1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 24 24 新定义型创新题微训练新定义型创新题微训练 ( (共共 2727 道题道题) ) 1.1.（20202020 湖北恩施州）湖北恩施州）在实数范围内定义运算“” ：1abab ，例如：2323 14 如 果21x ，则x的值是（ ） A. 1 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的 运算规则求解即可 根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解 由题意知
2、：221 1 xxx， 又21x ， 11x， 0 x 2 2. .（20202020 湖北咸宁）湖北咸宁）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”下列函数的图象 中不存在 “好点”的是（ ） A. y x B. 2yx C. 2 y x D. 2 2yxx 【答案】B 【解析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线 y=x 上的点，再各函数中令 y=x，对应方程无解即不 存在“好点”. 根据“好点”的定义，好点即为直线 y=x 上的点，令各函数中 y=x， A.x=-x，解得：x=0，即“好点”（0，0） ，故选项不符合； B.2xx，无解，即该函数图像中不存在“好点”
3、，故选项符合； C. 2 x x ， 解得： 2x ， 经检验 2x 是原方程解， 即“好点”为 （ 2，2） 和 （-2， -2） ， 故选项不符合； D. 2 2xxx ，解得：x=0 或 3，即“好点”为（0，0）和（3，3） ，故选项不符合. 3 3. .（20202020 河南）河南）定义运算： 2 1mnmnmn 例如 2 :424 24 2 17 则方程10 x 的 根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案 根据定义得： 2 110
4、,xxx 1,1,1,abc 2 2 414 115bac 0, 原方程有两个不相等的实数根. 4 4. .（20202020 湖北荆州）湖北荆州）定义新运算a b，对于任意实数 a，b 满足1a babab ，其中等式右边 是通常的加法、减法、乘法运算，例如4 3(43)(43) 17 16 ，若x kx （k 为实数） 是关 于 x 的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】将x k按照题中的新运算方法展开，可得1x kxkxk， 所以x kx 可得1xkxkx ， 化简得： 22 10 x
5、xk ， 2 22 14 1145kk ， 可得，即可得出答案. 根据新运算法则可得： 22 11x kxkxkxk ， 则x kx 即为 22 1xkx ， 整理得： 22 10 xxk ， 则 2 1,1,1abck ， 可得： 2 22 14 1145kk 2 0k Q， 2 455k； 0 ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能 出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 5 （20202020广元）广元）规定：sin（x）sinx，cos（
6、x）cosx，cos（x+y）cosxcosysinxsiny，给 出以下四个结论： （1）sin（30）= 1 2； （2）cos2xcos 2xsin2x； （3）cos（xy）cosxcosy+sinxsiny； （4）cos15= 62 4 其中正确的结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论 （1）(30) = 30= 1 2，故此结论正确； （2）cos2xcos（x+x）cosxcosxsinxsinxcos 2xsin2x，故此结论正确； （3）cos（xy）cosx+（y）cosxcos（y
7、）sinxsin（y）cosxcosy+sinxsiny，故此结论 正确； （4）cos15cos（4530）cos45cos30+sin45sin30= 2 2 3 2 + 2 2 1 2 = 6 4 + 2 4 = 6+2 4 ，故此结论错误 所以正确的结论有 3 个. 6 （20212021 广东深圳广东深圳模拟）模拟）定义新运算：ab= 1() (0) aab a abb b 且 ，则函数y=3x的图象大致是( ) A B C D 【答案】B 【解析】由题意得 y3x 2(x3) 3 (x3x0) x 且 当 x3 时，y2； 当 x3 且 x0 时，y 3 x , 图象如图： 7 （
8、20212021 浙江台州浙江台州模拟）模拟）定义一种新运算：ab () 3 () ab a b b ab ，则 2343 的值_ 【答案】8 【解析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混合运算 顺序和运算法则 2343 33（43） 91 8 8 （20212021 湖北随州模拟）湖北随州模拟）对于x y， 定义一种新运算“”，xyaxby，其中ab，是常数，等式右 边是通常的加法和乘法运算已知3515，4728，则1 1的值为_ 【答案】-11 【解析】根据题中的新定义得： 3515 4728 ab ab ， 解得： 35 24 a b ， 所以1
9、 1 1 ( 35) 1 2411 ； 9 （2022021 1 山东乐陵山东乐陵模拟）模拟）对于X、Y定义一种新运算“*”：X YaXbY，其中a、b为常数，等式 右边是通常的加法和乘法的运算已知：1 1 10 ，2 1 16 ，那么2 3 _ 【答案】24 【解析】根据题中的新定义得： 10 216 ab ab ， 得：6a ， 解得：6a， 把6a代入得：4b ，则方程组的解为 6 4 a b 2 36 2( 4) 324 10.10.（20202020衢州）衢州）定义aba（b+1） ，例如 232（3+1）248则（x1）x的结果 为 【答案】x 21 【解析】根据规定的运算，直接代
10、值后再根据平方差公式计算即可 根据题意得： （x1）x（x1） （x+1）x 21 1111 （ （20212021 上海模拟）上海模拟）如果a，b，c是整数，且a cb，那么我们规定一种记号（a，b）c，例如 329， 那么记作（3，9）2，根据以上规定，求(2， 1 32) = 【答案】-5 【解析】3 29，记作（3，9）2， （2）5= 1 32， （2， 1 32）5 12.12.（20192019遂宁）遂宁）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 i 2 =-1,这个数 i 叫做虚数单位，把 形如 a+bi(a,b 为实数）的数叫做复数，其中 a 叫这个复数的实部，b 叫这
11、个复数的虚部，它的加、减、乘 法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算：(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i; (2-i)(3+i)=6-3i+2i-i 2=6-i-(-1)=7-i; (4+i)(4-i)=16-i 2=16-(-1)=17; (2+i) 2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i 根据以上信息，完成下面计算： （1+2i)(2-i)+(2-i) 2= 【答案】7-i 【解析】由题意知（1+2i)(2-i)+(2-i) 2= 2+4i-i-2i2+4-4i+i2=6-i-i2=6-i+1=7-i. 1313 （20192019德州）德州）已知：x表
12、示不超过x的最大整数例：4.84，0.81现定义：xx x，例：1.51.51.50.5，则3.9+1.81 【答案】0.7 【解析】根据题意可得：3.9+1.813.931.8+21+10.7，故答案为：0.7 1414 （ （20202020临沂）临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理， 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到 曲线的距离依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心
13、，以 1 为半径的圆的距 离为 5 1 【答案】5 1 【分析】连接AO交O于B，则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以 1 为半径的圆的距离， 根据勾股定理即可得到结论 【解析】连接AO交O于B， 则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以 1 为半径的圆的距离， 点A（2，1） ， OA= 22+ 12= 5， OB1， AB= 5 1， 即点A（2，1）到以原点为圆心，以 1 为半径的圆的距离为5 1， 故答案为：5 1 1 15 5. .（20202020 湖北荆州）湖北荆州）我们约定：, ,a b c为函数 2 yaxbxc的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、
14、 纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为,2,2mm的函数图象与 x 轴有两个整交点（m 为正整数） ，则这个函数图象上整交点的坐标为_ 【答案】1,0或2,0或0,2 【解析】将关联数为,2,2mm代入函数 2 yaxbxc得到： 2 (2)2ymxmx ，由题意将 y=0 和 x=0 代入即可 解：将关联数为,2,2mm代入函数 2 yaxbxc得到： 2 (2)2ymxmx ， 关联数为,2,2mm的函数图象与 x 轴有两个整交点（m 为正整数） ， y=0，即 2 (2)20mxmx ， 因式分解得(2)(1)0mxx， 又关联数为,2,2mm的函数图象与 x 轴有两个整交点
15、， 即 2 40bac m=1， 2 32yxx， 与 x 轴交点即 y=0 解得 x=1 或 x=2， 即坐标为1,0或2,0， 与 y 轴交点即 x=0 解得 y=2， 即坐标为0,2， 这个函数图象上整交点的坐标为1,0或2,0或0,2； 故答案为：1,0或2,0或0,2 【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴 交点的求解办法，难度一般，计算较多 16. （20202020 湖北十堰）湖北十堰） 对于实数 ,m n， 定义运算 2 *(2)2m nmn 若2* 4*( 3 )a ， 则a_ 【答案】13 【解析】根据给出的新定义分别求
16、出2*a与4*( 3)的值，根据2*4*( 3)a 得出关于a的一元一次方 程，求解即可 2 *(2)2m nmn， 2 2222162aaa， 2 43422342 ， 2*4*( 3)a ， 16 242a，解得13a 17 （2022021 1 河北石家庄河北石家庄模拟）模拟）定义新运算：对于任意实数，a、b，都有1aba ab，等式右边是 通常的加法、减法及乘法运算，比如：252 2 512316 15 （1）求46x ，求x的值； （2）若3a的值小于 10，请判断方程： 2 20 xbxa的根的情况 【答案】 （1）1 或-5； （2）有两个不相等的实数根 【解析】本题是对定义新运
17、算的考查，准确根据题意列出算式和掌握一元二次方程的解法及根的判别式是 解决本题的关键. （1）x（4）6 416 x x 2 450 xx 12 1,5xx ； x 的值为 1 或-5. （2）3a10， 3（3a）+110 103a10 a0， 2 20 xbxa 22 =()880baba， 所以该方程有两个不相等的实数根. 18.（20202020 贵州黔西南）贵州黔西南）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度（0180） 后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角例 如：正方形绕着两条对角线的交点 O 旋转 90或 180后，能
18、与自身重合（如图 1） ，所以正方形是旋转对 称图形，且有两个旋转角根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是_； A矩形 B正五边形 C菱形 D正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有：_（填序号） ； （3）下列三个命题：中心对称图形是旋转对称图形；等腰三角形是旋转对称图形；圆是旋转对称图 形，其中真命题的个数有（ ）个； A0 B1 C2 D3 （4）如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 45，90，135，180，将图形补 充完整 【答案】 （1）B； （2）(1)(3)(5)； （3）C； （
19、4）见解析 【解析】 （1）根据旋转对称图形的定义进行判断； （2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断； （3）根据旋转对称图形的定义进行判断； （4）利用旋转对称图形的定义进行设计 解： （1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形， 故选：B （2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有(1)(3)(5) 故答案为：(1)(3)(5) （3）中心对称图形，旋转 180一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题正确； 等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度（0180）后，不一定能与自身重合，只有等边三角 形是旋转对称图形，故不正确； 圆具有旋转
20、不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题正确； 即命题中正确， 故选：C （4）图形如图所示： 【点拨】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决 问题 19. （20202020 湖北咸宁）湖北咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形 理解： （1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为_； 证明： （2）如图 1，MN是O的直径，点, ,A B C在O上，AM，CN相交于点D 求证：四边形ABCD是对余四边形； 探究： （3）如图 2，在对余四边形ABCD中，ABBC，60ABC ，探究线段AD，CD和
21、BD之间有怎 样的数量关系？写出猜想，并说明理由 【答案】 （1）90或 270； （2）见解析； （3） 222 CDADBD，理由见解析 【解析】 （1）分当A 和C 互余时，当B 和D 互余时，两种情况求解； （2）连接 BO，得到BON+BOM=180，再利用圆周角定理证明C+A=90即可； （3）作ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF，先证明 GF 是圆 O 的直径，得到 222 GEEFGF，再证明ABCFEC，ACDGCE，BCDGCF，可得 22222222 AB CFAD GCAC EFAC GE， BCBDCD
22、k GCGFCF ，从而得出 222222 AB CDAD BCAC BD，根据ABC 为等边三角形可得 AB=AC=BC，从而得到 222 CDADBD. 解： （1）四边形ABCD是对余四边形， 当A 和C 互余时， A+C=90， 当B 与D 互余时， B+D=90， 则A+C=360-90=270， 故答案为：90或 270； （2）如图，连接 BO， 可得：BON=2C，BOM=2A， 而BON+BOM=180， 2C+2A=180， C+A=90， 四边形ABCD是对余四边形； （3）四边形 ABCD 为对于四边形，ABC=60， ADC=30， 如图，作ABD 的外接圆 O，分别
23、延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF， 则AEF=ABC=60，AEG=ADG=30， AEF+AEG=90，即FEG=90， GF 是圆 O 的直径， AB=BC， ABC 为等边三角形， ABC=AEF，ACB=ECF， ABCFEC，得： ABACBC EFFCEC ，则 2222 AB CFAC EF， 同理，ACDGCE，得： ACADCD GCGECE ，则 2222 AC GEAD GC， BCDGCF，得： BCBDCD k GCGFCF ， 可得： 22222222 AB CFAD GCAC EFAC GE， 而 222 GEEFGF， 2
24、22222 AB CFAD GCAC GF， 222 222 222 CDBCBD ABADAC kkk ， 222222 AB CDAD BCAC BD， AB=BC=AC， 222 CDADBD. 20. （20202020 北京）北京）在平面直角坐标系xOy中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB=1给出如下定义： 平移线段 AB，得到O 的弦A B （,A B 分别为点 A，B 的对应点） ，线段 AA 长度的最小值称为线段 AB 到 O 的“平移距离” （1）如图，平移线段 AB 到O 的长度为 1 的弦 12 PP和 34 P P，则这两条弦的位置关系是 ；在点 1234
25、,P P P P中，连接点 A 与点 的线段的长度等于线段 AB 到O 的“平移距离” ； （2）若点 A，B 都在直线32 3yx上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 1 d，求 1 d的最小值； （3）若点 A 的坐标为 3 2, 2 ，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 2 d，直接写出 2 d的取值范围 【答案】 （1）平行，P3； （2） 3 2 ； （3） 2 339 22 d 【解析】 （1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可； （2）过点 O 作 OEAB 于点 E，交弦 CD 于点 F，分别求出 OE、OF 的长，由 1 dOEOF得到 1 d的最小值； （3）线
26、段 AB 的位置变换，可以看作是以点 A 3 2, 2 为圆心，半径为 1 的圆，只需在O 内找到与之平行， 且长度为 1 的弦即可平移距离 2 d的最大值即点 A，B 点的位置，由此得出 2 d的取值范围 解： （1）平行；P3； （2）如图，线段 AB 在直线32 3yx上，平移之后与圆相交，得到的弦为 CD，CDAB，过点 O 作 OE AB 于点 E，交弦 CD 于点 F，OFCD，令0y ，直线与 x 轴交点为（-2，0） ，直线与 x 轴夹角为 60， 2sin603OE 由垂径定理得： 2 2 13 22 OFOCCD ， 1 3 2 dOEOF； （3）线段 AB 的位置变换，
27、可以看作是以点 A 3 2, 2 为圆心，半径为 1 的圆，只需在O 内找到与之平行， 且长度为 1 的弦即可； 点 A 到 O 的距离为 2 2 35 2 22 AO 如图，平移距离 2 d的最小值即点 A 到O 的最小值： 53 1 22 ； 平移距离 2 d的最大值线段是下图AB的情况， 即当A1,A2关于OA对称， 且A1B2A1A2且A1B2=1时.B2A2A1=60， 则OA2A1=30, OA2=1,OM= 1 2 , A2M= 3 2 , MA=3,AA2= 2 2 339 3 22 , 2 d的取值范围为： 2 339 22 d 【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合
28、运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、 直线与圆的位置关系是解题的关键 2 21 1 （20212021 苏州模拟）苏州模拟）已知二次函数yax 2+bx+c（a0） （1）若a1，b2，c1 求该二次函数图象的顶点坐标； 定义： 对于二次函数ypx 2+qx+r （p0） ， 满足方程yx的x的值叫做该二次函数的“不动点” 求证： 二次函数yax 2+bx+c 有两个不同的“不动点” （2）设b= 1 2c 3，如图所示，在平面直角坐标系 Oxy中，二次函数yax 2+bx+c 的图象与x轴分别相交于不 同的两点A（x1，0） ，B（x2，0） ，其中x10，x20，与y轴相交于点C
29、，连结BC，点D在y轴的正半轴上， 且OCOD， 又点E的坐标为 （1， 0） ， 过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F， 满足AFCABCFA 的延长线与BC的延长线相交于点P，若 = 5 52+1，求二次函数的表达式 【解析】 （1）a1，b2，c1，yx 22x1（x1）22 该二次函数图象的顶点坐标为（1，2） 证明：当yx时，x 22x1x，整理得：x23x10 （3） 241（1）130 方程x 23x10 有两个不相等的实数根 即二次函数yx 22x1 有两个不同的“不动点” （2）把b= 1 2c 3代入二次函数得：yax2+1 2c 3x+c 二次函数与x轴交于点A（
30、x1，0） ，B（x2，0） （x10，x20） 即x1、x2为方程ax 2+1 2c 3x+c0 的两个不相等实数根 x1+x2= 1 23 = 3 2，x1x2 = 当x0 时，yax 2+1 2c 3x+cc C（0，c） E（1，0） CE= 1 + 2，AE1x1，BEx21 DFy轴，OCOD DFx轴 = = 1 EFCE= 1 + 2，CF21 + 2 AFCABC，AEFCEB AEFCEB = ，即 AEBECEEF （1x1） （x21）1+c 2 展开得：1+c 2x 21x1x2+x1 1+c 2= 3 2 1 c 3+2ac2+2c+4a0 c 2（c+2a）+2（
31、c+2a）0 （c 2+2） （c+2a）0 c 2+20，c+2a0，即 c2a x1+x2= 83 2 =4a 2，x 1x2= 2 = 2，CF21 + 2=21 + 42 （x1x2） 2（x 1+x2） 24x 1x216a 4+8 ABx2x1= 164+ 8 = 244+ 2 AFCABC，PP PFCPBA = = 5 52+1 21+4 2 244+2 = 5 52+1 解得：a11，a21（舍去） c2a2，b= 1 2c 34 二次函数的表达式为yx 24x2 22.（20202020 年浙江宁波）年浙江宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交
32、所成的锐角 称为该三角形第三个内角的遥望角 （1）如图 1，E 是ABC 中A 的遥望角，若A，请用含 的代数式表示E （2）如图 2，四边形 ABCD 内接于O，ADBD，四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连结 BF 并延长 交 CD 的延长线于点 E求证：BEC 是ABC 中BA C 的遥 望角 （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径 求AED 的度数； 若 AB8，CD5，求DEF 的面积 【答案】 （1）E 1 2 ； （2）见解析； （3）AED45； 25 9 【解析】 （1）由角平分线的定义可得出结论； （2）由圆内接四边形
33、的性质得出FDC+FBC=180，得出FDE=FBC，证得ABF=FBC，证出 ACD=DCT，则 CE 是ABC 的外角平分线，可得出结论； （3） 连接 CF， 由条件得出BFC=BAC， 则BFC=2BEC， 得出BEC=FAD， 证明FDEFDA （AAS） ， 由全等三角形的性质得出 DE=DA，则AED=DAE，得出ADC=90，则可求出答案； 过点 A 作 AGBE 于点 G， 过点 F 作 FMCE 于点 M， 证得EGAADC， 得出 AEAG ACCD ， 求出 4 5 AD AC =， 设 AD=4x，AC=5x，则有（4x） 2+52=（5x）2，解得 x=5 3 ，求
34、出 ED，CE 的长，求出 DM，由等腰直角三角形的 性质求出 FM，根据三角形的面积公式可得出答案 解： （1）BE 平分ABC，CE 平分ACD， EECDEBD 1 2 （ACDABC） 11 A 22 ， （2）如图 1，延长 BC 到点 T， 四边形 FBCD 内接于O， FDC+FBC180， 又FDE+FDC180， FDEFBC， DF 平分ADE， ADFFDE， ADFABF， ABFFBC， BE 是ABC 的平分线， AD BD ， ACDBFD， BFD+BCD180，DCT+BCD180， DCTBFD， ACDDCT， CE 是 ABC 的外角平分线， BEC 是
35、ABC 中BAC 的 遥望角 （3）如图 2，连接 CF， BEC 是ABC 中BAC 的遥望角， BAC2BEC， BFCBAC， BFC2BEC， BFCBEC+FCE， BECFCE， FCEFAD， BECFAD， 又FDEFDA，FDFD， FDEFDA（AAS） ， D EDA，来源:学。科。网 Z。X。X。K AE DDAE， AC 是O 的直径， ADC90， AED+DAE90，来源:Zxxk.Com AEDDAE45， 如图 3，过点 A 作 AGBE 于点 G，过点 F 作 FMCE 于点 M，来源:Z#xx#k.Com AC 是O 的直径， ABC90， BE 平分AB
36、C， FA CEBC 1 2 ABC45，来源:Z|xx|k.Com AED45， AEDFAC， FEDFAD， AEDFEDFACFAD， AEGCAD， EGAADC90， EGAADC， AEAG ACCD ， 在 RtABG 中，AG 2 AB4 2 2 ， RtADE 中，AE 2AD， 4 5 AD AC =， 在 RtADC 中，AD 2+DC2AC2， 设 AD4x，AC5x，则有（4x） 2+52（5x）2， x 5 3 ，来源:学_科_网 EDAD 20 3 ， CECD+DE 35 3 ， BECFCE， FCFE， FMCE， EM 1 2 CE 35 6 ， DMD
37、EEM 5 6 ， FDM45， FMDM 5 6 ， SDEF 1 2 DEFM 25 9 【点睛】本题是圆的综 合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的 判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟 练掌握相似三角形 的判定与性质是解题的关键 2323 （ （20212021 河北模拟）河北模拟）阅读下列材料： 让我们来规定一种运算：| | =adbc 例如：|1 2 45| =1524583，再如： | 2 13| = 3 2按照这种运算的规定：请解答下列各个 问题： |4 3 12| = ； （只填最后结果） 当x 时，|
38、 1 12 | =0； （只填最后结果） 将下面式子进行因式分解：| 2 2 1 3 32 2 + 2 |（写出解题过程） 【答案】见解析。 【解析】由本题运算规则，得原式（4）2（1）35； 由题意得，2x（1x）10，解得：x= 1 3； 由本题运算规则，得原式（x 22x） （x22x+2）1 3 （3） （x 22x）2+2（x22x）+1+ （x 22x+1）2 （x1） 4 故答案为：5，1 3 24 （20192019长沙）长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相 似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比 （1） 某同学在探究相似四边形的判
39、定时， 得到如下三个命题， 请判断它们是否正确 （直接在横线上填写 “真” 或“假” ） 条边成比例的两个凸四边形相似； （命题） 三个角分别相等的两个凸四边形相似； （命题） 两个大小不同的正方形相似 （命题） （2）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1中，ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1 111111 ABBCCD A BB CC D ，求证：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似 （3）如图 2，四边形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EFAB 分别交 AD，BC 于点 E，F记 四边形 ABFE 的面积为 S1
40、，四边形 EFDE 的面积为 S2，若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，求 2 1 S S 的值 【答案】见解析。 【解析】 （1）解：(1)四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；三个角分别相等 的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；两个大小不同的正方形相似是真命题故答案为 假，假，真 (2)如图，分别连接 BD、B1D1， BCD=B1C1D1， 1111 DC CD CB BC ，BCDB1C1D1， CBD=C1B1D1，CDB=C1D1B1， 1111 DB BD CB BC ， 又ABC=A1B1C1， 1111 CB BC BA AB ABD=A
41、1B1D1， 1111 DB BD BA AB ， 1111 DA AD BA AB ， ADB=A1D1B1，DAB=D1A1B1， 11111111 DA AD DC CD CB BC BA AB ， ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1，ADC=A1D1C1，DAB=D1A1B1， 四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似 (3)四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似， AB EF AE DE ， EF=OEOF， AB OFOE AE DE ， EFABCD， AB OE AD DE ， AB OF AB OC AD DE ， AB OF AB OE AD DE AD
42、 DE ， AE DF AD DE 2 ， AD =DE AE， AEAEDE 12 ， 2AE=DEAE，即 AE=DE，1 2 1 S S 2 25 5 （ （20212021 桂林模拟桂林模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） ，且 x1 x2，y1y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图为点 P，Q 的“相关矩形”示意图 （1）已知点 A 的坐标为（1，0） ， 若点 B 的坐标为（3，1） ，求点 A，B 的“相关矩形”的面积； 点 C 在直线 x
43、=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2）O 的半径为，点 M 的坐标为（m，3） ，若在O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正 方形，求 m 的取值范围 【答案】见解析。 【分析】 （1）由相关矩形的定义可知：要求 A 与 B 的相关矩形面积，则 AB 必为对角线，利用 A、B 两点 的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积； 由定义可知，AC 必为正方形的对角线，所以 AC 与 x 轴的夹角必为 45，设直线 AC 的解析式为；y=kx+b， 由此可知 k=1，再（1，0）代入 y=kx+b，即可求出 b 的值； （2
44、） 由定义可知， MN 必为相关矩形的对角线， 若该相关矩形的为正方形， 即直线 MN 与 x 轴的夹角为 45， 由因为点 N 在圆 O 上，所以该直线 MN 与圆 O 一定要有交点，由此可以求出 m 的范围 【解答】解： （1）A（1，0） ，B（3，1） 由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， 点 A，B 的“相关矩形”的面积为 21=2； 由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线， 又点 A，C 的“相关矩形”为正方形 直线 AC 与 x 轴的夹角为 45， 设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=x+n 把（1，0）分别 y=x+m， m
45、=1， 直线 AC 的解析为：y=x1， 把（1，0）代入 y=x+n， n=1， y=x+1， 综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x1 或 y=x+1； （2）设直线 MN 的解析式为 y=kx+b， 点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45， k=1， 点 N 在O 上， 当直线 MN 与O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 当 k=1 时， 作O 的切线 AD 和 BC，且与直线 MN 平行， 其中 A、C 为O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B
46、， 连接 OA，OC， 把 M（m，3）代入 y=x+b， b=3m， 直线 MN 的解析式为：y=x+3m ADO=45，OAD=90， OD=OA=2， D（0，2） 同理可得：B（0，2） ， 令 x=0 代入 y=x+3m， y=3m， 23m2， 1m5， 当 k=1 时，把 M（m，3）代入 y=x+b， b=3+m， 直线 MN 的解析式为：y=x+3+m， 同理可得：23+m2， 5m1； 综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：1m5 或5m1 【点评】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解 相关矩形的
47、定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来 2 26 6（20212021 广东模拟广东模拟） 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积， 我们把这个三角形叫做比例三角形 （1）已知ABC 是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的 AC 的长； （2）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分ABC，BAC=ADC求证：ABC 是比例三角 形 （3）如图 2，在（2）的条件下，当ADC=90时，求的值 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据比例三角形的定义分 AB 2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC 三种情况分别代入计算可得； （2）先证ABCDCA 得 CA 2=BCAD，再由ADB=CBD=ABD 知 AB
