒数的最大值即可得到实数 a 的范围； （2）设 x 等于，由 b 大于 0，a 大于 1，得出大于 1，根据函数在1，+）上 是增函数，得到 f（）大于 f（1） ，化简可得；设 G（x）xlnx， 且 x 大于 1，求出 G（x）的导函数，根据 x 大于 1 得到导函数大于 0，所以 G（x）为增 函数，由 x 大于 1，得到 G（x）大于 G（1）即 x 大于 lnx，即可得到，综
39、上，得证 【解答】解： （1）对 x1，+）恒成立， 对 x1，+）恒成立， 又， a1 为所求； （2）取， ， 一方面，由（1）知在1，+）上是增函数， 即； 另一方面，设函数 G（x）xlnx（x1） ， 第 23 页（共 25 页） ， G（x）在（1，+）上是增函数且在 xx0处连续，又 G（1）10， 当 x1 时，G（x）G（1）0， xlnx 即， 综上所述， 【点评】此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用函数的单调性解决实际 问题，是一道综合题 选修选修 4-4：极坐标与参数方程：极坐标与参数方程 22 （10 分）已知平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点，x 轴
40、的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为 （）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程； （）若 Q 为 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l：（t 为参数）距离的最小 值 【分析】 （1）利用 xcos，ysin 即可得出； （2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出， 【解答】解 （1）P 点的极坐标为， 3， 点 P 的直角坐标 把 2 x2+y2， y sin代 入可 得， 即 曲线 C 的直角坐标方程为 （2）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，直线 l 的普通方程为 x2y 70 设，则线段 PQ 的中点 那
41、么点M到直线l的距离 第 24 页（共 25 页） . ， 点 M 到直线 l 的最小距离为 【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、 两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力， 属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x4|+|xa|（a4） （）若 f（x）的最小值为 3，求 a 值； （）求不等式 f（x）3x 的解集 【分析】 （1）因为函数 f（x）|x4|+|xa|a4|，由题意可得|a4|3，由此求得 a 的值 （2）不等式即|x4|+|xa|3x，a4，分当 xa 时、当
42、 ax4 时、当 x 4 时三种情况，去掉绝对值，求得不等式 f（x）3x 的解集 【解答】解： （1）因为函数 f（x）|x4|+|xa|（x4）（xa）|a4|， 因为 a4，所以当且仅当 ax4 时等号成立，故|a4|3，即 a1 （2）不等式 f（x）3x，即不等式|x4|+|xa|3x，a4， 当 xa 时，原不等式可化为 4x+ax3x，xa+1 所以，当 xa 时，原不等式成立 当 ax4 时，原不等式可化为 4x+xa3x， 即 xa1，所以，当 ax4 时，原不等式成立 当 x4 时，原不等式可化为 x4+xa3x， 即 x 由于 a4 时 4 所以，当 x4 时，原不等式成立 综合可知：不等式 f（x）3x 的解集为 R 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论以及等价转化的数学思想， 属于中档题
