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2018-2019学年广西南宁市青秀区高三(上)10月月考数学试卷(文科)含详细解答

1、设集合 Mx|log2(x1)0,集合 Nx|x2,则 NRM( ) Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x3 Dx|2x2 2 (5 分)复数 z 满足,则 在复平面上对应的点所在象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分)设 x,yR,则(xy)x40 是 xy 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)设双曲线 C:1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,顶点到一条 渐近线的距离为 1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A B2 C2 D4 5 (5 分)已知 m0,n0,在(1+mx)3+(1

2、+nx)2的展开式中,当 x2项系数为 3 时, 则 m+n 的最大值为( ) A B C2 D2 6 (5 分)已知公差不为 0 的等差数列an满足 a32a1a4,Sn为数列an的前 n 项和,则 的值为( ) A2 B3 C2 D3 7 (5 分)某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是 第 2 页(共 25 页) ( ) A2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同 B支出最高值与支出最低值的比是 6:1 C第三季度平均收入为 50 万元 D利润最高的月份是 2 月份 8 (5 分)若 sin(),cos(+2)( ) A B

3、C D 9 (5 分)某程序框图如图所示,若输出 S,则判断框中 M 为( ) 第 3 页(共 25 页) Ak7? Bk6? Ck8? Dk8? 10 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,a11当 n2 时,an+2Sn12n+1,则 S299 ( ) A246 B299 C247 D248 11 (5 分)网格纸的各小格都是边长为 1 的正方形,图中粗实线画出的是一个几何体的三 视图,其中正视图是正三角形,则该几何体的外接球表面积为( ) A B C D 12 (5 分)已知函数 f(x)logax+x,g(x)ln(x1)logxa+4(a0) ,若存在实数 x0,使得 f(x

4、0)g(x0) ,则 a( ) A2 B3 C4 D5 二、填空题: (本大题共二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上.) 13 (5 分)已知向量 (1,2) , (2,m) ,与垂直,则 m 第 4 页(共 25 页) 14 (5 分)若 x,y 满足不等式组,则 z3x+2y 的最大值为 15 (5 分)已知 ab1,且 2logab+4logba9,则函数 f(x)|b2xa|的单调递增区间 为 16 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l,过点 F 斜率为的直 线 l与抛

5、物线 C 交于点 M(M 在 x 轴的上方) ,过 M 作 MNl 于点 N,连接 NF 交抛物 线 C 于点 Q,则 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应 位置位置.) 17 (12 分)在ABC 中,角 A、B、C0 所对的边分别为 a、b、c,已知, ()求 A 的大小; ()若 a6,求 b+c 的取值范围 18 (12 分)甲、乙、丙三人去某地务工,其工作受天气影响,雨天不能出工,晴天才能出 工其计酬方式有两种,方式一:雨天没收入,晴天出工每天 250 元;

6、方式而:雨天每 天 120 元,晴天出工每天 200 元;三人要选择其中一种计酬方式,并打算在下个月(30 天)内的晴天都出工,为此三人作了一些调查,甲以去年此月的下雨天数(10 天)为依 据作出选择;乙和丙在分析了当地近 9 年此月的下雨天数(n)的频数分布表(见表)后, 乙以频率最大的 n 值为依据作出选择,丙以 n 的平均值为依据作出选择 n 8 9 10 11 12 13 频数 3 1 2 0 2 1 ()试判断甲、乙、丙选择的计酬方式,并说明理由; ()根据统计范围的大小,你觉得三人中谁的依据更有指导意义? ()以频率作为概率,求未来三年中恰有两年,此月下雨不超过 11 天的概率 1

7、9 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,ABDC, ABCCAD90,且 PAABBC,点 E 是棱 PB 上的动点 (I)当 PD平面 EAC 时,确定点 E 在棱 PB 上的位置; (II)在(I)的条件下,若 CBa,求三棱锥 APEC 的体积 第 5 页(共 25 页) 20 (12 分)已知两点 A(2,0) ,B(2,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M,且这两条直线 的斜率之积为 ()求点 M 的轨迹方程; ()记点 M 的轨迹为曲线 C,曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1,直线 PE、 PF 与圆(x1)2+y2r

8、2()相切于点 E、F,又 PE、PF 与曲线 C 的另一交 点分别为 Q、R求OQR 的面积的最大值(其中点 O 为坐标原点) 21 (12 分)设函数在1,+)上是增函数 (1)求正实数 a 的取值范围; (2)设 b0,a1,求证: 选修选修 4-4:极坐标与参数方程:极坐标与参数方程 22 (10 分)已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, P 点的极坐标为,曲线 C 的极坐标方程为 ()写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程; ()若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l:(t 为参数)距离的最小 值 选修选修 4-5:

9、不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|x4|+|xa|(a4) ()若 f(x)的最小值为 3,求 a 值; ()求不等式 f(x)3x 的解集 第 6 页(共 25 页) 2018-2019 学年广西南宁二中高三(上)学年广西南宁二中高三(上)10 月月考数学试卷(文月月考数学试卷(文 科)科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.) 1 (5 分)设集合 Mx|log

10、2(x1)0,集合 Nx|x2,则 NRM( ) Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x3 Dx|2x2 【分析】化简集合 M、求出RM,计算 NRM 即可 【解答】解:集合 Mx|log2(x1)0x|x11x|x2, RMx|x2, 又集合 Nx|x2, NRMx|2x2 故选:D 【点评】本题考查了交集与补集的运算问题,也考查了对数函数的定义与应用问题,是 基础题目 2 (5 分)复数 z 满足,则 在复平面上对应的点所在象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形,再利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,求出 在复平面 上对应的点的坐标得答案 【

11、解答】解:由, 得, 在复平面上对应的点的坐标为(,) ,所在象限为第四象限 故选:D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义, 是基础题 第 7 页(共 25 页) 3 (5 分)设 x,yR,则(xy)x40 是 xy 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由(xy)x40xy,反之不成立,例如取 x0,y1即可判断出结论 【解答】解:由(xy)x40xy,反之不成立,例如取 x0,y1 (xy)x40 是 xy 的充分不必要条件 故选:A 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推

12、理能力与计算能力, 属于中档题 4 (5 分)设双曲线 C:1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,顶点到一条 渐近线的距离为 1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A B2 C2 D4 【分析】利用已知条件求出渐近线的斜率,得到渐近线方程,通过顶点到一条渐近线的 距离为 1,求出 a,然后求解焦点到一条渐近线的距离 【解答】解:双曲线 C:1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直, 可得渐近线的斜率为1,渐近线方程为 xy0, 顶点到一条渐近线的距离为 1,可得:,可得 a,双曲线的一个焦点坐标(2, 0) , 则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为: 故选:A 【点评】本题考查双曲线

13、的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力 5 (5 分)已知 m0,n0,在(1+mx)3+(1+nx)2的展开式中,当 x2项系数为 3 时, 则 m+n 的最大值为( ) A B C2 D2 【分析】 (1+mx)3+(1+nx)2的展开式中,x2项系数为+3n2,可得 m2+n21, 利用 m+n即可得出 第 8 页(共 25 页) 【解答】解: (1+mx)3+(1+nx)2的展开式中, x2项系数为+3n23m2+3n23, 化为 m2+n21, m0,n0, 则 m+n, 当且仅当 mn时取等号 m+n 的最大值为 故选:B 【点评】本题考查了二项式定理的应用、基本不等

14、式的性质,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题 6 (5 分)已知公差不为 0 的等差数列an满足 a32a1a4,Sn为数列an的前 n 项和,则 的值为( ) A2 B3 C2 D3 【分析】公差 d0 的等差数列an满足 a32a1a4,可得a1(a1+3d) ,化 为:a14d代入,化简即可得出 【解答】解:公差 d0 的等差数列an满足 a32a1a4, a1(a1+3d) ,化为:a14d 则2 故选:C 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题 7 (5 分)某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是 第

15、9 页(共 25 页) ( ) A2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同 B支出最高值与支出最低值的比是 6:1 C第三季度平均收入为 50 万元 D利润最高的月份是 2 月份 【分析】通过图片信息直接观察,计算,找出答案即可 【解答】 解: A, 2至 3 月份的收入的变化率为20, 11至 12 月份的变化率为 20,故相同A 正确 B,支出最高值是 2 月份 60 万元,支出最低值是 5 月份的 10 万元,故支出最高值与支出 最低值的比是 6:1 故 B 正确 C,第三季度的 7,8,9 月每个月的收入分别为 40 万元,50 万元,60 万元,故第三

16、季度 的平均收入为50 万元,故 C 正确 D,利润最高的月份是 3 月份和 10 月份都是 30 万元,高于 2 月份的利润是 806020 万元,故 D 错误 故选:D 【点评】本题考查利用图象信息,分析归纳得出正确结论,属于基础题目 第 10 页(共 25 页) 8 (5 分)若 sin(),cos(+2)( ) A B C D 【分析】通过诱导公式化简所求的表达式,然后通过二倍角公式求解表达式的值即可 【解答】解:sin(), cos()cos(+), cos(+2)2cos2(+)11, 故选:D 【点评】本题考查诱导公式的应用,二倍角公式的应用,考查计算能力 9 (5 分)某程序框

17、图如图所示,若输出 S,则判断框中 M 为( ) Ak7? Bk6? Ck8? Dk8? 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 【解答】解:第一次执行循环体,S,不满足结束循环的条件,故 k2; 第二次执行循环体,S,不满足结束循环的条件,故 k3; 第三次执行循环体,S,不满足结束循环的条件,故 k4; 第 11 页(共 25 页) 第四次执行循环体,S,不满足结束循环的条件,故 k5; 第五次执行循环体,S1,不满足结束循环的条件,故 k6; 第六次执行循环体,S,不满足结束循环的条

18、件,故 k7; 第七次执行循环体,S,不满足结束循环的条件,故 k8; 第八次执行循环体,S,满足结束循环的条件, 故退出的循环的条件,应为:k8?, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟 循环的方法解答 10 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,a11当 n2 时,an+2Sn12n+1,则 S299 ( ) A246 B299 C247 D248 【分析】通过 an+2Sn12n+1 与 an+1+2Sn2(n+1)+1 作差可知 an+1+an2(n2) , 进而利用分组法求和即可 【解答】解:an+2Sn12n+1,an+1+

19、2Sn2(n+1)+1, 两式相减得:an+1+2anan2,即 an+1+an2(n2) , 又a11, S299a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a298+a299) 1+2 299, 故选:B 【点评】本题考查数列的求和,考查分组法求和,注意解题方法的积累,属于中档题 11 (5 分)网格纸的各小格都是边长为 1 的正方形,图中粗实线画出的是一个几何体的三 视图,其中正视图是正三角形,则该几何体的外接球表面积为( ) 第 12 页(共 25 页) A B C D 【分析】该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面,高为 ,底面是一个等腰直角三角 形的三棱锥, 这个几何体的外接球的球心

20、 O 在高线 PD 上, 且是等边三角形 PAC 的中心, 由此能求出这个几何体的外接球的半径 R,从而能求出这个几何体的外接球的表面积 【解答】解:由已知中正视图是一个正三角形,侧视图和俯视图均为三角形, 可得该几何体是有一个侧面 PAC 垂直于底面,高为 , 底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图 则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上, 且是等边三角形 PAC 的中心, 这个几何体的外接球的半径 RPD 则这个几何体的外接球的表面积为 S4R24()2 故选:D 【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养 12 (5 分)

21、已知函数 f(x)logax+x,g(x)ln(x1)logxa+4(a0) ,若存在实数 第 13 页(共 25 页) x0,使得 f(x0)g(x0) ,则 a( ) A2 B3 C4 D5 【分析】令 f(x)g(x)logax+x1n(x1)+logxa4,运用导数求出 yxln(x 1)的最小值;运用基本不等式可得 logax+logxa2,由等号成立的条件,从而解得 a 【解答】解:令 f(x)g(x)logax+x1n(x1)+logxa4, 令 yxln(x1) ,y1, 故 yxln(x1)在(1,2)上是减函数, (2,+)上是增函数, 故当 x2 时,y 有最小值 202

22、, 存在实数 x0,使得 f(x0)g(x0) , 可得 a1, 而 logax+logxa2(当且仅当 xa 时,等号成立) ; 故 xa2,满足题意 故选:A 【点评】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用,同时考查了方程的根与函数 的零点的关系应用,属于中档题 二、填空题: (本大题共二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上.) 13 (5 分)已知向量 (1,2) , (2,m) ,与垂直,则 m 1 【 分 析 】 先 求 出 向 量的 坐 标 , 根 据与垂 直 便 可 得 到 ,进行数量积的坐标

23、运算便可求出 m 的值 【解答】解:; ; ; 解得 m1 故答案为:1 【点评】考查向量坐标的加法和减法运算,向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐 标运算 第 14 页(共 25 页) 14 (5 分)若 x,y 满足不等式组,则 z3x+2y 的最大值为 【分析】作出可行域,变形目标函数,平移直线 yx 可得结论 【解答】解:作出 x,y 满足不等式组所对应的可行域(如图ABC) , 变形目标函数 z3x+2y 可得 yx+z,平移直线 yx+z 可知, 当直线经过点 A 时,直线的截距取最大值,z 取最大值,由,解得 A(,1) 代值计算可得 z 的最大值为:, 故答案为: 【点评】本

24、题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题 15 (5 分)已知 ab1,且 2logab+4logba9,则函数 f(x)|b2xa|的单调递增区间为 1,+) 【分析】可由条件得到,根据 ab1 即可解出 logba2,从而有 ab2,这便可得到 f(x)b2|x1|,根据一次函数的单调性便可得出 f(x)的 单调递增区间 【解答】解:由 2logab+4logba9 得,; ; 第 15 页(共 25 页) 解得; ab1; logba2; ab2; ; f(x)|b2xa|b2|x1|; f(x)的单调递增区间为1,+) 故答案为:1,+) 【点评】考查对数的换底公式,一元

25、二次方程的解法,对数函数的单调性,以及对数式 和指数式的互化,含绝对值函数的处理方法:去绝对值号,以及一次函数的单调性 16 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l,过点 F 斜率为的直 线 l与抛物线 C 交于点 M(M 在 x 轴的上方) ,过 M 作 MNl 于点 N,连接 NF 交抛物 线 C 于点 Q,则 2 【分析】由于所求的是比值,为了便以计算,不妨设 p2,分别求出点 M,N,以及 Q 的坐标,即可求出答案 【解答】解:不妨设 p2,则 F(1,0) ,准线为 l 为 x1, 直线 l的方程为 y(x1) , 联立方程组可得,解得或, M 在 x

26、轴的上方, M(3,2) , MNl 于点 N, N(1,2) , 直线 NF 的方程为 y(x1) ,即 y(x1) , 联立方程组可得,解得,或, 第 16 页(共 25 页) Q(,) , |QF|+1, |NF|4, |NQ|4, 2, 故答案为:2 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了抛物线的简单性质,考查了运算 能力和转化能力,属于中档题 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应 位置位置.) 17 (12 分)在ABC 中,角 A、B、C0 所对

27、的边分别为 a、b、c,已知, ()求 A 的大小; ()若 a6,求 b+c 的取值范围 【分析】 ()已知等式利用正弦定理化简,求出 tanA 的值,即可确定出 A 的大小; ()利用余弦定理,基本不等式可求 b+c12,结合大边对大角即可得解 【解答】解: ()由条件结合正弦定理得, sinAcosA, 即 tanA, 0A, A;5 分 (II)b0,c0,b+ca6, 由余弦定理得:36b2+c22bccosA(b+c) 23bc(b+c)2 (b+c)2 (b+c) 2, (当且仅当 bc 时等号成立) , (b+c)2436,可得:b+c12, 又 b+c6, 6b+c12,从而

28、 b+c 的取值范围是(6,1212 分 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理 第 17 页(共 25 页) 是解本题的关键,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 18 (12 分)甲、乙、丙三人去某地务工,其工作受天气影响,雨天不能出工,晴天才能出 工其计酬方式有两种,方式一:雨天没收入,晴天出工每天 250 元;方式而:雨天每 天 120 元,晴天出工每天 200 元;三人要选择其中一种计酬方式,并打算在下个月(30 天)内的晴天都出工,为此三人作了一些调查,甲以去年此月的下雨天数(10 天)为依 据作出选择;乙和丙在分析了当地近 9 年此月的下雨天

29、数(n)的频数分布表(见表)后, 乙以频率最大的 n 值为依据作出选择,丙以 n 的平均值为依据作出选择 n 8 9 10 11 12 13 频数 3 1 2 0 2 1 ()试判断甲、乙、丙选择的计酬方式,并说明理由; ()根据统计范围的大小,你觉得三人中谁的依据更有指导意义? ()以频率作为概率,求未来三年中恰有两年,此月下雨不超过 11 天的概率 【分析】 ()按计酬方式一、二的收入分别记为 f(n) 、g(n) ,f(10)250(30 10)5000,g(10)12010+200205200,从而甲选择计酬方式二;由频数分布 表知频率最大的 n8,f(8)250(308)5500,g

30、(8)1208+200225360, 从而乙选择计酬方式一;n 的平均值为 10,从而丙选择计酬方式二 ()甲统计了 1 个月的情况,乙和丙统计了 9 个月的情况,丙的统计范围最大,三人 中丙的依据更有指导意义 ()任选一年,此月下雨不超过 11 天的频率为 p,以此作为概率,则未来三 年中恰有两年,由此能求出此月下雨不超过 11 天的概率 【解答】解: ()按计酬方式一、二的收入分别记为 f(n) 、g(n) , f(10)250(3010)5000, g(10)12010+200205200, 所以甲选择计酬方式二; 由频数分布表知频率最大的 n8, f(8)250(308)5500, g

31、(8)1208+200225360, 所以乙选择计酬方式一; 第 18 页(共 25 页) n 的平均值为(83+91+102+122+131)10, 所以丙选择计酬方式二 ()甲统计了 1 个月的情况,乙和丙统计了 9 个月的情况, 但乙只利用了部分数据,丙利用了所有数据, 所以丙的统计范围最大, 三人中丙的依据更有指导意义 ()任选一年,此月下雨不超过 11 天的频率为 p, 以此作为概率,则未来三年中恰有两年, 此月下雨不超过 11 天的概率为 p 【点评】本题考查平均数、概率的求法及应用,考查 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发 生 k 次的概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,

32、考查函数与方程思想,是基础 题 19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,ABDC, ABCCAD90,且 PAABBC,点 E 是棱 PB 上的动点 (I)当 PD平面 EAC 时,确定点 E 在棱 PB 上的位置; (II)在(I)的条件下,若 CBa,求三棱锥 APEC 的体积 【分析】 ()连结 AC、BD,交于点 F,连结 EF,设 PAABBCa,则 AC, ADAC,CD2a,由 ABCD,得,由此能求出当 PD平面 EAC 时,点 E 是棱 PB 上靠近点 B 的三等分点 ()以 A 为原点,AD 为 x 轴,AC 为 y 轴,

33、AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出三棱锥 APEC 的体积 【解答】解: ()连结 AC、BD,交于点 F,连结 EF, 底面 ABCD 为梯形,ABDC,ABCCAD90,且 PAABBC, 设 PAABBCa, 第 19 页(共 25 页) AC,ADAC,CD2a, ABCD,ABFCDF, , PD平面 EAC,PDEF, 故当 PD平面 EAC 时,点 E 是棱 PB 上靠近点 B 的三等分点 ()以 A 为原点,AD 为 x 轴,AC 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 平面 APC 的法向量 (1,0,0) , P(0,0,a) ,B(,0)

34、 ,E(,) , (,) , 点 E 到平面 APC 的距离 d, SPAC, 三棱锥 APEC 的体积: VAPECVEAPC 【点评】本题考查满足线面平行的点的位置的确定与求法,考查三棱锥的体积的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形 结合思想,是中档题 20 (12 分)已知两点 A(2,0) ,B(2,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M,且这两条直线 第 20 页(共 25 页) 的斜率之积为 ()求点 M 的轨迹方程; ()记点 M 的轨迹为曲线 C,曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1,直线 PE、 PF 与圆(x1)2+

35、y2r2()相切于点 E、F,又 PE、PF 与曲线 C 的另一交 点分别为 Q、R求OQR 的面积的最大值(其中点 O 为坐标原点) 【分析】 ()设点 M(x,y) ,由题意可得,利用斜率计算公式即可得出 化简即可 (II)把 x1 代入曲线 C 的方程,可得点 P() 由于圆(x1)2+y2r2的圆心 为(1,0) , 利用对称性可知直线 PE 与直线 PF 的斜率互为相反数设直线 PE 的方程为 ,与椭圆的方程联立可得 (4k2+3)x2+(12k8k2)x+(4k212k3)0,由于 x1 是方程的一个解,可得方 程的另一解为同理可得直线 RQ 的斜率为 kRQ 把直线 RQ 的方程

36、代入椭圆方程,消去 y 整理得 x2+tx+t230利用弦长 公式可得|RQ|再利用点到直线的距离公式可得:原点 O 到直线 RQ 的距离为 d利用 和基本不等式即可得出 【解答】解: ()设点 M(x,y) , 整理得点 M 所在的曲线 C 的方程:(x2) () 把 x1 代入曲线 C 的方程, 可得, y0, 解得, 点 P () 圆(x1)2+y2r2的圆心为(1,0) , 直线 PE 与直线 PF 的斜率互为相反数 设直线 PE 的方程为, 第 21 页(共 25 页) 联立,化为 (4k2+3)x2+(12k8k2)x+(4k212k3)0, 由于 x1 是方程的一个解, 方程的另

37、一解为 同理 故直线RQ的斜率为 把直线 RQ 的方程代入椭圆方程,消去 y 整理得 x2+tx+t230 |RQ| 原点 O 到直线 RQ 的距离为 d 当且仅当 t时取等号 OQR 的面积的最大值为 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得 到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、斜率计算公式、圆的标准方程及 第 22 页(共 25 页) 其切线性质、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法,考查了 推理能力和计算能力,属于难题 21 (12 分)设函数在1,+)上是增函数 (1)求正实数 a 的取值范围; (2)设 b0,a1,

38、求证: 【分析】 (1)求出 f(x)的导函数,因为函数在1,+)上是增函数,即导函数大于等 于 0 对 x 属于1,+)恒成立,令导函数大于等于 0 列出不等式,解出 a 大于等于 x 的 倒数,求出 x 倒数的最大值即可得到实数 a 的范围; (2)设 x 等于,由 b 大于 0,a 大于 1,得出大于 1,根据函数在1,+)上 是增函数,得到 f()大于 f(1) ,化简可得;设 G(x)xlnx, 且 x 大于 1,求出 G(x)的导函数,根据 x 大于 1 得到导函数大于 0,所以 G(x)为增 函数,由 x 大于 1,得到 G(x)大于 G(1)即 x 大于 lnx,即可得到,综

39、上,得证 【解答】解: (1)对 x1,+)恒成立, 对 x1,+)恒成立, 又, a1 为所求; (2)取, , 一方面,由(1)知在1,+)上是增函数, 即; 另一方面,设函数 G(x)xlnx(x1) , 第 23 页(共 25 页) , G(x)在(1,+)上是增函数且在 xx0处连续,又 G(1)10, 当 x1 时,G(x)G(1)0, xlnx 即, 综上所述, 【点评】此题考查学生会利用导数研究函数的单调性,灵活运用函数的单调性解决实际 问题,是一道综合题 选修选修 4-4:极坐标与参数方程:极坐标与参数方程 22 (10 分)已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴

40、的非负半轴为极轴建立极坐标系, P 点的极坐标为,曲线 C 的极坐标方程为 ()写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程; ()若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l:(t 为参数)距离的最小 值 【分析】 (1)利用 xcos,ysin 即可得出; (2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出, 【解答】解 (1)P 点的极坐标为, 3, 点 P 的直角坐标 把 2 x2+y2, y sin代 入可 得, 即 曲线 C 的直角坐标方程为 (2)曲线 C 的参数方程为( 为参数) ,直线 l 的普通方程为 x2y 70 设,则线段 PQ 的中点 那

41、么点M到直线l的距离 第 24 页(共 25 页) . , 点 M 到直线 l 的最小距离为 【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、 两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了计算能力, 属于中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|x4|+|xa|(a4) ()若 f(x)的最小值为 3,求 a 值; ()求不等式 f(x)3x 的解集 【分析】 (1)因为函数 f(x)|x4|+|xa|a4|,由题意可得|a4|3,由此求得 a 的值 (2)不等式即|x4|+|xa|3x,a4,分当 xa 时、当

42、 ax4 时、当 x 4 时三种情况,去掉绝对值,求得不等式 f(x)3x 的解集 【解答】解: (1)因为函数 f(x)|x4|+|xa|(x4)(xa)|a4|, 因为 a4,所以当且仅当 ax4 时等号成立,故|a4|3,即 a1 (2)不等式 f(x)3x,即不等式|x4|+|xa|3x,a4, 当 xa 时,原不等式可化为 4x+ax3x,xa+1 所以,当 xa 时,原不等式成立 当 ax4 时,原不等式可化为 4x+xa3x, 即 xa1,所以,当 ax4 时,原不等式成立 当 x4 时,原不等式可化为 x4+xa3x, 即 x 由于 a4 时 4 所以,当 x4 时,原不等式成立 综合可知:不等式 f(x)3x 的解集为 R 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论以及等价转化的数学思想, 属于中档题