2018-2019学年广西南宁三中高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

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1、2018-2019学年广西南宁三中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)已知集合Ax|1x2,Bx|0x3,则AB()A(1,3)B(1,0)C(0,2)D(2,3)2(5分)如果cos0,且tan0,则是()A第一象限的角B第二象限的角C第三象限的角D第四象限的角3(5分)函数f(x)+ln(x+1)的定义域为()A(2,+)B(1,2)(2,+)C(1,2)D(1,24(5分)已知是第四象限角,sin,则tan()ABCD5(5分)函数f(x)3x+2x7的零点所在区间为()A(1,0)B(0,1

2、)C(1,2)D(2,3)6(5分)函数f(x)ln(x22x3)的单调递增区间是()A(,1)B(,1)C(1,+)D(3,+)7(5分)若,则sin2sincos3cos2()ABCD8(5分)如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数yx,y,y()x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A的纵坐标为2,则的D的坐标为()A(,)B(,)C(,)D(,)9(5分)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,且函数f(x)在(,0上单调递减,则不等式f(x)f(2x1)的解集为()A(,)(1,+)B(,1)(,+)C(,1)D(1,)10(5分)将函数图象上所有点的横坐标

3、缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数yg(x)的图象,则函数yg(x)的图象的一个对称中心是()ABCD11(5分)有以下四个命题:集合Ax|mx2m1,Bx|1x3,若AB,则m的取值范围为1,2;函数y3x|log3x|1只有一个零点;函数的周期为;角的终边经过点P(x,4),若,则这四个命题中,正确的命题有()个A1B2C3D412(5分)已知函数,则方程的实根个数不可能为()A8B7C6D5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)sin150cos240的值为   14(5分)函数ysin2x+cosx的最大值为   15(5分)若函数yf(x)

4、的定义域是2,3,则函数yf(x1)的定义域是   16(5分)对于函数f(x),若对于任意的a,b,cR,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”,已知函数f(x)是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是   三、解答题:第17题10分,其余每题都是12分,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)(1)化简:(2)已知,且,求tan18(12分)(1)求值:;(2)已知函数g(x)(a+1)x2+1(a0)的图象恒过定点A,且点A又在函数f(x)log(x+a)的图象上,解不等式g(x)319(12分)设

5、函数f(x)(log2x+2)(log2x+1)的定义域为,求yf(x)的最大值与最小值,并求出函数取最值时对应的x的值20(12分)已知函数是定义在(,+)上的奇函数(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(0,1时,tf(x)2x2恒成立,求实数t的取值范围21(12分)已知函数的部分图象如图所示(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标;(3)将f(x)的图象向左平移个单位,再讲横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象,求函数yg(x)在上的最大值和最小值22(12分)已知函数f(x)|xm|,函数g

6、(x)xf(x)+m27m(1)若m1求不等式g(x)0的解集;(2)求函数g(x)在3,+)上的最小值;(3)若对任意x1(,4,均存在x23,+),使得f(x1)g(x2)成立,求实数m的取值范围2018-2019学年广西南宁三中高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)已知集合Ax|1x2,Bx|0x3,则AB()A(1,3)B(1,0)C(0,2)D(2,3)【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解:Ax|1x2,Bx|0x3,ABx|1x3,故选:A【点评】本题主要考查

7、集合的基本运算,比较基础2(5分)如果cos0,且tan0,则是()A第一象限的角B第二象限的角C第三象限的角D第四象限的角【分析】根据三角函数的符号,判断是哪一象限角即可【解答】解:cos0,是第二、第三象限角或x负半轴角,又tan0,是第一或第三象限角,是第三象限角故选:C【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题,是基础题目3(5分)函数f(x)+ln(x+1)的定义域为()A(2,+)B(1,2)(2,+)C(1,2)D(1,2【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组,解出即可【解答】解:由题意得:,解得:1x2,故选:C【点评】本题考查了二次根式的性质

8、,考查了对数函数的性质,是一道基础题4(5分)已知是第四象限角,sin,则tan()ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系,求得tan的值【解答】解:是第四象限角,sin,cos,则tan,故选:C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题5(5分)函数f(x)3x+2x7的零点所在区间为()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)【分析】由题意易知函数f(x)3x+2x7在定义域上是连续增函数,再由函数零点的判定定理求解【解答】解:易知函数f(x)3x+2x7在定义域上是连续增函数,f(1)3+2710,f(2)9+4760,f(1)f(2)0;由零点判定定理,可知函

9、数f(x)3x+2x7的零点所在的区间为(1,2);故选:C【点评】本题考查了函数的零点的判断,属于基础题6(5分)函数f(x)ln(x22x3)的单调递增区间是()A(,1)B(,1)C(1,+)D(3,+)【分析】令tx22x30 求得函数的定义域,结合f(x)g(t)lnt,本题即求二次函数t在定义域内的增区间,再利用二次函数的性质可得得出结论【解答】解:令tx22x30,求得x1,或 x3,故函数的定义域为x|x1,或 x3 根据f(x)g(t)lnt,本题即求二次函数t在定义域内的增区间再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为(3,+),故选:D【点评】本题主要考查复合函数

10、的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题7(5分)若,则sin2sincos3cos2()ABCD【分析】由已知求得tan,再由同角三角函数基本关系式化弦为切求得sin2sincos3cos2的值【解答】解:由,得,即tan3sin2sincos3cos2故选:C【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题8(5分)如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数yx,y,y()x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A的纵坐标为2,则的D的坐标为()A(,)B(,)C(,)D(,)【分析】根据点在函数图象,把点A的纵坐标代入

11、对应的函数解析式求出x,求出点A的坐标,再由四边形ABCD是矩形求出B、C的坐标,最后求出点D的坐标【解答】解:由题意得,A,B,C分别在函数yx,y,y()x的图象上,把y2代入yx得,2x,即x,所以A(,2),由四边形ABCD是矩形得,B点的纵坐标也是2,把y2代入y得,2,即x4,所以B(4,2),则点C的横坐标是4,把x4代入y()x得,y,所以点D的坐标是(,),故选:A【点评】本题考查利用函数图象和解析式求出点的坐标,考查识图能力、数形结合思想9(5分)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,且函数f(x)在(,0上单调递减,则不等式f(x)f(2x1)的解集为()A(,

12、)(1,+)B(,1)(,+)C(,1)D(1,)【分析】根据条件可得出f(x)是偶函数,并且在0,+)上单调递增,从而由f(x)f(2x1)可以得出f(|x|)f(|2x1|),进而得出x2(2x1)2,解出x的范围即可【解答】解:依题意,函数f(x)是偶函数,且f(x)在0,+)上单调递增;由f(x)f(2x1)得,f(|x|)f(|2x1|);|x|2x1|;x2(2x1)2;整理得,3x24x+10;解得,或x1;原不等式的解集为故选:A【点评】考查偶函数的定义,偶函数图象的对称性,偶函数在对称区间上单调性的特点,以及增函数的定义10(5分)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵

13、坐标不变),得到函数yg(x)的图象,则函数yg(x)的图象的一个对称中心是()ABCD【分析】根据三角函数的平移变换规律求解g(x),结合三角函数的性质即可求解一个对称中心【解答】解:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),可得y2cos(2x+),即g(x)2cos(2x+),令2x+,kZ得:x,当k0时,可得一个对称中心为(,0)故选:B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,平移变换规律的应用属于基础题11(5分)有以下四个命题:集合Ax|mx2m1,Bx|1x3,若AB,则m的取值范围为1,2;函数y3x|log3x|1只有一个零点;函数的周期为;角的终边经过点P(

14、x,4),若,则这四个命题中,正确的命题有()个A1B2C3D4【分析】由A为空集和不为空集,可得m的不等式组,解不等式可得m的范围,可判断;由y|log3x|和y3x的图象交点个数,可得函数y3x|log3x|1的零点个数,可判断;求得f(x+)f(x),即可判断;由任意角三角函数的定义,计算可判断【解答】解:对于,集合Ax|mx2m1,Bx|1x3,若AB,当A时,m2m1,即m1;当A时,1m2m13,即1m2,则m的取值范围为(,2,故错误;对于,函数y3x|log3x|1的零点个数即为y|log3x|和y3x的图象交点个数,作出图象可得有两个交点,则函数y3x|log3x|1的零点有

15、两个零点,故错误;对于,由f(x+)|cos(x+)|cos(x+)|f(x),可得函数的周期为,故正确;对于,角的终边经过点P(x,4),若,即,解得x3,则sin,故正确故选:B【点评】本题考查集合的包含关系和函数的零点个数问题、三角函数的周期求法,以及任意角三角函数的定义,考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力,属于基础题12(5分)已知函数,则方程的实根个数不可能为()A8B7C6D5【分析】运用排除法,令tx+1,则t(,31,+)可得f(t)a,作出yf(x)的图象,以及tx+1的图象,讨论a1,alog35,log35a2时,求得t的范围,可得x的解分别为6,7,8,即可得到结

16、论【解答】解:,令tx+1,则t(,31,+)可得f(t)a,画出yf(x)的图象(如右上),当a1时,t1,2,4,由tx+1的图象可得x有6个解;当alog35,即有t3,3,由tx+1的图象可得x有7个解;当log35a2时,t有一个小于3的解,三个大于1的解,由tx+1的图象可得x有8个解;综上可得方程的实根个数不可能为5故选:D【点评】本题重点考查分段函数的运用、函数的零点等知识,注意运用换元法和数形结合思想方法,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)sin150cos240的值为【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果【解答】解:sin1

17、50cos240sin30(cos60)(),故答案为:【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式,属于基础题14(5分)函数ysin2x+cosx的最大值为【分析】把函数转化为cosx,把cosx看为自变量,利用二次函数求最值【解答】解:ysin2x+cosxcos2x+cosx+1(cosx)2+,cosx时,ymax故答案为:【点评】本题考查三角函数的有界性,二次函数的最值,考查转化思想以及计算能力15(5分)若函数yf(x)的定义域是2,3,则函数yf(x1)的定义域是1,4【分析】由已知f(x)的定义域,可得2x13,求解x的取值范围可得函数yf(x1)的定义域【解答】解:函

18、数yf(x)的定义域是2,3,由2x13,解得1x4函数yf(x1)的定义域是1,4故答案为:1,4【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是基础题16(5分)对于函数f(x),若对于任意的a,b,cR,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”,已知函数f(x)是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是,2【分析】因对任意实数a、b、c,都存在以f(a)、f(b)、f(c)为三边长的三角形,则f(a)+f(b)f(c)恒成立,将f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,整个式子的取值范围由t1的符号

19、决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数的值域,然后讨论k转化为f(a)+f(b)的最小值与f(c)的最大值的不等式,进而求出实数k 的取值范围【解答】解:由题意可得f(a)+f(b)f(c)对于a,b,cR都恒成立,由于f(x)1+,当t10,f(x)1,此时,f(a),f(b),f(c)都为1,构成一个等边三角形的三边长,满足条件当t10,f(x)在R上是减函数,1f(a)1+t1t,同理1f(b)t,1f(c)t,由f(a)+f(b)f(c),可得 2t,解得1t2当t10,f(x)在R上是增函数,tf(a)1,同理tf(b)1,tf(c)1,由f(a)+f(b)f(c),可得 2

20、t1,解得1t综上可得,t2,故实数t的取值范围是,2,故答案为:,2【点评】本题主要考查了求参数的取值范围,以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域,同时考查了分类讨论的思想,属于难题三、解答题:第17题10分,其余每题都是12分,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)(1)化简:(2)已知,且,求tan【分析】(1)由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果(2)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sincos的值,可得sin 和cos的值,进而求得tan的值【解答】解:(1)(2)由题意得,sin0,cos0,因为,又sin0,cos0,故,故,【点评

21、】本题主要考查应用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错点,属于基础题18(12分)(1)求值:;(2)已知函数g(x)(a+1)x2+1(a0)的图象恒过定点A,且点A又在函数f(x)log(x+a)的图象上,解不等式g(x)3【分析】(1)进行对数式的运算即可;(2)容易看出函数g(x)过定点(2,2),从而得出A(2,2),从而得出,解出a1,从而得出g(x)2x2+1,这样解2x2+13即可求出原不等式的解集【解答】解:(1)原式2log32(log332log39)+3log3232log325log32+2+3log3231;(2)由题

22、意知定点A的坐标为(2,2);解得a1;g(x)2x2+1;由g(x)3得,2x2+13;2x22;x21;x3;不等式g(x)3的解集为(3,+)【点评】考查对数式的运算,对数的定义,清楚指数函数过的定点的坐标,点在函数图象上时,点的坐标满足函数解析式,以及指数函数的单调性19(12分)设函数f(x)(log2x+2)(log2x+1)的定义域为,求yf(x)的最大值与最小值,并求出函数取最值时对应的x的值【分析】设tlog2x,由对数函数性质可得t的取值范围,原函数可化为g(t)(t+2)(t+1),(2t2),利用二次函数的性质求解即可【解答】解:设tlog2x,则t2,2设g(t)(t

23、+1)(t+2),t2,2,y(t+1)(t+2)t2+3t+2在区间是减函数,在区间是增函数,当即时,yf(x)有最小值;当tlog2x2,即x4时,yf(x)有最大值f(4)g(2)12【点评】本题主要考查对数函数的性质与对数的运算性质、函数的单调性与最值以及换元法20(12分)已知函数是定义在(,+)上的奇函数(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(0,1时,tf(x)2x2恒成立,求实数t的取值范围【分析】(1)根据奇函数的性质,令f(0)0列出方程,求出a的值;(2)f(x)1,利用函数性质求出值域(3)由0x1判断出f(x)0,再把t分离出来转化为t,对x(0,1时

24、恒成立,利用换元法:令m2x1,代入上式并求出m的范围,再转化为求ym+1在(0,1上的最大值【解答】解:(1)函数f(x)是定义在(,+)上的奇函数,f(0)0,解得a2(2)由(1)得f(x)1,又2x0,2x+11,02,111,函数f(x)的值域(1,1),(3)由(1)可得f(x),当0x1时,f(x)0,当0x1时,tf(x)2x2恒成立,则等价于t对x(0,1时恒成立,令m2x1,0m1,即tm+1,当0m1时恒成立,即tm+1在(0,1上的最大值,易知在(0,1上单调递增,当m1时有最大值0,所以t0,故所求的t范围是:t0【点评】本题考查了奇函数的性质应用,恒成立问题以及转化

25、思想和分离常数法求参数范围,难度较大21(12分)已知函数的部分图象如图所示(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标;(3)将f(x)的图象向左平移个单位,再讲横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象,求函数yg(x)在上的最大值和最小值【分析】(1)由图象可求A,B,T,利用周期公式可得,由图象及五点法作图可求,即可得解f(x)的函数解析式(2)令2k2x+2k+,kZ,解得kxk+,kZ,可得f(x)的单调递增区间,令2x+k,kZ,可求f(x)的对称中心的坐标(3)由已知的图象变换过程可得:g(x)2sin(x+

26、),结合范围0x,可求,利用正弦函数的图象和性质即可计算得解【解答】(本题满分为12分)解:(1)由图象可知,可得:A2,B1,(2分)又由于,可得:T,所以,(3分)由图象及五点法作图可知:2+,所以,所以f(x)2sin(2x+)1(4分)(2)由(1)知,f(x)2sin(2x+)1,令2k2x+2k+,kZ,得kxk+,kZ,(6分)所以f(x)的单调递增区间为k,k+,kZ,令2x+k,kZ,得x,kZ,所以f(x)的对称中心的坐标为(,1),kZ(8分)(3)由已知的图象变换过程可得:g(x)2sin(x+),因为0x,所以,(10分)所以当x+,得x时,g(x)取得最小值g()2

27、,当x+,即x0时,g(x)取得最大值g(0)(12分)【点评】本题主要考查了由yAsin(x+)的部分图象确定其解析式,三角函数平移变换的规律,考查了正弦函数的图象和性质的应用,属于基础题22(12分)已知函数f(x)|xm|,函数g(x)xf(x)+m27m(1)若m1求不等式g(x)0的解集;(2)求函数g(x)在3,+)上的最小值;(3)若对任意x1(,4,均存在x23,+),使得f(x1)g(x2)成立,求实数m的取值范围【分析】(1)m1时,g(x)x|x1|6,原不等式即x|x1|60,分情况去绝对值并结合一元二次不等式的解法,可得解集;(2)去绝对值将g(x)化成分段函数的形式

28、,结合二次函数的图象得到当m0、当m0和当m0时3种情况下g(x)的单调性,根据这个单调性再结合m与3的大小关系,则不难得到g(x)的最小值的情况;(3)由题意,f(x)在(,4上的最小值大于g(x)在3,+)上的最小值,由此讨论函数f(x)的单调性,得到f(x)在(,4上的最小值,再结合(2)中所得结论,分3种情况建立不等式并解之,最后综合即可得到实数m的取值范围【解答】解:(1)当m1时,g(x)xf(x)+m27mx|x1|6不等式g(x)0,即x|x1|60,当x1时,不等式转化为x2x60,解之得x3或x2因为x2不满足x1,所以此时x3当x1时,不等式转化为x2+x60,不等式的解

29、集是空集综上所述,不等式g(x)0的解集为3,+); (2)g(x)xf(x)+m27m当m0时,g(x)在区间(,)和(m,+)上是增函数;(,m)上是减函数;当m0时,g(x)在区间(,m)和(,+)上是增函数;(m,)上是减函数;当m0时,g(x)在区间(,+)上是增函数定义域为x3,+),当m3时,g(x)在区间3,+)上是增函数,得g(x)的最小值为g(3)m210m+9; 当m3时,因为g(0)g(m)m27m,结合函数g(x)的单调性,得g(3)g(m)g(x)的最小值为g(m)m27m综上所述,得g(x)的最小值为; (3)f(x),因为x(,4,所以当m4时,f(x)的最小值为f(m)0;当m4时,f(x)的最小值为f(4)m4由题意,f(x)在(,4上的最小值大于g(x)在3,+)上的最小值,结合(2)得当m3时,由0m210m+9,得1m9,故1m3;当3m4时,由0m27m,得1m7,故3m4;当m4时,由m4m27m,得42m4+2,故4m4+2综上所述,实数m的取值范围是(1,4+2)【点评】本题以含有绝对值的函数和二次函数为载体,讨论了函数的性质并解关于x的不等式,着重考查了绝对值不等式的解法、二次函数的图象与性质和函数奇偶性与单调性的综合等知识,属于难题

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