1、四边形综合练习题四边形综合练习题 1 如图，矩形 ABCD 中，AB8，AD3点 E 从 D 向 C 以每秒 1 个单位的速度运动，以 AE 为一边在 AE 的右下方作正方形 AEFG同时垂直于 CD 的直线 MN 也从 C 向 D 以每秒 2 个单位的速度运动，当经过 多少秒时直线 MN 和正方形 AEFG 开始有公共点？( ) A B C D 【解答】A 【解析】过点 F 作 FQCD 于点 Q， 在正方形 AEFG 中，AEF90，AEEF， 1+290， DAE+190， DAE2， 在ADE 和EQF 中， ， ADEEQF(AAS)， ADEQ3， 当直线 MN 和正方形 AEFG
2、 开始有公共点时：DQ+CM8， t+3+2t8， 解得：t， 故当经过秒时直线 MN 和正方形 AEFG 开始有公共点 故选：A 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB，AD3，点 E 从点 B 出发，沿 BC 边运动到点 C，连结 DE，点 E 作 DE 的垂线交 AB 于点 F在点 E 的运动过程中，以 EF 为边，在 EF 上方作等边EFG，则边 EG 的中点 H 所经过的路径长是( ) A B C D 【解答】C 【解析】如图，连接 FH，取 EF 的中点 M，连接 BM，HM， 在等边三角形 EFG 中，EFFG，H 是 EG 的中点， FHE90，EFHEFG30， 又M 是 EF
3、 的中点， FMHMEM， 在 RtFBE 中，FBE90，M 是 EF 的中点， BMEMFM， BMEMHMFM， 点 B，E，H，F 四点共圆， 连接 BH，则HBEEFH30， 点 H 在以点 B 为端点，BC 上方且与射线 BC 夹角为 30的射线上， 如图，过 C 作 CHBH 于点 H， 点 E 从点 B 出发，沿 BC 边运动到点 C， 点 H 从点 B 沿 BH 运动到点 H， 在 RtBHC 中，BHC90， BHBCcosCBH， 点 H 所经过的路径长是 故选：C 3 如图，正方形 ABCD 中，AD6，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EFED
4、，交 AB 于 点 F，连接 DF，交 AC 于点 G，将EFG 沿 EF 翻折，得到EFM，连接 DM，交 EF 于点 N，若点 F 是 AB 边的中点，则EDM 的面积是 【解答】 【解析】如图 1，过 E 作 PQDC，交 DC 于 P，交 AB 于 Q，连接 BE， DCAB， PQAB， 四边形 ABCD 是正方形， ACD45， PEC 是等腰直角三角形， PEPC， 设 PCx，则 PEx，PD6x，EQ6x， PDEQ， DPEEQF90，PEDEFQ， DPEEQF(AAS)， DEEF， DEEF， DEF 是等腰直角三角形， DCBC，DCEBCE45，CECE， DEC
5、BEC(SAS)， DEBE， EFBE， EQFB， FQBQBF， ABAD6，F 是 AB 的中点， BF3， FQBQPE， CE，PD， ， EFDE， 如图 2，过点 F 作 FHAC 于点 H， ADCD6， AC6， DCAB， DGCFGA， ， CG2AG， AG， GEACAGCE， FAC45，HFAC， FACAFH45， AHHF，且 AF3， AHHF， HG， ， SEFGGEFH SEFG， 将EFG 沿 EF 翻折，得到EFM， SEFM，FMGF，DFEEFM45， DFM90， ， SDFM， EDM 的面积S四边形DFMESDFMSDEF+SEFMSD
6、FM， EDM 的面积. 4 如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，过点 E 作 EFAB 交对角线 BD 于点 F连接 EC 交 BD 于点 G取 DF 的中点 H，并连接 AH若 AH，EG，则四边形 AEFH 的面积为 【解答】S四边形AEFH 【解析】如图，连接 HE，HC，作 HMAB 于 M ，延长 MH 交 CD 于 N 四边形 ABCD 是正方形， DADC，ADHCDH45， DHDH， ADHCDH(SAS)， AHCH， EFAB，HMAB，DAAB EFHMAD， HFHD， AMEM， HAHEHC， AMNADN90， 四边形 AMND 是矩形， AM
7、DN， DNHN，AMEM， EMHN， RtHMERtCNH(HL)， MHEHCN， HCN+CHN90， MHE+CHN90， EHC90， ECHE2， EG， GC2， EFBC， ，设 EFBE4a，则 BCAB10a，AE6a，AMME3a， EFHM， ， ， HM7a， S四边形AEFHSAMH+S梯形EFHM3a7a+(4a+7a)3a27a2， 在 RtBEC 中，BE2+BC2EC2， 16a2+100a24， a2， S四边形AEFH 5 如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别在 AB、 AD 上(AEBE)， DECF 于 G，M 在 CG 上， 且 MGDG，
8、连 BM，N 是 BM 的中点，连结 CN，若 CN8，EG13，则 CF 【解答】FC17 【解析】如图，过点 B 作 BHFC，连接 GN 并延长交 BH 于点 H，连接 CH， BHFC， BHNMGN，HBCGCB， N 是 BM 的中点， BNMN， BHNMGN，BNMN，BNHGNM， BHNMGN(AAS) BHGM，HNGN， DGGM， BHGD， 四边形 ABCD 是正方形， BCCD，BCD90， DCG+BCG90， DECF， DCG+CDG90， BCGCDGHBC，且 BCCD，DGBH， DGCBHC(SAS) CHCG，BCHDCG， BCH+BCGDCG+
9、BCG90， GCH90，且 CGCH，HNNG， CNNHNG，CNHF， ， AFGD90， AED+ADE90，ADE+DFG90， DFGAED，且 ADCD，AADC90， ADEDCF(AAS) CFDE，ADEDCF， ADEDCF，DGFDGC， DGFCGD， ， DG2FGGC (DEEG)2(FCEG)2(16+FG13)216FG FG9(不合题意舍去)，FG1， FCFG+GC17， 6 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，E、F 分别是边 CD、AD 上的动点，AE 和 BF 交于点 G (1)如图(1)，若 E 为边 CD 的中点，AF2FD，求 AG 的长；
10、(2)如图(2)，若点 F 在 AD 上从 A 向 D 运动，点 E 在 DC 上从 D 向 C 运动两点同时出发，同时到达各自 终点，求在运动过程中，点 G 运动的路径长； (3)如图(3)，若 E、F 分别是边 CD、AD 上的中点，BD 与 AE 交于点 H，求FBD 的正切值 【解答】(1)AG；(2)点 G 运动的路径长；(3)tanFBD 【解析】(1)如图(1)，延长 BF、CD 交于点 H， E 为边 CD 的中点， DEDC3， 由勾股定理得， 四边形 ABCD 为正方形， ABCD， AFBDFH， 2， AB6， DH3， EH6， ABCD， AGBEGH， 1， AG
11、AE； (2)如图(2)，取 AB 的中点 O，连接 OG， 由题意得，AFDE， 在BAF 和ADE 中， ， BAFADE(SAS) ABFDAE， BAG+DAE90， BAG+ABG90，即AGB90， 点 O 是 AB 的中点， OGAB3， 当点 E 与点 C 重合、点 F 与得 D 重合时，AOG90， 点 G 运动的路径长； (3)如图(3)，作 FQBD 于 Q， 设正方形的边长为 2a， 点 F 是边 AD 上的中点， AFDFa， 四边形 ABCD 为正方形， BDAB2a，ADB45， QFQDa， BQBDDQa， tanFBD 7 如图，在平面直角坐标系 xOy 中
12、，ABOC，A(0，3)，B(a，b)，C(c，0)，且 a，c 满足 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动，点 Q 从点 O 同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 Q 到达点 C 时，点 P 随之停止运动设运动时间 为 t(秒) (1)B，C 两点的坐标为：B ，C ； (2)当 t 为何值时，四边形 PQCB 是平行四边形？ (3)D 为线段 AB 的中点，求当 t 为何值时，ADQ 是等腰三角形？ 【解答】(1)B(10，3)，C(14，0)；(2)t4；(3)或或 2 或 【解析】(1)， ， a10，c14， B(10，3)，C(1
13、4，0) (2)由题意：BP10t，CQ142t， 当 BPCQ 时，四边形 PQCB 是平行四边形， 此时 10t142t， 解之得 t4， 当 t4 时，四边形 PQCB 是平行四边形 (3)D 为线段 AB 的中点， AD5， 当 DADQ 时，ADQ 是等腰三角形，此时 OQ1 或 9， t或， 当 QAQD 时，ADQ 是等腰三角形， 此时 OQ， t， 当 AQAD 时，ADQ 是等腰三角形 此时 OQ4， t2 综上所述：当 t 为或或 2 或时，ADQ 是等腰三角形 8 问题发现： (1)如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，C90，点 O 为 AB 的中点，点 M 为 AC
14、 上一点，将射线 OM 绕点 O 顺时针旋转 90交 BC 于点 N，则 OM 与 ON 的数量关系为 ； 问题探究： (2)如图 2，在等腰三角形 ABC 中，C120，点 O 为 AB 的中点，点 M 为 AC 上一点，将射线 OM 绕点 O 顺时针旋转 60交 BC 于点 N，则 OM 与 ON 的数量关系是否改变，请说明理由； 问题解决： (3)如图 3，点 O 为正方形 ABCD 对角线的交点，点 P 为 DO 的中点，点 M 为直线 BC 上一点，将射线 OM 绕点 O 顺时针旋转 90交直线 AB 于点 N，若 AB4，当PMN 的面积为时，直接写出线段 BN 的长 【解答】(1
15、)OMON；(2)不变；(3)BN 的值为1 或+2 【解析】(1)如图 1 中，结论：OMON 理由：连接 OC CACB，ACB90，AOOB， COOAOB，OCAB，AB45，BCOACO45 AOCMON90， AOMCON， ACON， AOMCON(ASA)， OMON (2)数量关系不变 理由：如图 2 中，过点 O 作 OKAC 于 K，OJBC 于 J，连接 OC ACB120，OKCOJC90， KOJ60MON， MKONOJ， CACB，OAOB， OC 平分ACB， OKCA，OJCB， OKOJ， OKMOJN90， OKMOJN(AAS)， OMON (3)如图
16、 3 中，过点 P 作 PGAB 于 G，PHBC 于 H 四边形 ABCD 是正方形， ABAD4，BAD90， BDAB4， ODOB2，PDOP， PB3， 四边形 PGBH 是正方形， PGPH3， MONCOB90， MOCNOB， OMON，OCOB， MOCNOB(SAS)， CMBN，设 CMBNm， SPMNSPBM+SBMNSPBN， (4+m)3+m(4+m)m3， 整理得：m2+4m130， 解得 m2 或2(舍弃)， BN2 当点 M 在 CB 的延长线上时，同法可得 BN+2 综上所述，满足条件的 BN 的值为1 或+2 9 在平行四边形 ABCD 中，AF 平分B
17、AD 交 BC 于点 F，BAC90，点 E 是对角线 AC 上的点，连 结 BE (1)如图 1若 ABAE，BF3，求 BE 的长； (2)如图 2，若 ABAE，点 G 是 BE 的中点，FAGBFG，求证：ABFG； (3)如图 3，以点 E 为直角顶点，在 BE 的右下方作等腰直角BEM，若点 E 从点 A 出发，沿 AC 运动到点 C 停止，设在点 E 运动过程中，BM 的中点 N 经过的路径长为 m，AC 的长为 n，请直接写出的值 【解答】(1)BE3；(2)见解析；(3) 【解析】(1)如图 1 中， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAFAFB， AF 平分B
18、AD， DAFBAF， BAFAFB， ABBF3， ABAE，BAE90， BEAB3 (2)证明：连接 EF，过点 G 作 GHEF 交 EF 的延长线于 H设 BGa，FGb ABAE，BAE90，BGGE， AGBE，AGGBGE， ABBGa， BFABa， BF22a2，BGBE2a2， BF2BGBE， ， FBGEBF， GBFFBE， ，BFGBEF， EFGFb， BAFBFA，GAFBFG， AFGBAG45，GAFGEF， AGEAFE90， GFH45， GHEH， GHFHb， EHFH+EFb， ， ABAEGEb， ABGF (3)如图 3 中，在 AC 上取一
19、点 T，使得 ATAB，连接 BT，TM，取 BT 的中点 J，连接 NJ ABT，BEM 都是等腰直角三角形， BTAB，BMBE，ABTEBM45， ，ABETBM， ABETBM， ，AEBBMT， AEB+BET180， BMT+BET180， EBM+ETM180， EBMETB45， ETM135，BTM90， BJJT，BNNM， NJTM，NJTM， BJNBTM90， 点 N 的运动轨迹是线段 JN，JNTMAE， 点 E 从 A 运动到 C 时，AEACn， mn， 10如图，在ABC 中，ABBC15，sinB，动点 P 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 B
20、A 向终点 A 运动，过点 P 作 PDAB，交射线 BC 于点 D，E 为 PD 中点，以 DE 为边作正方形 DEFG，使点 A、F 在 PD 的同侧，设点 P 的运动时间为 t 秒(t0) (1)求点 A 到边 BC 的距离 (2)当点 G 在边 AC 上时，求 t 的值 (3)设正方形 DEFG 与ABC 的重叠部分图形的面积为 S，当点 D 在边 BC 上时，求 S 与 t 之间的函数关系 式 (4)连结 EG，当DEG 一边上的中点在线段 AC 上时，直接写出 t 的值 【解答】(1)AH12；(2)t；(3)见解析；(4)或或 【解析】(1)如图 1，过点 A 作 AHBC 于点
21、 H， 在 RtABH 中，AHB90，AB15， sinB， AH1512 (2)如图 2，在 RtBDP 中，BPD90，BP3t， sinB， cosB， BD5t，PD4t， DEDG2t，CD155t 155t2t， t (3)当 0t时，重叠部分为正方形 DEFG， S(2t)24t2； 当t时，如图 3，重叠部分为五边形 DEFMN， SS正方形DEFGSMGN4t22t(155t)245t2+210t225； 当t3 时，如图 4，重叠部分为梯形 DEMN， S2t(154t+155t)9t2+30t (4)当 DG 的中点 O 在线段 AC 上时，如图 5， ABBC， AC， DGAB， CODA CCOD， DCDO， 155tt， 解得 t； 当 EG 的中点 O 在线段 AC 上时，如图 6，此时 NCNO， 155tt+t， 解得 t； 当 DE 的中点 O 在线段 AC 上时，如图 7，此时 NCNO， 155tt， 解得 t， 综上，t 的值为或或.
