1、 1 专题专题 24 相似三角形判定与性质相似三角形判定与性质 1相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相 似比。 2三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2） 平行法： 平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边延长线） 相交， 构成的三角形与原三角形相似。 （3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似， 可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两 个三角形
2、相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5） 判定定理 3： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似， 可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3直角三角形相似判定定理: 以上各种判定方法均适用 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长
3、的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 1】 （2019海南省）海南省）如图，在 Rt ABC 中，C90 ，AB5，BC4点 P 是边 AC 上一动点，过 点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（ ） A. B C D 【例题【例题 2】 （2019四川省凉山州）四川省凉山州）在 ABCD 中，E 是 AD 上一点，且点 E 将 AD 分为 2：3 的两部分，连接 BE、AC 相交于 F，则 S AEF：S CBF是
4、【例题【例题 3】 （2019湖北省荆门市）湖北省荆门市） 如图， 为了测量一栋楼的高度 OE， 小明同学先在操场上 A 处放一面镜子， 向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中 看到楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上） ，测得 AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙 度 BF，DG 为 1.6m，试确定楼的高度 OE 【例题【例题 4】 （】 （2019 年广西梧州市）年广西梧州市）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，AF 平分DAC，分别交 DC， BC 的延长线于点 E，F；连接 DF，过点 A
5、 作 AHDF，分别交 BD，BF 于点 G，H （1）求 DE 的长； （2）求证：1DFC 3 【例题【例题 5】 （】 （2019 年湖南省张家界市）年湖南省张家界市）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BEAB，连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G （1）求证：BFCF； （2）若 BC6，DG4，求 FG 的长 一、选择题一、选择题 1.（2019 年广西玉林市）年广西玉林市）如图，ABEFDC，ADBC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（ ） A3 对 B5 对 C6 对 D8 对 2.（2019 年内蒙古赤峰市）年
6、内蒙古赤峰市）如图，D、E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，ADEACB，若 AD2，AB 6，AC4，则 AE 的长是（ ） A1 B2 C3 D4 3.（2019 广西贺州）广西贺州）如图，在 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DEBC，若 AD2，AB3，DE4，则 BC 等于（ ） 专题典型训练题 专题典型训练题 4 A5 B6 C7 D8 4.（2019广西贵港）广西贵港）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DEBC，ACDB，若 AD 2BD，BC6，则线段 CD 的长为（ ） A2 B3 C2 D5 5.（2019 黑龙江哈尔滨）黑龙江
7、哈尔滨）如图，在ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EMAD，交 AB 于点 M，ENAB， 交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 6. （2019江苏苏州）江苏苏州）如图，在ABCV中，点D为BC边上的一点，且2ADAB，ADAB，过点D作 DEAD，DE交AC于点E，若1DE ，则ABCV的面积为（ ） A4 2 B4 C2 5 D8 7.（2019 山东枣庄）山东枣庄）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知ABC 的面积 E D A B C 5 为 16，阴影部分三角形的面积 9若 AA1，则 AD 等于（ ） A2 B3 C
8、4 D 8.（2019 四川巴中）四川巴中）如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于点 G，则 SDEG：SCFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 9.（2019 年四川省遂宁市）年四川省遂宁市）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，BPC 是等边三角形，连接 DP 并 延长交 CB 的延长线于点 H，连接 BD 交 PC 于点 Q，下列结论： BPD135；BDPHDB；DQ：BQ1：2；SBDP 其中正确的有（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 10.（2019浙江宁波浙江宁波）如图所示，Rt AB
9、C 中，C90 ，AC12，点 D 在边 BC 上，CD5，BD13点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的P 与 ABC 的一边相切时，AP 的长为 6 11. 2019 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片 ABC，ACB90 ，AB10，AC6，点 D 为 BC 边 上的任一点，沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当BDE 是直角三角形时， 则 CD 的长为_ 12 （ （2019山东泰安山东泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点，将 AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好
10、落到 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 13.（2019 江苏常州）江苏常州）如图，在矩形 ABCD 中，AD3AB310点 P 是 AD 的中点，点 E 在 BC 上，CE 2BE，点 M、N 在线段 BD 上若PMN 是等腰三角形且底角与DEC 相等，则 MN_ 14.（2019山东省滨州市）山东省滨州市）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且ABC60，AB2BC，连接 OE下列结论：EOAC；SAOD4SOCF；AC：BD ：7；FB2OFDF其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 15.（2019
11、 四川泸州）四川泸州）如图，在等腰 RtABC 中，C90，AC15，点 E 在边 CB 上，CE2EB，点 D 在边 AB 上，CDAE，垂足为 F，则 AD 的长为 三、解答题三、解答题 P E D C B A 7 16. （2019四川省凉山州）四川省凉山州） 如图， ABDBCD90 ， DB 平分ADC， 过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M 连 接 CM 交 DB 于 N （1）求证：BD2ADCD； （2）若 CD6，AD8，求 MN 的长 17 （ （2019山东泰安山东泰安）在矩形 ABCD 中，AEBD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点 （1）若 BP 平分ABD，
12、交 AE 于点 G，PFBD 于点 F，如图，证明四边形 AGFP 是菱形； （2）若 PEEC，如图，求证：AEABDEAP； （3）在（2）的条件下，若 AB1，BC2，求 AP 的长 18 (2019 安徽安徽)如图， Rt ABC 中， ACB90 ， ACBC， P 为 ABC 内部一点， 且APBBPC135 （1）求证： PABPBC； （2）求证：PA2PC； （3）若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3，求证 h12h2h3 19.（2019 年湖南省株洲市）年湖南省株洲市）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交 8 点，连接 CE、DG （1）求证：DOGCOE； （2）若 DGBD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M，AM，求正方形 OEFG 的边长
