2018-2019学年广西南宁三中高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、2018-2019学年广西南宁三中高一(下)期中数学试卷一、选择题(每小题5分,共60分)1(5分)若sin,则为第四象限角,则tan的值等于()ABCD2(5分)已知(1,2),(x,2),且 ,则|()ABC10D53(5分)数列0,的一个通项公式为()AanBanCanDan4(5分)在等差数列an中,若a24,a42,则a6()A1B0C1D65(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a,b3,A60,则边c()A1B2C4D66(5分)已知向量(k,12),( 4,5 ),(k,10 ),且A、B、C三点共线,则 k 的值是()ABCD7(5分)在数列an中,已知a

2、11,an+12an+1,则其通项公式为an()A2n1B2n11C2n1D2(n1)8(5分)函数f(x)cos2x+6cos(x)的最大值为()A4B5C6D79(5分)数列an中,已知对任意nN*,a1+a2+a3+an3n1,则a12+a22+a32+an2等于()A(3n1)2BC9n1D10(5分)已知:|1,|,0,点C在AOB内,且与的夹角为30,设m+n(m,nR),则的值为()A2BC3D411(5分)已知函数f(x)sin(x+)(0,|)的最小正周期为4,且对xR,有f(x)f()成立,则f(x)的一个对称中心坐标是()A(,0)B(,0)C(,0)D(,0)12(5分

3、)已知数列an的通项公式为an(nN*),其前n项和为Sn,则在数列S1,S2,S2019中,有理数项的项数为()A42B43C44D45二、填空题(每小题5分,共20分)13(5分)设各项都是正数的等比数列an,Sn为前n项和,且S1010,S3070,那么S40 14(5分)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a1,b,则SABC 15(5分)已知向量(3,4),(6,3),(5m,3m)若ABC为锐角,则实数m的取值范围是 16(5分)等差数列an的前n项和为Sn,且a26,a3+a627,设Tn,若对于一切正整数n,总有Tnt成立,则实数

4、t的取值范围是 三、解答题(共70分)17(10分)已知函数f(x)(sinx+cosx)2+cos2x(1)求f(x)最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值18(12分)(1)已知an是等差数列,Sn是其前n项和,若a1+a223,S510,求a9(2)已知x,y,zR,若1,x,y,z,3成等比数列,求xyz的值19(12分)(1)已知非零向量,满足|4|,且(2+),求与的夹角(2)设四边形ABCD为平行四边形,|6,|4,若点M,N满足3,2,求的值20(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2ab)cosCccosB0()求角C的值;()若三边

5、a,b,c满足a+b13,c7,求ABC的面积21(12分)设Sn为等差数列an的前n项和,已知S3a7,a82a33(1)求an;(2)设bn,数列bn的前n项和记为Tn,求Tn22(12分)若数列an的前n项和Sn2an2(1)求数列an的通项公式;(2)若bnanlogan,Snb1+b2+bn,对任意正整数n,Sn+(n+m)an+10恒成立,试求实数m的取值范围2018-2019学年广西南宁三中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共60分)1(5分)若sin,则为第四象限角,则tan的值等于()ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cos,然后求

6、解即可【解答】解:sin,则为第四象限角,cos,tan故选:D【点评】本题考查三角函数的化简求值,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力2(5分)已知(1,2),(x,2),且 ,则|()ABC10D5【分析】由向量平行的坐标关系求出x,然后求模【解答】解:因为(1,2),(x,2),且 ,所以2x+20,解得x1;所以(1,2),则|;故选:B【点评】本题考查了向量平行的坐标关系以及由向量的坐标求模;属于基础题3(5分)数列0,的一个通项公式为()AanBanCanDan【分析】由各项数列各项的分子偶数列,分母为奇数列,由此可得数列的通项公式【解答】解:数列各项的分子偶数列,分母为奇

7、数列,故通项公式为an,故选:A【点评】本题考查数列的通项公式的求解,找出其中的规律是解决问题的关键,属基础题4(5分)在等差数列an中,若a24,a42,则a6()A1B0C1D6【分析】直接利用等差中项求解即可【解答】解:在等差数列an中,若a24,a42,则a4(a2+a6)2,解得a60故选:B【点评】本题考查等差数列的性质,等差中项个数的应用,考查计算能力5(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a,b3,A60,则边c()A1B2C4D6【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解:由余弦定理可得:a2b2+c22bccosA,139+c23c,化为c23c40,解得c

8、4故选:C【点评】本题考查了余弦定理的应用,考查了推理能力与技能数列,属于中档题6(5分)已知向量(k,12),( 4,5 ),(k,10 ),且A、B、C三点共线,则 k 的值是()ABCD【分析】利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标;将三点共线转化为两个向量共线,利用向量共线的充要条件,列出方程求出k的值【解答】解:;A、B、C三点共线共线2(4k)7(2k)解得故选:A【点评】解决三点共线问题,常转化为以三点为起点、终点的向量共线,再利用向量共线的充要条件解决7(5分)在数列an中,已知a11,an+12an+1,则其通项公式为an()A2n1B2n11C2n1D2(n1)【分析】通过对

9、an+12an+1变形可知an+1+12(an+1),进而计算可得结论【解答】解:an+12an+1,an+1+12(an+1),又a11,a1+11+12,an+122n12n,an2n1,故选:A【点评】本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题8(5分)函数f(x)cos2x+6cos(x)的最大值为()A4B5C6D7【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式,可得y12sin2x+6sinx,令tsinx(1t1),可得函数y2t2+6t+1,配方,结合二次函数的最值的求法,以及正弦函数的值域即可得到所求最大值【解答】解:函数f(x)cos2x

10、+6cos(x)12sin2x+6sinx,令tsinx(1t1),可得函数y2t2+6t+12(t)2+,由1,1,可得函数在1,1递增,即有t1即x2k+,kZ时,函数取得最大值5故选:B【点评】本题考查三角函数的最值的求法,注意运用二倍角公式和诱导公式,同时考查可化为二次函数的最值的求法,属于中档题9(5分)数列an中,已知对任意nN*,a1+a2+a3+an3n1,则a12+a22+a32+an2等于()A(3n1)2BC9n1D【分析】由a1+a2+a3+an3n1,可求得an,从而可知,利用等比数列的求和公式即可求得答案【解答】解:a1+a2+a3+an3n1,a1+a2+a3+a

11、n+13n+11,得:an+13n+13n23n,an23n1当n1时,a13112,符合上式,an23n149n1,4,9,是以4为首项,9为公比的等比数列,a12+a22+a32+an2(9n1)故选:B【点评】本题考查数列的求和,考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用,属于中档题10(5分)已知:|1,|,0,点C在AOB内,且与的夹角为30,设m+n(m,nR),则的值为()A2BC3D4【分析】由已知建立平面直角坐标系,得到的坐标,结合m+n求得的坐标,再由与的夹角为30求解【解答】解:|1,|,0,建立平面直角坐标系如图:则,m+n(m,),又与的夹角为30,则

12、的值为3故选:C【点评】本题考查平面向量基本定理的应用,利用坐标法使问题变得简单化,是中档题11(5分)已知函数f(x)sin(x+)(0,|)的最小正周期为4,且对xR,有f(x)f()成立,则f(x)的一个对称中心坐标是()A(,0)B(,0)C(,0)D(,0)【分析】由题意,利用周期公式可求由f(x)f()恒成立,结合范围|,可求,令k(kZ),即可解得f(x)的对称中心,即可得解【解答】解:由f(x)sin(x+)的最小正周期为4,得因为f(x)f()恒成立,所以f(x),即+2k(kZ),由|,得,故f(x)sin()令k(kZ),得x2k,(kZ),故f(x)的对称中心为(2k,

13、0)(kZ),当k0时,f(x)的对称中心为(,0),故选:A【点评】本题主要考查了由yAsin(x+)的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的图象和性质的应用,考查了数形结合思想的应用,属于中档题12(5分)已知数列an的通项公式为an(nN*),其前n项和为Sn,则在数列S1,S2,S2019中,有理数项的项数为()A42B43C44D45【分析】本题先要对数列an的通项公式an运用分母有理化进行化简,然后求出前n项和为Sn的表达式,再根据Sn的表达式的特点判断出那些项是有理数项,找出有理数项的下标的规律,再求出2019内属于有理数项的个数【解答】解:由题意,可知:anSna1+a2+an

14、1+1S3,S8,S15为有理项,又下标3,8,15,的通项公式为bnn21(n2),n212 019,且n2,解得:2n44,有理项的项数为44143故选:B【点评】本题主要考查分母有理化的运用,根据算式判断有理数项及其下标的规律,本题属中档题二、填空题(每小题5分,共20分)13(5分)设各项都是正数的等比数列an,Sn为前n项和,且S1010,S3070,那么S40150【分析】根据数列an是等比数列,Sn为前n项和,且S10100可得,S10,S20S10,S30S20,S40S30也成等比数列,即可得到结果【解答】解:数列S10,S20S10,S30S20,S40S30成等比数列,因

15、此有(S20S10)2S10(S30S20),即(S2010)210(70S20),故S2020或S2030,又S200,因此S2030,S20S1020,S30S2040,故S40S3080,S40150故答案为:150【点评】本题考查了等比数列的性质,属于基础题14(5分)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a1,b,则SABC【分析】在ABC中,由角A,B,C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B由于a1,b,由正弦定理可得sinA,再结合ab求得A,可得C,再由 SABCab,运算求得结果【解答】解:在ABC中,由角A,B,C依次成等

16、差数列,可得A+C2B,再由三角形内角和公式求得B由于a1,b,有正弦定理可得 ,解得 sinA,再结合ab求得A,C,故SABCab,故答案为 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,正弦定理、根据三角函数的值求角,属于中档题15(5分)已知向量(3,4),(6,3),(5m,3m)若ABC为锐角,则实数m的取值范围是(,)(,+)【分析】若,求得 m求出 和的坐标,由3+3m+m0,可得m由此可得当ABC为锐角时,实数m的取值范围【解答】解:(3,1)(2m,1m),若,则有3(1m)2m,解得 m由题设知,(3,1),(1m,m),ABC为锐角,3+3m+m0,可得m由题意知,当m 时

17、,故当ABC为锐角时,实数m的取值范围是 (,)(,+),故答案为 (,)(,+)【点评】本题主要考查向量的表示方法,两个向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题16(5分)等差数列an的前n项和为Sn,且a26,a3+a627,设Tn,若对于一切正整数n,总有Tnt成立,则实数t的取值范围是)【分析】设公差为d,由题意得:,联立解得a1,d可得anSn可得Tn,利用单调性即可得出【解答】解:设公差为d,由题意得:,联立解得a13,d3an3+3(n1)3nSnTn,Tn+1Tn,当n3时,TnTn+1,且T11T2T3Tn的最大值为若对于一切正整数n,总有Tnt成立,则实数t的取值范围是

18、故答案为:【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题(共70分)17(10分)已知函数f(x)(sinx+cosx)2+cos2x(1)求f(x)最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值【分析】(1)利用二倍角和辅助角化简f(x),结合三角函数的图象及性质可得最小正周期(2)x上,求解内层函数的范围,结合三角函数的图象及性质可得最大值和最小值【解答】解:,(1)函数的最小正周期T(2),即时,即时,f(x)min0故得f(x)在区间上的最大值为,最小值为0【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数

19、公式将函数进行化简是解决本题的关键18(12分)(1)已知an是等差数列,Sn是其前n项和,若a1+a223,S510,求a9(2)已知x,y,zR,若1,x,y,z,3成等比数列,求xyz的值【分析】(1)将a2,S5用a1和d表示出来,解方程得到a1和d,再根据等差数列的通项公式求出a9即可(2)根据等比数列的性质xzy2(1)(3)3,又奇数项系数相同,所以y,代入即可【解答】(1)设数列an的公差为d,由题设得,解得,因此a9a1+8d20(2)1,x,y,z,3成等比数列,y2xz(1)(3)3,且x2y0,即y0,y,xz3,xyz3【点评】本题考查了等差数列的通项公式,前n项和公

20、式,等比数列的性质,属于基础题19(12分)(1)已知非零向量,满足|4|,且(2+),求与的夹角(2)设四边形ABCD为平行四边形,|6,|4,若点M,N满足3,2,求的值【分析】(1)根据平面向量的垂直关系与数量积运算,求向量、的夹角的大小;(2)根据平面向量的线性运算与数量积的定义,计算即可【解答】解:(1)因为(2+),所以(2+)0,得到2|2,则cos ,又0,所以;(2)3,+,+,(4+3)(43)(16292)(1662942)9【点评】本题考查了平面向量的垂直关系与数量积运算问题,也考查了平面向量的线性运算应用问题,是基础题20(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为

21、a,b,c,且满足(2ab)cosCccosB0()求角C的值;()若三边a,b,c满足a+b13,c7,求ABC的面积【分析】()根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简题中的等式可得sin(B+C)2sinAcosC,结合三角函数的诱导公式算出cosC,可得角C的大小;()由余弦定理可得ab的值,利用三角形面积公式即可求解【解答】解:()在ABC中,ccosB(2ab)cosC,由正弦定理,可得sinCcosB(2sinAsinB)cosC,即sinCcosB+sinBcosC2sinAcosC,所以sin(B+C)2sinAcosC,ABC中,sin(B+C)sin(A)sinA0,sinA

22、2sinAcosC,即sinA(12cosC)0,可得cosC又C是三角形的内角,C()C,a+b13,c7,由余弦定理可得:72a2+b22abcosCa2+b2ab(a+b)23ab1323ab,解得:ab40,SABCabsinC4010【点评】本题求角C的大小并依此求三角形面积的最大值着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质,属于中档题21(12分)设Sn为等差数列an的前n项和,已知S3a7,a82a33(1)求an;(2)设bn,数列bn的前n项和记为Tn,求Tn【分析】(1)由题意联立方程组解得首项及公差即得;(2)利用裂项相消法求和即可得出结论【解答】解:(1)

23、设数列an的公差为d,由题得,(3分)解得a13,d2,(5分)ana1+(n1)d2n+1; (6分)(2)由(1)得,Snna1+n(n+2),(8分)bn(),(10分)Tnb1+b2+bn(1)+()+()+()(1+)+(12分)【点评】本题考查等差数列的性质、数列的基本运算及利用裂项相消法求数列和的知识,考查学生的运算能力及方程思想的运用能力,属中档题22(12分)若数列an的前n项和Sn2an2(1)求数列an的通项公式;(2)若bnanlogan,Snb1+b2+bn,对任意正整数n,Sn+(n+m)an+10恒成立,试求实数m的取值范围【分析】(1)运用数列的递推式和等比数列

24、的定义和通项公式,即可得到所求;(2)求得bn2nlog2nn2n,由数列的错位相减法求和,可得Sn,再由不等式恒成立思想和不等式的性质,即可得到所求范围【解答】解:(1)由Sn2an2,得当n2时,Sn12an12,两式相减,得an2an2an1,当n2时,an2an1,又n1时,S1a12a12,a12,则an是首项为2,公比为2的等比数列,an2n(2)bn2nlog2nn2n,Sn12+222+323+n2n,2Sn122+223+(n1)2n+n2n+1,得Sn2+22+23+2nn2n+1n2n+12n+1n2n+12由Sn+(n+m)an+10,得2n+1n2n+12+n2n+1+m2n+10对任意正整数n恒成立,m2n+122n+1,即m1对任意正整数n恒成立11,m1,即m的取值范围是(,1【点评】本题考查数列的递推式的运用,考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,以及不等式恒成立思想的运用,考查运算能力,属于中档题

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