2019-2020学年广西桂林十八中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(8月份)含详细解答

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资源描述

1、运行如图所示的程序框图,则输出的 a 的值为( ) A13 B14 C15 D16 6 (5 分)已知向量 , 满足,且,则向量 与 的夹角的余 弦值为( ) 第 2 页(共 23 页) A B C D 7 (5 分)函数 f(x)xln|x|的图象可能是( ) A B C D 8 (5 分)将函数 ysin(2x)图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴 的方程是( ) Ax Bx Cx Dx 9 (5 分)设 E,F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DC 上两点,且 AB2,EF1, 给出下列四个命题: 三棱锥 D1B1EF 的体积为定值; 异面直线 D1B1与 EF 所成

2、的角为 45; D1B1平面 B1EF; 直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角为 60 其中正确的命题为( ) A B C D 10 (5 分)已知双曲线(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,若,则 C 的离心率 e 为( ) A B C D 第 3 页(共 23 页) 11 (5 分)已知函数 f(x)2|x|+x2,设,nf(7 0.1) ,pf(log 425) ,则 m,n,p 的大小关系为( ) Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 12 (5 分)已知函数 f(x)exax1 在区间(1,1)内存在极值点,且 f(x)0 恰 好有唯一

3、整数解,则 a 的取值范围是(其中 e 为自然对数的底数,e2.71828) ( ) A,e) B,1)(e1, C (e1,e) D,)(e1,e) 二二.填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分) ()8的展开式中,x 的系数为 14 (5 分)若变量 x、y 满足约束条件,则 zx+2y 的最大值为 15 (5 分)等比数列an的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn,已知 S3,S6,则 a8 16 (5 分)已知球的直径 DC4,A、B 是该球面上的两点,则三棱 锥 ABCD 的体积最大值是 三三.解答题:共解答题:共

4、70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,每题为必考题,每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(2a+c)cosB+bcosC 0 (1)求角 B 的大小; (2)若 a3,点 D 在 AC 边上,且 BDAC,BD,求 c 边的长 18 (12 分)某家电公司销售部门共有 200 名销售员,每年部门对每名销售员都

5、有 1400 万 第 4 页(共 23 页) 元的年度销售任务已知这 200 名销售员去年完成的销售额都在区间2,22(单位:百 万元)内,现将其分成 5 组:第 1 组、第 2 组、第 3 组、第 4 组、第 5 组对应的区间分 别为2,6) ,6,10) ,10,14) ,14,18) ,18,22) ,并绘制出如下的频率分布直方图 (1)若用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本,求 a 的值和样本 中完成年度任务的销售员人数; (2)从(1)中样本内完成年度任务的销售员中随机选取 2 名,奖励海南三亚三日游, 设获得此奖励的 2 名销售员在第 4 组的人数为 X

6、,求 X 分布列和期望 19 (12 分)在 RtABC 中,ABC90,tanACB已知 E,F 分别是 BC,AC 的 中点 将CEF 沿 EF 折起, 使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是 60 连 接 CB,CA,如图: ()求证:平面 CFA平面 ABC; ()求平面 AFC与平面 BEC所成二面角的大小 20 (12 分)已知点 M(,)在椭圆 C:+1(ab0)上,且点 M 到 C 的左、右焦点的距离之和为 2 (1)求 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,若 C 的弦 AB 的中点在线段 OM(不含端点 O,M)上,求 的取值范围 第 5 页(共 23 页) 2

7、1 (12 分)已知函数 f(x)x22x+2alnx,若函数 f(x)在定义域上有两个极值点 x1, x2,且 x1x2 (1)求实数 a 的取值范围; (2)证明: (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一如果多做,则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知 直线 l 的参数方程是(m0,t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 2cos ()求直线 l 的普通方程

8、和曲线 C 的直角坐标方程; ()若直线 l 与 x 轴交于点 P,与曲线 C 交于点 A,B,且|PA|PB|1,求实数 m 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|2x1|+|2x+3| (1)解不等式 f(x)6; (2)记 f(x)的最小值是 m,正实数 a,b 满足 2ab+a+2bm,求 a+2b 的最小值 第 6 页(共 23 页) 2019-2020 学年广西桂林十八中高三(上)第一次月考数学试卷学年广西桂林十八中高三(上)第一次月考数学试卷 (理科) (理科) (8 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题:本题共选择题

9、:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 Ax|x22,则RA( ) Ax|2x2 Bx|x2 或 x2 C D 【分析】利用补集的定义,判断 A 集合,求解即可 【解答】解:已知集合 Ax|x22,解得:, 所以RAx|x或 x 故选:D 【点评】本题考查集合补集运算,考查运算求解能力 2 (5 分)若 z(1+i)2i,则 z( ) A1i B1+i C1i D1+i 【分析】利用复数的运算法则求解即可 【解答】解:由 z(1+i)

10、2i,得 z 1+i 故选:D 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则,虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题 3 (5 分)设 , 为非零向量,则“”是“ 与 方向相同”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由充分条件、必要条件的判定方法及向量共线的概念分析得答案 【解答】解:对于非零向量 , ,由 与 方向相同或相反, 第 7 页(共 23 页) 反之, 与 方向相同, 则“”是“ 与 方向相同”的必要而不充分条件 故选:B 【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定方法,考查向量共线的概念,是基础题 4 (5 分)

11、已知,则 cos2( ) A B C D 【分析】由已知求得 sin,再由二倍角的余弦求解 【解答】解:由,得 sin, cos2 故选:B 【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查倍角公式的应用,是基础题 5 (5 分)运行如图所示的程序框图,则输出的 a 的值为( ) A13 B14 C15 D16 【分析】由题意,模拟程序的运行过程,依次写出每次循环得到的 S,a 的值,当 S43 时,不满足条件,跳出循环,可得 a 的值 【解答】解:模拟程序的运行,可得 a8,S120 满足条件 S55,执行循环体,S112,a9 第 8 页(共 23 页) 满足条件 S55,执行循环体,S103,a

12、10 满足条件 S55,执行循环体,S93,a11 满足条件 S55,执行循环体,S82,a12 满足条件 S55,执行循环体,S70,a13 满足条件 S55,执行循环体,S57,a14 满足条件 S55,执行循环体,S43,a15 不满足条件 S55,退出循环,输出 a 的值为 15 故选:C 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题, 正确依次写出每次循环得到的 S, a 的值是解题的关键,属于基础题 6 (5 分)已知向量 , 满足,且,则向量 与 的夹角的余 弦值为( ) A B C D 【分析】利用已知条件,结合斜率的数量积转化求解向量 与 的夹角的余弦值 【解答】解:由

13、题意可知,且,可得 3+24,解得 , 向量 与 的夹角的余弦值: 故选:D 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查运算求解能力 7 (5 分)函数 f(x)xln|x|的图象可能是( ) A B C D 【分析】判断函数的奇偶性排除选项,利用特殊点的位置排除选项即可 【解答】解:函数 f(x)xln|x|是奇函数,排除选项 A,C; 第 9 页(共 23 页) 当 x时,y,对应点在 x 轴下方,排除 B; 故选:D 【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图 象的常用方法 8 (5 分)将函数 ysin(2x)图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称

14、轴 的方程是( ) Ax Bx Cx Dx 【分析】由条件利用 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得 出结论 【解答】解:将函数 ysin(2x)图象向左平移个单位, 所得函数图象对应的函数的解析式为 ysin2(x+)sin(2x+) , 当 x时,函数取得最大值,可得所得函数图象的一条对称轴的方程是 x, 故选:C 【点评】本题主要考查 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性, 属于基础题 9 (5 分)设 E,F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DC 上两点,且 AB2,EF1, 给出下列四个命题: 三棱锥 D1B1EF 的体积为定值

15、; 异面直线 D1B1与 EF 所成的角为 45; D1B1平面 B1EF; 直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角为 60 其中正确的命题为( ) 第 10 页(共 23 页) A B C D 【分析】根据题意画出图形,结合图形求出三棱锥 D1B1EF 的体积为定值; 求得异面直线 D1B1与 EF 所成的角为 45; 判断 D1B1与平面 B1EF 不垂直; 直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角是为 30 【解答】解:如图所示, 三棱锥 D1B1EF 的体积为 VB1C1221为定值,正 确; EFD1C1,B1D1C1是异面直线 D1B1与 EF 所成的角,为 45,正确; D1B

16、1与 EF 不垂直,由此知 D1B1与平面 B1EF 不垂直,错误; 在三棱锥 D1B1DC 中,设 D1到平面 DCB1的距离为 h, V,即有22222h,解得 h, 直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角的正弦为,即所成角为 30,错误 综上,正确的命题序号是 故选:C 【点评】本题考查了空间中的直线与平面之间的位置关系应用问题,是中档题 10 (5 分)已知双曲线(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F2 第 11 页(共 23 页) 作垂直于实轴的弦 PQ,若,则 C 的离心率 e 为( ) A B C D 【分析】首先根据已知条件建立等量关系,进一步利用通径和焦距间的

17、等量求出双曲线 的离心率 【解答】解:双曲线的左右焦点分别为 F1、F2,过 F2作垂直于实轴的弦 PQ,若 , 则:F1PQ 为等腰直角三角形 由于通径 PQ, 则:2c, 解得:c2a22ac0, 所以:e22e10, 解得:e1; 由于 e1, 所以:e1+, 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:通径在求离心率中的应用,等腰直角三角形的性质的应 用属于基础题型 11 (5 分)已知函数 f(x)2|x|+x2,设,nf(7 0.1) ,pf(log 425) ,则 m,n,p 的大小关系为( ) Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 【分析】利用函数的极限以及函数的单调性,结合对数的

18、大小,求解即可 【解答】解:f(x)2|x|+x2为偶函数,且函数 f(x)在(0,+)上单调递增 ,7 0.1(0,1) ,log 425log25(2,3) ,故 pmn 故选:C 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性,考查数形结合的思想与运算求解能力 12 (5 分)已知函数 f(x)exax1 在区间(1,1)内存在极值点,且 f(x)0 恰 好有唯一整数解,则 a 的取值范围是(其中 e 为自然对数的底数,e2.71828) ( ) 第 12 页(共 23 页) A,e) B,1)(e1, C (e1,e) D,)(e1,e) 【分析】推导出 f(x)exa0 在(1,1)上有解,从

19、而ae,exax+1 有 唯一整数解设 g(x)ex,h(x)ax+1,当 1ae 时,唯一整数解为 1,应满足 当a1 时,唯一整数解为1,应满足由此能 求出 a 的取值范围 【解答】解:由题意得,f(x)exa0 在(1,1)上有解, f(x)在(1,1)上单调递增,ae, 又f(x)0 恰好有唯一整数解,即 exax+1 有唯一整数解 设 g(x)ex,h(x)ax+1,结合题意可知: 若 1ae,则唯一整数解为 1, 故应满足 e1a, 故 e1ae; 若a1,则唯一整数解为1, 故应满足 a, 故a 由得 a 的取值范围为,)(e1,e) 第 13 页(共 23 页) 故选:D 【点

20、评】本题考查实数的取值范围的求法,考查利用导数研究函数极值点问题、利用导 数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识,考查分类讨论思想、化归与转化思 想,考查运算求解能力,是难题 二二.填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分) ()8的展开式中,x 的系数为 112 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求出 r 的值,即可求得 x 的 系数 【解答】解: ()8的展开式的通项公式为 Tr+1 (2)r,令 4 1,求得 r2, 可得 x 的系数为 (2)2112, 故答案为:112 【点评】本题主要考

21、查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题 14 (5 分)若变量 x、y 满足约束条件,则 zx+2y 的最大值为 8 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 zx+2y 过点 A(4,2)时,z 最大值即可 【解答】解:作出可行域如图, 由 zx+2y 知,yx+z, 所以动直线 yx+z 的纵截距 z 取得最大值时, 目标函数取得最大值 由得 A(4,2) 结合可行域可知当动直线经过点 A(4,2)时, 目标函数取得最大值 z4+228 故答案为:8 第 14 页(共 23 页) 【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基

22、础题 15 (5 分)等比数列an的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn,已知 S3,S6,则 a8 32 【分析】设等比数列an的公比为 q1,S3,S6,可得, ,联立解出即可得出 【解答】解:设等比数列an的公比为 q1, S3,S6, 解得 a1,q2 则 a832 故答案为:32 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题 16 (5 分)已知球的直径 DC4,A、B 是该球面上的两点,则三棱 锥 ABCD 的体积最大值是 2 【分析】由题意画出图形,可知要使 VABCD的体积最大,则面 ADC面 BDC,求出 A 到平面 BCD 的距离,

23、则三棱锥 ABCD 的体积最大值可求 【解答】解:如图, 第 15 页(共 23 页) 球的直径 DC4,且, ACBC2,(其中 h 为点 A 到底面 BCD 的 距离) , 故当 h 最大时, VABCD的体积最大, 即当面 ADC面 BDC 时, h 最大且满足, 即 h, 此时 VABCD 故答案为:2 【点评】本题考查球内接多面体体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,是中档题 三三.解答题:共解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,每题为必考题,每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第

24、第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(2a+c)cosB+bcosC 0 (1)求角 B 的大小; (2)若 a3,点 D 在 AC 边上,且 BDAC,BD,求 c 边的长 【分析】 (1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出 B 的值 (2) 利用三角形的边的关系及余弦定理和三角形面积公式, 建立等量关系式求出 c 的值 【解答】 (1)由(2a+c)cosB+bcosC0 及正弦定理, 可得 2sinAcosB+sin

25、CcosB+sinBcosC0, 即 2sinAcosB+sin(B+C)0, 由 A+B+C 可得 sin(B+C)sinA, 所以 sinA(2cosB+1)0, 因为 0A,sinA0, 所以 第 16 页(共 23 页) (2)由得 b2a2+c2+acc2+3c+9, 又因为 BDAC, 所以ABC 的面积, 把, 带入得, 所以, 解得 c5 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理、余弦定理和三 角形面积公式的应用,属于基础题型 18 (12 分)某家电公司销售部门共有 200 名销售员,每年部门对每名销售员都有 1400 万 元的年度销售任务已知这 200

26、 名销售员去年完成的销售额都在区间2,22(单位:百 万元)内,现将其分成 5 组:第 1 组、第 2 组、第 3 组、第 4 组、第 5 组对应的区间分 别为2,6) ,6,10) ,10,14) ,14,18) ,18,22) ,并绘制出如下的频率分布直方图 (1)若用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本,求 a 的值和样本 中完成年度任务的销售员人数; (2)从(1)中样本内完成年度任务的销售员中随机选取 2 名,奖励海南三亚三日游, 设获得此奖励的 2 名销售员在第 4 组的人数为 X,求 X 分布列和期望 第 17 页(共 23 页) 【分析】 (1)根据频

27、率和为 1,列出关于 a 的方程,即可解得 a; (2)样本中完成年度销售人数为 6 人,其中第 4 组的 3 人,确定随机变量 X 的所有可能 的取值为 0,1,2,分别计算出对应的概率,列出分布列求出期望即可 【解答】 (1)(0.02+0.08+0.09+2a)41,a0.03样本中完成年度销售人数为 6 人 (2)X0,1,2,P(X0)P(X2),P(X1),分 布列如图所示, X 0 1 2 P 所以 E(X)1 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,古典概型,离散型随机变量的概率分布 列,难度不大,属于基础题 19 (12 分)在 RtABC 中,ABC90,tanACB已知

28、 E,F 分别是 BC,AC 的 中点 将CEF 沿 EF 折起, 使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是 60 连 接 CB,CA,如图: ()求证:平面 CFA平面 ABC; ()求平面 AFC与平面 BEC所成二面角的大小 【分析】 ()法一:由 AFCF设 AC的中点为 G,连接 FG设 BC的中点为 H, 连接 GH,EH从而BEC即为二面角 CEFB 的平面角BEC60,推 导出 EHBCEFCE,EFBE,从而 EF平面 BEC由 EFAB,得 AB平 面 BEC,从而 ABEH,即 EHAB进而 EH平面 ABC推导出四边形 EHGF 为 平行四边形从而 FGEH,F

29、G平面 ABC,由此能证明平面 AFC平面 ABC 法二:以 B 为原点,在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴,BE 为 y 轴,BA 为 z 轴, 第 18 页(共 23 页) 建立空间直角坐标系,利用向量法能证明平面 AFC平面 ABC ()以 B 为原点,在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴,BE 为 y 轴,BA 为 z 轴, 建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 AFC与平面 BEC所成二面角大小 【解答】证明: ()证法一:F 是 AC 的中点,AFCF 设 AC的中点为 G,连接 FG设 BC的中点为 H,连接 GH,EH 由题意得CEEF, BE

30、EF, BEC即为二面角CEFB的平面角 BEC 60, E 为 BC 的中点BEEC,BEC为等边三角形,EHBC EFCE,EFBE,CEBEE,EF平面 BEC EFAB,AB平面 BEC,ABEH,即 EHAB BCABB,EH平面 ABC G,H 分别为 AC,BC的中点GHFE, 四边形 EHGF 为平行四边形FGEH,FG平面 ABC, 又 FG平面 AFC平面 AFC平面 ABC (6 分) 法二:如图,以 B 为原点,在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴,BE 为 y 轴,BA 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AB2则 A(0,0,2) ,B(0,0,0)

31、 ,F(0,2,1) ,E(0,2,0) ,C(,1, 0) 设平面 ABC的法向量为 (x,y,z) ,(0,0,2) ,() , ,令 x1,则 (1,0) , 设平面 AFC的法向量为 (x,y,z) , (0,2,1) ,(,1,2) , ,取 y1,得 (,1,2) 0,平面 AFC平面 ABC (6 分) 解: ()如图,以 B 为原点,在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴,BE 为 y 轴, BA 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 第 19 页(共 23 页) 设 AB2,则 A(0,0,2) ,B(0,0,0) ,F(0,2,1) ,E(0,2,0) ,C(,1,

32、 0) 平面 BEC的法向量 (0,0,1) , (8 分) 设平面 AFC的法向量为 (x,y,z) , () ,(0,2,1) , ,取 y1,得 () (9 分) cos, (10 分) 由图形观察可知,平面 AFC与平面 BEC所成的二面角的平面角为锐角 平面 AFC与平面 BEC所成二面角大小为 45 (12 分) 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20 (12 分)已知点 M(,)在椭圆 C:+1(ab0)上,且点 M 到 C 的左、右焦点的距离之和为 2 (1)求 C 的方程; (2)

33、设 O 为坐标原点,若 C 的弦 AB 的中点在线段 OM(不含端点 O,M)上,求 的取值范围 第 20 页(共 23 页) 【分析】 (1)由题意可得:+1,2a2,解得 a,b即可得出椭圆的标 准方程 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 直线 OM 的方程为:yx弦 AB 的中点在线段 OM (不含端点 O,M)上,可得由+1,+1,相 减可得:1kAB设直线 AB 的方程为:yx+m,代入椭圆方程可得:3x2 4mx+2m220 0 解得m23 把根与系数的关系代入x1x2+y1y2x1x2+ (x1+m) (x2+m)化简即可得出 【解答】解: (1)由题意可得:+1,2

34、a2,解得 a,b1 椭圆的标准方程为:+y21 (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 直线 OM 的方程为:yx 弦 AB 的中点在线段 OM(不含端点 O,M)上,化为:x1+x2 2(y1+y2) 由+1,+1,相减可得:+(y1+y2) (y1y2)0 x1x20,+(y1+y2)0 1kAB 设直线 AB 的方程为:yx+m,代入椭圆方程可得:3x24mx+2m220 16m224(m21)8(3m2)0解得 m23 又(0,) , 由根与系数的关系可得:x1+x2,x1x2 x1x2+y1y2x1x2+ (x1+m)(x2+m) 2x1x2m (x1+x2) +m22 第

35、 21 页(共 23 页) +m2m2 而 m2 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点 坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质,考查了推理能力与计 算能力,属于难题 21 (12 分)已知函数 f(x)x22x+2alnx,若函数 f(x)在定义域上有两个极值点 x1, x2,且 x1x2 (1)求实数 a 的取值范围; (2)证明: 【分析】 (1)求出函数的导数,结合二次函数的性质确定 a 的范围即可; (2)结合二次函数的性质,求出 f(x1)+f(x2)的解析式,根据函数的单调性证明即可 【解答】 (1)解:因为函数 f(x)在

36、定义域(0,+)上有两个极值点 x1,x2,且 x1 x2, 所以在(0,+)上有两个根 x1,x2,且 x1x2, 即 x2x+a0 在(0,+)上有两个不相等的根 x1,x2 所以 解得 (2)证明:由题可知 x1,x2(0x1x2)是方程 x2x+a0 的两个不等的实根, 所以其中 故 (x1+x2)22x1x22(x1+x2)+2aln(x1x2) 2alna2a1, 令 g(a)2alna2a1,其中故 g(a)21na0, 所以 g(a)在上单调递减,则, 第 22 页(共 23 页) 即 【点评】本题考查了函数的单调性,极值,最值问题,考查导数的应用以及二次函数的 性质,是一道综

37、合题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一如果多做,则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知 直线 l 的参数方程是(m0,t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 2cos ()求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; ()若直线 l 与 x 轴交于点 P,与曲线 C 交于点 A,B,且|PA|PB|1,求实数 m 的值 【分析】 ()直线 L 的参数

38、方程消去参数 t,能求出直线 l 的普通方程由 2cos, 得 22cos,由此能求出曲线 C 的直角坐标方程 ()把(t 为参数) ,代入 x2+y22x,得由 |PA|PB|1|t1t2|,能求出实数 m 的值 【解答】选修 44:坐标系与参数方程来 解: ()直线 L 的参数方程是, (m0,t 为参数) , 消去参数 t 可得 由 2cos,得 22cos, C 的直角坐标方程:x2+y22x(5 分) ()把(t 为参数) ,代入 x2+y22x, 得 由0,解得1m3, |PA|PB|1|t1t2|,m22m1, 第 23 页(共 23 页) 解得或 1又满足0,m0, 实数或 m

39、1(10 分) 【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法,考查实数值的求法, 考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,考 查函数与方程思想,是中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|2x1|+|2x+3| (1)解不等式 f(x)6; (2)记 f(x)的最小值是 m,正实数 a,b 满足 2ab+a+2bm,求 a+2b 的最小值 【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,求出不等式的解集即可; (2)求出 f(x)的最小值,根据基本不等式的性质求出 a+2b 的最小值即可 【解答】解: (1)当 x时,f(x)24x, 由 f(x)6 解得 x2,综合得 x2,(2 分) 当时,f(x)4,显然 f(x)6 不成立,(3 分) 当 x时,f(x)4x+2, 由 f(x)6,解得 x1,综合得 x1,(4 分) 所以 f(x)6 的解集是(,21,+) (5 分) (2)f(x)|2x1|+|2x+3|(2x1)(2x+3)|4, 即 f(x)的最小值 m4 (7 分) a2b,(8 分) 由 2ab+a+2b4 可得 4(a+2b), 解得 a+2b, a+2b 的最小值为(10 分) 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查基本不等式的性质,是一道中档题

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