1、 1 专题专题 24 相似三角形判定与性质相似三角形判定与性质 1相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相 似比。 2三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2） 平行法： 平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边延长线） 相交， 构成的三角形与原三角形相似。 （3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似， 可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两 个三角形
2、相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5） 判定定理 3： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似， 可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3直角三角形相似判定定理: 以上各种判定方法均适用 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长
3、的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 专题知识回顾专题知识回顾 2 【例题【例题 1】 （2019海南省）海南省）如图，在 Rt ABC 中，C90 ，AB5，BC4点 P 是边 AC 上一动点，过 点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（ ） A. B C D 【答案】B 【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 根据勾股定理求出 AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到 QBQD，根据相 似三角形的性质列出比例式，计算即可 C90
4、 ，AB5，BC4， AC3， PQAB， ABDBDQ，又ABDQBD， QBDBDQ， QBQD， QP2QB， PQAB， CPQCAB， ，即， 解得，CP， APCACP 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 【例题【例题 2】 （2019四川省凉山州）四川省凉山州）在 ABCD 中，E 是 AD 上一点，且点 E 将 AD 分为 2：3 的两部分，连接 BE、AC 相交于 F，则 S AEF：S CBF是 【答案】4：25 或 9：25 【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似 比的平方是解题的关键 分 AE：ED2：3、
5、AE：ED3：2 两种情况，根据相似三角形的性质计算即可 当 AE：ED2：3 时， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AE：BC2：5， AEFCBF， S AEF：S CBF（）24：25； 当 AE：ED3：2 时， 同理可得，S AEF：S CBF（）29：25。 【例题【例题 3】 （2019湖北省荆门市）湖北省荆门市） 如图， 为了测量一栋楼的高度 OE， 小明同学先在操场上 A 处放一面镜子， 向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中 看到楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上） ，测得 AC2
6、m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙 度 BF，DG 为 1.6m，试确定楼的高度 OE 【答案】楼的高度 OE 为 32 米 【解析】设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M， 连接 GF 并延长交 OE 于点 H， GFAC， 4 MACMFG， ， 即：， ， OE32 【例题【例题 4】 （】 （2019 年广西梧州市）年广西梧州市）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，AF 平分DAC，分别交 DC， BC 的延长线于点 E，F；连接 DF，过点 A 作 AHDF，分别交 BD，BF 于点 G，H （1）求 DE 的长； （2）求证：
7、1DFC 【答案】见解析。 【解析】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角 形的性质与判定是解题的关键 （1） 由 ADCF， AF 平分DAC， 可得FACAFC， 得出 ACCF5， 可证出ADEFCE， 则， 可求出 DE 长； 5 矩形 ABCD 中，ADCF， DAFACF， AF 平分DAC， DAFCAF， FACAFC， ACCF， AB4，BC3， 5， CF5， ADCF， ADEFCE， ， 设 DEx，则， 解得 x ； （2）由ADGHBG，可求出 DG，则，可得 EGBC，则1AHC，根据 DFAH，可得 AHCDFC，
8、结论得证 ADFH，AFDH， 四边形 ADFH 是平行四边形， ADFH3， CH2，BH5， ADBH， ADGHBG， ， ， DG， 6 DE， ， EGBC， 1AHC， 又DFAH， AHCDFC， 1DFC 【例题【例题 5】 （】 （2019 年湖南省张家界市）年湖南省张家界市）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BEAB，连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G （1）求证：BFCF； （2）若 BC6，DG4，求 FG 的长 【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质得到 ADCD，ADBC，得到EBFEAD，根据相似三角
9、形的性质证 明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCD，ADBC， EBFEAD， ， BFADBC， BFCF； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ADCD， FGCDGA， 7 ，即， 解得，FG2 一、选择题一、选择题 1.（2019 年广西玉林市）年广西玉林市）如图，ABEFDC，ADBC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（ ） A3 对 B5 对 C6 对 D8 对 【答案】C 【解析】图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA， ABEFDC，ADBC AEGADCCFGCBA 共有 6 个组合分别为： A
10、EGADC， AEGCFG， AEGCBA， ADCCFG， ADCCBA， CFGCBA 2.（2019 年内蒙古赤峰市）年内蒙古赤峰市）如图，D、E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，ADEACB，若 AD2，AB 6，AC4，则 AE 的长是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】证明ADEACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 ADEACB，AA， 专题典型训练题 专题典型训练题 8 ADEACB， ，即， 解得，AE3 3.（2019 广西贺州）广西贺州）如图，在 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DEBC，若 AD2，AB3，DE4，则 B
11、C 等于（ ） A5 B6 C7 D8 【答案】B 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键由平行 线得出 ADEABC，得出对应边成比例，即可得出结果 DEBC， ADEABC， ， 即， 解得：BC6 4.（2019广西贵港）广西贵港）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DEBC，ACDB，若 AD 2BD，BC6，则线段 CD 的长为（ ） A2 B3 C2 D5 【答案】C 【解析】设 AD2x，BDx，所以 AB3x，易证ADEABC，利用相似三角形的性质可求出 DE 的长 9 度，以及，再证明ADEACD，利用相似三
12、角形的性质即可求出得出，从而可求 出 CD 的长度 设 AD2x，BDx， AB3x， DEBC， ADEABC， ， ， DE4， ACDB， ADEB， ADEACD， AA， ADEACD， ， 设 AE2y，AC3y， ， ADy， ， CD2 5.（2019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）如图，在ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EMAD，交 AB 于点 M，ENAB， 交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 10 【答案】D 【解析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质 在ABCD 中，EMAD 易证四边形 AMEN 为平行四边形 易证BEMBA
13、DEND ，A 项错误 ，B 项错误 ，C 项错误 ，D 项正确。 6. （2019江苏苏州）江苏苏州）如图，在ABCV中，点D为BC边上的一点，且2ADAB，ADAB，过点D作 DEAD，DE交AC于点E，若1DE ，则ABCV的面积为（ ） A4 2 B4 C2 5 D8 【答案】B 【解析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型 ABADDEAD， 90BADADE o /AB DE 易证CDECBAV: V 1 2 DCDE BCBA 即 1 2 DC BDDC 由题得2 2BD 解得2 2DC E D A B C 11 ABCV的高易得：2 11 24 224 22
14、 ABC SBC V 7.（2019 山东枣庄）山东枣庄）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知ABC 的面积 为 16，阴影部分三角形的面积 9若 AA1，则 AD 等于（ ） A2 B3 C4 D 【答案】B 【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形 的判定与性质等知识点 由 SABC16.SAEF9且 AD 为BC边的中线知 SADESAEF， SABDSABC8， 根据DA EDAB 知（）2，据此求解可得 SABC16.SAEF9，且 AD 为 BC 边的中线， SADESAEF，SABDSABC8， 将
15、ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC， AEAB， DAEDAB， 则（）2，即（）2， 解得 AD3 或 AD（舍） 。 8.（2019 四川巴中）四川巴中）如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于点 G，则 SDEG：SCFG（ ） 12 A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 【答案】D 【解析】先设出 DEx，进而得出 AD3x，再用平行四边形的性质得出 BC3x，进而求出 CF，最后用相 似三角形的性质即可得出结论 设 DEx， DE：AD1：3， AD3x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，BCA
16、D3x， 点 F 是 BC 的中点， CFBCx， ADBC， DEGCFG， （）2（）2 9.（2019 年四川省遂宁市）年四川省遂宁市）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，BPC 是等边三角形，连接 DP 并 延长交 CB 的延长线于点 H，连接 BD 交 PC 于点 Q，下列结论： BPD135；BDPHDB；DQ：BQ1：2；SBDP 其中正确的有（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由等边三角形及正方形的性质求出CPDCDP75、PCBCPB60，从而判断； 13 证DBPDPB135可判断；作 QECD，设 QEDEx，则 QDx，CQ2QE2x，CE x，由
17、CE+DECD 求出 x，从而求得 DQ、BQ 的长，据此可判断，证 DPDQ，根据 SBDP BDPDsinBDP 求解可判断 PBC 是等边三角形，四边形 ABCD 是正方形， PCBCPB60，PCD30，BCPCCD， CPDCDP75， 则BPDBPC+CPD135，故正确； CBDCDB45， DBPDPB135， 又PDBBDH， BDPHDB，故正确； 如图，过点 Q 作 QECD 于 E， 设 QEDEx，则 QDx，CQ2QE2x， CEx， 由 CE+DECD 知 x+x1， 解得 x， QDx， BD， BQBDDQ， 则 DQ：BQ：1：2，故错误； CDP75，CD
18、Q45， PDQ30， 又CPD75， 14 DPQDQP75， DPDQ， SBDPBDPDsinBDP，故正确。 二、填空题二、填空题 10.（2019浙江宁波浙江宁波）如图所示，Rt ABC 中，C90 ，AC12，点 D 在边 BC 上，CD5，BD13点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的P 与 ABC 的一边相切时，AP 的长为 【答案】6.5 或 3 【解析】在 Rt ABC 中，C90 ，AC12，BD+CD18， AB6， 在 Rt ADC 中，C90 ，AC12，CD5， AD13， 当P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离6， 过 P 作 PHBC 于
19、H， 则 PH6， C90 ， ACBC， PHAC， DPHDAC， ， ， PD6.5， AP6.5； 当P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离6， 过 P 作 PGAB 于 G， 则 PG6， 15 ADBD13， PAGB， AGPC90 ， AGPBCA， ， ， AP3， CD56， 半径为 6 的P 不与 ABC 的 AC 边相切， 综上所述，AP 的长为 6.5 或 3， 故答案为：6.5 或 3 11. 2019 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片 ABC，ACB90 ，AB10，AC6，点 D 为 BC 边 上的任一点，沿过点 D 的直线折叠，
20、使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当BDE 是直角三角形时， 则 CD 的长为_ 【答案】3 或 24 7 . 【解析】在BDE 中，B 是锐角，有两种可能，DEB 或EDB 是直角，由此画出示意图，逐步求解 即可. 如图 1，DEB 是直角时，ACB90 ，AB10，AC6，BC= 22 106=8,设 CD=x，则 BD=8-x， 由折叠 知 CD=ED=x，ACBDEB=90 ，BEDBCA， ACDE ABDB ，即 6 108 x x ，解得 x=3; 如图 2，EDB 是直角时，EDAC，BEDBAC， ACED CBDB ,即 6 88 x x ，解得 x= 24
21、7 ，综上，CD 的长 为 3 或 24 7 . 16 图 1 图 2 12 （ （2019山东泰安山东泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点，将 AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 【答案】2 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当 的辅助线，连接 CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果 连接 EC，利用矩形的性质，求出 EG，DE 的长度，证明 EC 平分DCF，再证FEC90 ，最后证 FECEDC，利用相似的性质即可求出
22、 EF 的长度 如图，连接 EC， 四边形 ABCD 为矩形， AD90 ，BCAD12，DCAB3， E 为 AD 中点， AEDEAD6 由翻折知， AEFGEF， AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90 D， GEDE， EC 平分DCG， DCEGCE， GEC90 GCE，DEC90 DCE， E D A B C D E F A C B 17 GECDEC， FECFEG+GEC 180 90 ， FECD90 ， 又DCEGCE， FECEDC， ， EC3， ， FE2 13.（2019 江苏常州）江苏常州）如图，在矩形 ABCD 中，AD3AB310点 P 是 AD 的中点
23、，点 E 在 BC 上，CE 2BE，点 M、N 在线段 BD 上若PMN 是等腰三角形且底角与DEC 相等，则 MN_ 【答案】6 【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数 等几何知识点首先由勾股定理，求得 BD10，然后由“AD3AB310点 P 是 AD 的中点，点 E 在 BC 上，CE2BE” ，求得 PD 3 10 2 ，CE210，这样由 tanDEC 1 2 DC EC ；第四步过点 P 作 PH BD 于点 H，在 BD 上依次取点 M、N，使 MHNH2PH，于是因此PMN 是所求符合条件的图形；第五 P E D C B
24、 A 18 步由DPHDBA， 得 PHPD BABD ，即 3 10 2 1010 PH ， 得 PH 3 2 ，于是 MN4PH6，本题答案为 6 14.（2019山东省滨州市）山东省滨州市）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且ABC60，AB2BC，连接 OE下列结论：EOAC；SAOD4SOCF；AC： BD：7；FB2OFDF其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题，学会利用参数解决问题
25、，属于填空题中的压轴题 正确只要证明 ECEABC，推出ACB90，再利用三角形中位线定理即可判断 错误想办法证明 BF2OF，推出 SBOC3SOCF即可判断 正确设 BCBEECa，求出 AC，BD 即可判断 正确求出 BF，OF，DF（用 a 表示） ，通过计算证明即可 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，ODOB，OAOC， DCB+ABC180， ABC60， DCB120， EC 平分DCB， ECBDCB60， H N M P E D C B A 19 EBCBCECEB60， ECB 是等边三角形， EBBC， AB2BC， EAEBEC， ACB90， OAOC，EA
26、EB， OEBC， AOEACB90， EOAC，故正确， OEBC， OEFBCF， ， OFOB， SAODSBOC3SOCF，故错误， 设 BCBEECa，则 AB2a，ACa，ODOBa， BDa， AC：BDa：a：7，故正确， OFOBa， BFa， BF2a2，OFDFa （a+a）a2， BF2OFDF，故正确， 故答案为 15.（2019 四川泸州）四川泸州）如图，在等腰 RtABC 中，C90，AC15，点 E 在边 CB 上，CE2EB，点 D 20 在边 AB 上，CDAE，垂足为 F，则 AD 的长为 【答案】【答案】92 【解析】【解析】过 D 作 DHAC 于 H
27、， 在等腰 RtABC 中，C90，AC15， ACBC15， CAD45， AHDH， CH15DH， CFAE， DHADFA90， HAFHDF， ACEDHC， = ， CE2EB， CE10， 15 = 15 10 ， DH9， AD92， 故答案为：92 三、解答题三、解答题 21 16. （2019四川省凉山州）四川省凉山州） 如图， ABDBCD90 ， DB 平分ADC， 过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M 连 接 CM 交 DB 于 N （1）求证：BD2ADCD； （2）若 CD6，AD8，求 MN 的长 【答案】见解析。 【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，
28、勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关 键 证明： （1）通过证明 ABDBCD，可得，可得结论； DB 平分ADC， ADBCDB，且ABDBCD90 ， ABDBCD BD2ADCD （2）由平行线的性质可证MBDBDC，即可证 AMMDMB4，由 BD2ADCD 和勾股定理可求 MC 的长，通过证明 MNBCND，可得，即可求 MN 的长BMCD MBDBDC ADBMBD，且ABD90 BMMD，MABMBA BMMDAM4 BD2ADCD，且 CD6，AD8， BD248， BC2BD2CD212 22 MC2MB2+BC228 MC2 BMCD MNBCND ，且
29、MC2 MN 17 （ （2019山东泰安山东泰安）在矩形 ABCD 中，AEBD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点 （1）若 BP 平分ABD，交 AE 于点 G，PFBD 于点 F，如图，证明四边形 AGFP 是菱形； （2）若 PEEC，如图，求证：AEABDEAP； （3）在（2）的条件下，若 AB1，BC2，求 AP 的长 【答案】见解析。 【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识， 解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 （1）想办法证明 AGPF，AGPF，推出四边形 AGFP 是平行四边形，再证明 PAPF
30、 即可解决问题 证明：如图中， 23 四边形 ABCD 是矩形， BAD90 ， AEBD， AED90 ， BAE+EAD90 ，EAD+ADE90 ， BAEADE， AGPBAG+ABG，APDADE+PBD，ABGPBD， AGPAPG， APAG， PAAB，PFBD，BP 平分ABD， PAPF， PFAG， AEBD，PFBD， PFAG， 四边形 AGFP 是平行四边形， PAPF， 四边形 AGFP 是菱形 （2）证明 AEPDEC，可得，由此即可解决问题 证明：如图中， AEBD，PEEC， 24 AEDPEC90 ， AEPDEC， EAD+ADE90 ，ADE+CDE9
31、0 ， EAPEDC， AEPDEC， ， ABCD， AEABDEAP； （3）利用（2）中结论求出 DE，AE 即可 解：四边形 ABCD 是矩形， BCAD2，BAD90 ， BD， AEBD， S ABDBDAEABAD， AE， DE， AEABDEAP； AP 18 (2019 安徽安徽)如图， Rt ABC 中， ACB90 ， ACBC， P 为 ABC 内部一点， 且APBBPC135 （1）求证： PABPBC； （2）求证：PA2PC； （3）若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3，求证 h12h2h3 25 【答案】见解析。 【解析】此
32、题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAPPCD 是解 本题的关键 （1）ACB90 ，ABBC， ABC45 PBA+PBC 又APB135 ， PAB+PBA45 PBCPAB 又APBBPC135 ， PABPBC （2）PABPBC 在 Rt ABC 中，ABAC， PA2PC （3）如图，过点 P 作 PDBC，PEAC 交 BC.AC 于点 D，E， PFh1，PDh2，PEh3， CPB+APB135 +135 270 APC90 ， EAP+ACP90 ， 又ACBACP+PCD90 EAPPCD， 26 Rt AEPRt CDP， ，即， h32h
33、2 PABPBC， ， 即：h12h2h3 19.（2019 年湖南省株洲市）年湖南省株洲市）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交 点，连接 CE、DG （1）求证：DOGCOE； （2）若 DGBD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M，AM，求正方形 OEFG 的边长 【答案】见解析。 27 【解析】由正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC、BD，可得DOADOC90，GOE90， 即可证得GODCOE，因 DOOC，GOEO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等；过点 M 作 MHDO 交
34、DO 于点 H，由于MDB45，由可得 DH，MH 长，从而求得 HO，即可求得 MO，再通过 MHDG，易证得OHMODG，则有，求得 GO 即为正方形 OEFG 的边长 （1）正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC、BD DOOC DBAC， DOADOC90 GOE90 GOD+DOEDOE+COE90 GODCOE GOOE 在DOG 和COE 中 DOGCOE（SAS） （2）如图，过点 M 作 MHDO 交 DO 于点 H AM，DA2 DM MDB45 MHDHsin45DM，DOcos45DA HODODH 在 RtMHO 中，由勾股定理得 MO DGBD，MHDO MHDG 易证OHMODG 28 ，得 GO2 则正方形 OEFG 的边长为 2
