1、（精品资料）（精品资料）20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题三专题三 相似三角形的存在相似三角形的存在 性问题性问题 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引 1 （2019 贵州中考真题）如图，抛物线 2 1 2 yxbxc与直线 1 3 2 yx分别相交于A，B两 点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC已知(0,3)A，( 3,0)C （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MBMC的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使 得以A，P，Q
2、为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在， 请说明理由 【举一反三】 （2019 海南模拟）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0） （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2） 该抛物线与直线 3 3 5 yx 相交于 C、 D 两点， 点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，直线 PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N 连结 PC、PD，如图 1，在点 P 运动过程中， PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值； 若不存在，说明理由； 连结 PB，过点 C 作 CQPM，垂足为点 Q，如图 2，
3、是否存在点 P，使得 CNQ 与 PBM 相似?若存在， 求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由 类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】 典例指引 2 （2019 年广东模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落 在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线 2 yaxbxc 经过O，D，C三点. (1)求AD的长及抛物线的解析式； (2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒 2 个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每 秒 1 个单位长的速度向点O运动，当点
4、P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为 何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似？ (3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由. 【举一反三】 （2019 湖南模拟）如图，已知直线 y=-x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A，B 两点， 点 P 在线段 OA 上， 从点 O 出发， 向点 A 以 1 个单位/秒的速度匀速运动； 同时， 点 Q 在线段 AB 上， 从点
5、A 出发，向点 B 以 2个单位/秒的速度匀速运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）问：当 t 为何值时， APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PEy 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QFy 轴，交抛物线于点 F，连接 EF，当 EFPQ 时， 求点 F 的坐标； （4）设抛物线顶点为 M，连接 BP，BM，MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B，Q，M 为顶点的三角形与以 O，B，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】 典例指引 3 （2019 江苏中考真
6、题）如图，二次函数 2 45yxx 图象的顶点为D，对称轴是直线l， 一次函数 2 1 5 yx的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B （1）点D的坐标是 _； （2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合） ，点N的纵坐标为n过点 N作直线与线段DA、DB分别交于点P，Q，使得 DPQ与 DAB相似 当 27 5 n 时，求DP的长； 若对于每一个确定的n的值， 有且只有一个 DPQ 与DAB相似， 请直接写出n的取值范围 _ 【举一反三】 （2018 武汉中考）抛物线 L：y=x2+bx+c经过点 A（0，1） ，与它的对称轴直线 x=1交于点
7、B （1）直接写出抛物线 L 的解析式； （2）如图 1，过定点的直线 y=kxk+4（k0）与抛物线 L 交于点 M、N若BMN 的面积等于 1，求 k的 值； （3）如图 2，将抛物线 L向上平移 m（m0）个单位长度得到抛物线 L1，抛物线 L1与 y 轴交于点 C，过点 C作 y轴的垂线交抛物线L1于另一点 D F为抛物线 L1的对称轴与 x轴的交点， P为线段OC上一点 若PCD 与POF相似，并且符合条件的点 P恰有 2 个，求 m的值及相应点 P的坐标 【新题训练】 1 （2019 长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图 1，已知抛物线；C1：y（x+2） （x m） （
8、m0）与 x 轴交于点 B、C（点 B 在点 C 的左侧） ，与 y 轴交于点 E （1）求点 B、点 C 的坐标； （2）当BCE 的面积为 6 时，若点 G 的坐标为（0，b） ，在抛物线 C1的对称轴上是否存在点 H，使得BGH 的周长最小，若存在，则求点 H 的坐标（用含 b 的式子表示） ；若不存在，则请说明理由； （3）在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存 在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 2 （2020 浙江初三期末）边长为 2 的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点是边的 中点，连接，点在第一象限，且，
9、.以直线为对称轴的抛物线过，两 点. （1）求抛物线的解析式； （2）点从点出发，沿射线每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为 秒.过点作于 点，当 为何值时，以点，为顶点的三角形与相似？ （3）点为直线上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在点，使得以点， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 3 （2020 长沙市长郡双语实验中学初三开学考试） 如图，抛物线 yax22ax+c 的图象经过点 C（0， 2） ， 顶点 D 的坐标为（1，） ，与 x 轴交于 A、B 两点 1 m OABCDOA CDEDEDCDEDCABCE PCCBt
10、PPFCD FtPFDCOD MABNMNMND E 8 3 （1）求抛物线的解析式 （2）连接 AC，E 为直线 AC 上一点，当AOCAEB 时，求点 E 的坐标和的值 （3） 点 C 关于 x 轴的对称点为 H， 当FC+BF 取最小值时， 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q， 使QHF 是直角三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 4 （2019 贵州初三）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ，点 B（9， 10） ，ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y
11、 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相 似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 5 （2020 河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 B，四边形 OBCD 是矩形，点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（0，4） ，已知点 E（m，0）是 线段 DO 上的动点，过点 E 作 PEx 轴交抛物线于点 P，交 BC 于点 G，交 BD 于点
12、 H （1）求该抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 BC 上方时，请用含 m 的代数式表示 PG 的长度； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点 P，使得以 P、B、G 为顶点的三角形与DEH 相似？若存在， AE AB 5 5 1 3 2 4 3 yxbxc 求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由 6 （2020 浙江初三期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线 ，将直线 绕着点 顺时针旋转的度数后与该抛物线交于两点（点在点的左侧） ，点是该抛物线上一点 （1）若，求直线的函数表达式 （2）若点将线段分成的两部分，求点的坐标 （3）如图，在（1）的条件下，若点在轴左侧
13、，过点作直线轴，点是直线 上一点，且 位于轴左侧，当以，为顶点的三角形与相似时，求的坐标 7 （2020 上海初三）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+mx+n 经过点 B（6，1） ，C（5，0） ， 且与 y 轴交于点 A （1）求抛物线的表达式及点 A 的坐标； （2） 点 P 是 y 轴右侧抛物线上的一点， 过点 P 作 PQOA， 交线段 OA 的延长线于点 Q， 如果PAB45 求 证：PQAACB； （3）若点 F 是线段 AB（不包含端点）上的一点，且点 F 关于 AC 的对称点 F恰好在上述抛物线上，求 FF 的长 2 yx=ll 0,2PABABQ 45AB
14、 p 2:3 A Q yp / /lxMl y PB Q PAMM 1 3 8 （2019 江苏初三期末）如图，抛物线 yax25axc（a0）与 x 轴负半轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于 C 点， D 是抛物线的顶点， 过 D 作 DHx 轴于点 H， 延长 DH 交 AC 于点 E， 且 SABD： SACB9：16， （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若DBH 与BEH 相似，试求抛物线的解析式 9 （2019 湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，1）的抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0， 3） ，与 x 轴交于 A、B
15、两点 （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求ACD 的面积； （3）点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F问是否存在点 E，使得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 10 （2019 西安市铁一中学中考模拟）如图， 抛物线的顶点坐标为， 并且与 轴交于点，与轴交于、两点 （ ）求抛物线的表达式 （）如图 ，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行 线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似若存
16、在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 11 （2019 广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B （1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 2 (0
17、)yaxbxc a (2, 1)y (0,3)Cx AB 1 21BCDEBCE y EFFEDEFBCO E 1 2 2 yx 3 2 x 12 （2019 江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线与 x 轴交于 A、C 两点，与 y 轴交于 B 点 （1）求AOB 的外接圆的面积； （2）若动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位沿射线 AC 方向运动；同时，点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单 位沿射线 BA 方向运动，当点 P 到达点 C 处时，两点同时停止运动问当 t 为何值时，以 A、P、Q 为顶点 的三角形与OAB 相似？ （3）若 M 为线段 AB 上一个动点，过点
18、M 作 MN 平行于 y 轴交抛物线于点 N 是否存在这样的点 M，使得四边形 OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由 当点 M 运动到何处时，四边形 CBNA 的面积最大？求出此时点 M 的坐标及四边形 CBAN 面积的最大值 13 （2019 陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：经过点 A（-3，0） 和点 B（0，-6） ，L 关于原点 O 对称的抛物线为. （1）求抛物线 L 的表达式； （2）点 P 在抛物线上，且位于第一象限，过点 P 作 PDy 轴，垂足为 D.若POD 与AOB 相似，求符 2 48 12 93 yxx 2 y
19、axca xc L L 合条件的点 P 的坐标. 14 （2019 湖南中考真题）如图，抛物线与 x 轴交于点，点，与 y 轴交于 点 C，且过点点 P、Q 是抛物线上的动点 (1)求抛物线的解析式； (2)当点 P 在直线 OD 下方时，求面积的最大值 (3)直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当与相似时，求点 Q 的坐标 15 （2018 四川中考真题）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 C、D 两 点，连接 AC、BC，已知 A（0，3） ，C（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MBMD
20、|的值最大，并求出这个最大值； （3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使 得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由 2 yaxbxc( 1,0)A (3,0)B (2, 3)D 2 yaxbxc POD OBEABC 1 2 1 2 16 （2019 湖南中考真题）如图 1，AOB 的三个顶点 A、O、B 分别落在抛物线 F1：的图象 上，点 A 的横坐标为4，点 B 的纵坐标为2.(点 A 在点 B 的左侧) (1)求点 A、B 的坐标；
21、 (2)将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 得到AOB，抛物线 F2：经过 A、B两点，已知点 M 为 抛物线 F2的对称轴上一定点，且点 A恰好在以 OM 为直径的圆上，连接 OM、AM，求OAM 的面积； (3)如图 2，延长 OB交抛物线 F2于点 C，连接 AC，在坐标轴上是否存在点 D，使得以 A、O、D 为顶点的 三角形与OAC 相似.若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由. 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引 1 （2019 贵州中考真题）如图，抛物线 2 1 2 yxbxc与直线 1 3 2 yx分别相交于A，B两 点，且此抛物线与x轴的一个交点为
22、C，连接AC，BC已知(0,3)A，( 3,0)C 2 17 33 yxx 2 4yaxbx （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MBMC的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使 得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在， 请说明理由 【答案】 （1） 2 15 3 22 yxx； （2）点 M 的坐标为（ 5 2 ， 1 2 ）时，MBMC取最大值为 2； （3） 存在点(1,6)P 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法求解即可；
23、 （2）根据三角形的三边关系可知：当点B、C、M三点共线时，可使MBMC的值最大，据此求解即 可； （3）先求得90ACB，再过点P作PQPA于点P，过点P作PGy轴于点G，如图，这样就把 以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似问题转化为以A，P，G为顶点的三角形与ABC相似的问 题，再分当 1 3 PGBC AGAC 时与3 PGAC AGBC 时两种情况，分别求解即可 【详解】 解： （1）将(0,3)A，( 3,0)C 代入 2 1 2 yxbxc得： 3 9 30 2 c bc ，解得： 5 2 3 b c ， 抛物线的解析式是 2 15 3 22 yxx； （2）解方程组： 2 15
24、 3 22 1 3 2 yxx yx ，得 1 1 0 3 x y ， 2 2 4 1 x y ， (0,3)A，( 4,1)B 当点B、C、M三点不共线时，根据三角形三边关系得MBMCBC， 当点B、C、M三点共线时，MBMCBC， 当点B、C、M三点共线时，MB MC取最大值，即为BC的长， 如图，过点B作 BEx 轴于点E，则在Rt BEC中，由勾股定理得： 22 2BCBECE ， MBMC取最大值为 2； 易求得直线 BC 的解析式为：y=x3，抛物线的对称轴是直线 5 2 x ，当 5 2 x 时， 1 2 y =-，点 M 的坐标为（ 5 2 ， 1 2 ） ； 点 M 的坐标为
25、（ 5 2 ， 1 2 ）时，MBMC取最大值为 2； （3）存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似 设点P坐标为 2 15 ,3 (0) 22 xxxx ， 在Rt BEC中，1BECE，45BCE， 在Rt ACO中，3AOCO，45ACO， 180454590ACB， 3 2AC ， 过点P作PQPA于点P，过点P作PGy轴于点G，如图， 90PGAAPQ ，PAGQAP ，PGAQPA， 90PGAACB， 当 1 3 PGBC AGAC 时，PGABCA， 2 1 15 3 33 22 x xx ，解得 1 1x ， 2 0x ， （舍去） 点P的纵坐标为 2 15 1
26、1 36 22 ，点P为(1,6)； 当 3 PGAC AGBC 时，PGAACB， 2 3 15 33 22 x xx ，解得 1 13 3 x （舍去） ， 2 0x （舍去） ， 此时无符合条件的点P； 综上所述，存在点(1,6)P 【名师点睛】 本题考查的是二次函数的综合运用， 主要考查待定系数法求二次函数的解析式、 相似三角形的判定与性质、 一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中（1）题是基础题型， （2）题的求解需运 用三角形的三边关系， （3）题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐 标特征、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的
27、解法 【举一反三】 （2019 海南模拟）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0） （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2） 该抛物线与直线 3 3 5 yx 相交于 C、 D 两点， 点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，直线 PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N 连结 PC、PD，如图 1，在点 P 运动过程中， PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值； 若不存在，说明理由； 连结 PB，过点 C 作 CQPM，垂足为点 Q，如图 2，是否存在点 P，使得 CNQ 与 PBM 相似?若存在， 求出满足条件的点 P 的坐标
28、；若不存在，说明理由 【答案】 （1） 2 318 3 55 yxx； （2） 1029 40 ； 存在， （ （2， 9 5 ）或（ 34 9 ， 55 27 ） 【解析】 【详解】 试题分析： （1）由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设出 P 点坐标，则可表示出 M、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得 C、D 的坐标，过 C、 D 作 PN 的垂线，可用 t 表示出 PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； 当 CNQ 与 PBM 相似时有 PQPM CQBM 或 NQBM CQPM 两种情况，利用 P 点坐标，可分别表示出线段 的长，可得
29、到关于 P 点坐标的方程，可求得 P 点坐标 试题解析： （1）抛物线 2 3yaxbx经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ， 30 25530 ab ab ，解得 3 5 18 5 a b 该抛物线对应的函数解析式为 2 318 3 55 yxx ； （2）点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方， 可设 P（t， 2 318 3 55 tt） （1t5） ， 直线 PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N， M（t，0） ，N（t， 3 3 5 t ） ， 2 2 331837147 33 5555220 PNtttt . 联立直线 CD 与抛物线解析式可得 2 3 3
30、 5 318 3 55 yx yxx ，解得 0 3 x y 或 7 36 5 x y ， C（0，3） ，D（7， 36 5 ） ， 分别过 C、D 作直线 PN 的直线，垂足分别为 E、F，如图 1， 则 CE=t，DF=7t， 1177 2222 PCDPCNPDN SSSPN CEPN DFPN 22 371472171029 522010240 tt ， 当 7 2 t 时， PCD 的面积有最大值，最大值为1029 40 ； 存在 CQN=PMB=90 ， 当 CNQ 与 PBM 相似时，有 PQPM CQBM 或 NQBM CQPM 两种情况， CQPM，垂足为 Q， Q（t，3
31、） ，且 C（0，3） ，N（t， 3 3 5 t ） ， CQ=t， 33 33 55 QtNt ， 3 5 CQ NQ ， P（t， 2 318 3 55 tt） ，M（t，0） ，B（5，0） ， BM=5t， 22 318318 033 5555 PMtttt ， 当 PQPM CQBM 时， 则 3 5 PMBM， 即 2 31 83 35 555 ttt， 解得 t=2 或 t=5 （舍去） ， 此时 P （2， 9 5 ） ； 当 NQBM CQPM 时，则 3 5 BMPM，即 2 318 3 55 3 5 5 ttt ，解得 34 9 t 或5t （舍去） ，此时 P （ 3
32、4 9 ， 55 27 ） ； 综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为 P（2， 9 5 ）或（ 34 9 ， 55 27 ） 类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】 典例指引 2 （2019 年广东模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落 在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线 2 yaxbxc 经过O，D，C三点. (1)求AD的长及抛物线的解析式； (2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒 2 个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每 秒 1 个单位长的
33、速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为 何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似？ (3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由. 【解析】 （1） 根据折叠图形的轴对称性， CED、 CBD全等， 首先在RtCEO中求出OE的长， 进而可得到AE的长； 在RtAED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长进一步能确定D点坐标，利用待定系数 法即可求出抛物线的解析式； （2） 由于D
34、EC=90， 首先能确定的是AED=OCE， 若以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似， 那么QPC=90 或PQC=90，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值； （3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论： EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点 一定是抛物线的顶点； EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差 表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标 试题解析： （1）四边形AB
35、CO为矩形， OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10， 由题意，得BDCEDC， B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD， 由勾股定理易得EO=6， AE=106=4， 设AD=x，则BD=ED=8x，由勾股定理，得 2 22 48xx ， 解得，x=3，AD=3， 抛物线 2 yaxbxc过点D（3, 10） ，C（8, 0） ，O（0, 0） ， 9310 6480 ab ab ，解得 2 3 16 3 a b ， 抛物线的解析式为： 2 216 33 yxx ； （2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90， DEA=OCE， 由（1）可得AD=3，AE=
36、4，DE=5， 而CQ=t，EP=2t，PC=102t， 当PQC=DAE=90，ADEQPC， CQCP AEDE ，即 102 45 tt ， 解得 40 13 t ， 当QPC=DAE=90，ADEPQC， PCCQ AEDE ，即 102 45 tt ， 解得 25 7 t ， 当 40 13 t 或 25 7 t 时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似； （3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论： EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点 必为抛物线顶点； 则： 32 4 3 M ，；而平行四边形的对角线互相平分，那
37、么线段MN必被EC中点（4，3） 平分，则 14 4 3 N ，； EC为平行四边形的边，则EC/MN，EC =MN，设N（4，m） ， 则M（48，m+6）或M（4+8，m6） ； 将M（4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=38， 此时 N（4，38） 、M（4，32） ； 将M（12，m6）代入抛物线的解析式中，得：m=26， 此时 N（4，26） 、M（12，32） ； 综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为： 1 432M ， 1 438N，； 2 1232M， 2(4 26N，）； 3 32 4 3 M ， 3 14 4 3 N ， 【名师点睛】 本题考查了二次函数综合题
38、，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定 和性质等重点知识后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解 【举一反三】 （2019 湖南模拟）如图，已知直线 y=-x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A，B 两点， 点 P 在线段 OA 上， 从点 O 出发， 向点 A 以 1 个单位/秒的速度匀速运动； 同时， 点 Q 在线段 AB 上， 从点 A 出发，向点 B 以 2个单位/秒的速度匀速运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）问：当 t 为何值时， APQ 为直角三角形； （3）过
39、点 P 作 PEy 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QFy 轴，交抛物线于点 F，连接 EF，当 EFPQ 时， 求点 F 的坐标； （4）设抛物线顶点为 M，连接 BP，BM，MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B，Q，M 为顶点的三角形与以 O，B，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y=-x2+2x+3； （2）t=1 或 t= 3 2 ； （3）点 F 的坐标为（2，3） （4） 9 4 【解析】 【详解】 试题分析： （1） 先由直线 AB 的解析式为 y=-x+3， 求出它与 x 轴的交点 A、 与 y 轴的交点 B 的坐标
40、， 再将 A、 B 两点的坐标代入 y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由直线与两坐标轴的交点可知：QAP=45 ，设运动时间为 t 秒，则 QA= 2t，PA=3-t，然后再图、 图中利用特殊锐角三角函数值列出关于 t 的方程求解即可； （3）设点 P 的坐标为（t，0） ，则点 E 的坐标为（t，-t+3） ，则 EP=3-t，点 Q 的坐标为（3-t，t） ，点 F 的坐 标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3） ，则 FQ=3t-t2，EPFQ，EFPQ，所以四边形为平行线四边形，由平行 四边形的性质可知 EP=FQ，从而的到关于 t 的方程，然
41、后解方程即可求得 t 的值，然后将 t=1 代入即可求得 点 F 的坐标； （4）设运动时间为 t 秒，则 OP=t，BQ=（3-t） 2，然后由抛物线的解析式求得点 M 的坐标，从而可求得 MB 的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于 t 的方程，然后即可解得 t 的值 试题解析： （1）y=-x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 当 y=0 时，x=3，即 A 点坐标为（3，0） ， 当 x=0 时，y=3，即 B 点坐标为（0，3） ， 将 A（3，0） ，B（0，3）代入 y=-x2+bx+c， 得 930 3 bc c ，解得 2 3 b c 抛物线的解析式为
42、y=-x2+2x+3； （2）OA=OB=3，BOA=90 ， QAP=45 如图所示：PQA=90 时，设运动时间为 t 秒，则 QA= 2t，PA=3-t 在 Rt PQA 中， 2 2 QA PA ，即： 22 32 t t ，解得：t=1； 如图所示：QPA=90 时，设运动时间为 t 秒，则 QA= 2t，PA=3-t 在 Rt PQA 中， 2 2 PA QA ，即： 32 22 t t ，解得：t= 3 2 综上所述，当 t=1 或 t= 3 2 时， PQA 是直角三角形； （3）如图所示： 设点 P 的坐标为（t，0） ，则点 E 的坐标为（t，-t+3） ，则 EP=3-t
43、，点 Q 的坐标为（3-t，t） ，点 F 的坐标为 （3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3） ，则 FQ=3t-t2 EPFQ，EFPQ， EP=FQ即：3-t=3t-t2 解得：t1=1，t2=3（舍去） 将 t=1 代入 F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3） ，得点 F 的坐标为（2，3） （4）如图所示： 设运动时间为 t 秒，则 OP=t，BQ=（3-t） 2 y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 点 M 的坐标为（1，4） MB= 22 112 当 BOPQBM 时， MBBQ OPOB 即： 2(3) 2 3 t t ，整理得：t 2-3t+3=0， =32-
44、4 1 30，无解： 当 BOPMBQ 时， BMBQ OBOP 即： 2(3) 2 3 t t ，解得 t= 9 4 当 t= 9 4 时，以 B，Q，M 为顶点的三角形与以 O，B，P 为顶点的三角形相似 类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】 典例指引 3 （2019 江苏中考真题）如图，二次函数 2 45yxx 图象的顶点为D，对称轴是直线l， 一次函数 2 1 5 yx的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B （1）点D的坐标是 _； （2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合） ，点N的纵坐标为n过点 N作直线与线段DA
45、、DB分别交于点P，Q，使得 DPQ与 DAB相似 当 27 5 n 时，求DP的长； 若对于每一个确定的n的值， 有且只有一个 DPQ与 DAB相似， 请直接写出n的取值范围 _ 【答案】 （1）2,9； （2） 9 5DP ； 921 55 n. 【解析】 【分析】 （1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点 C（2， 9 5 ） ，A（- 5 2 ，0） ，点 A 关于对称轴对称的点（13 2 ，0） ，借助 AD 的直线解 析式求得 B（5，3） ；当 n= 27 5 时，N（2， 27 5 ） ，可求 DA= 9 5 2 ，DN= 18 5 ，CD= 36 5 ，当 PQAB 时， DPQDAB，DP=9 5；当 PQ 与 AB 不平行时，DP=95；当 PQAB，DB=DP 时，DB=35， DN= 24 5 ，所以 N（2， 21 5 ） ，则有且只有一个 DPQ 与 DAB 相似时， 9 5 n 21 5 . 【详解】 （1）顶点为2,9D； 故答案为2,9； （2）对称轴2x， 9 (2, ) 5 C， 由已知可求 5 (,0) 2 A ， 点A关于2x对称点为 13 (,0) 2 ， 则AD关于2x对称的直线为213yx ， (5,3)B ， 当 27 5 n
