1、专练 01 三角形中的动点问题 1.已知等边 ABC 的边长为 4cm，点 P，Q 分别从 B，C 两点同时出发，其中点 P 沿 BC 向终点 C 运动，速 度为 1cm/s；点 Q 沿 CA，AB 向终点 B 运动，速度为 2cm/s，设它们运动的时间为 x(s) ， (1)如图 1，若 PQAB，则 x 的值为_(s)。 (2)如图 2，若 PQAC，求 x 的值。 (3)如图 3， 当点 Q 在 AB 上运动时， PQ 与 ABC 的高 AD 交于点 0， 0Q 与 OP 是否总是相等？请说明理由。 【答案】 (1) (2)解：依题意得： PC=4-x，CQ=2x， PQAC，C=60
2、， QPC= 30 ， CQ= PC，即 2x= (4-x)， 解得：x= (3)解：OQ=PO，理由如下： 作 QHAD 于 H，如图 3， ABC 为等边三角形，ADBC ， QHO=PDO=90 ，QAH=30 ， BD= BC=2， QH= AQ= (2x-4)=x-2， DP=BP-BD=x-2， QH= DP， 在 OQH 和 OPD 中， ， OQHOPD(AAS)， OQ=OP 2.如图，已知 Rt ABC 中，C=90 ，AC=8cm，BC=6cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动， 同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动， 它们的速度均
3、为 2 cm/s。 以 AQ、 PQ 为边作四边形 AQPD， 连接 DQ，交 AB 于点 E，设运动的时间为 t(单位： s)(0t4)，解答下列问题： (1)用含有 t 的代数式表示 AE=_； (2)如图，当 t 为何值时，四边形 AQPD 为菱形； (3)求运动过程中，四边形 AQPD 的面积的最大值。 【答案】解：(1)在直角三角形 ABC 中，C=90 ，AC=8，BC=6 由勾股定理，BA=10 点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 2 BP=2 AP=AB-BP=10-2t 四边形 AQPD 为平行四边形 AE= AP=5-t (2)解：如图， 当四边
4、形 AQPD 是菱形时，DQAP，则 即 ，解得 t= 当 t= 时，四边形 AQPD 是菱形； (3)解：如解图，作 PMAC 于 M，设平行四边形 AQPD 的面积为 S PM BC， APMABC， 即 PM= (5-t)， S=AQ PM=2t (5-t)= t2+12t= (t- ) 2+15 (0t4)， 2)，连接 BC，以 BC 为边在第四象限内作等边 CBD，直线 DA 交 y 轴于点 E (1)试问 OBC 与 ABD 全等吗？并证明你的结论； (2)随着点 C 位置的变化，AEO 是否会发生变化？若没有变化，求出AEO 的度数；若有变化，请说明 理由 (3)若在 x 轴上
5、有一动点 P，使 PAE 是等腰三角形，请直接写出满足条件的 P 点坐标 【答案】 (1)解： OBCABD 理由：AOB 和 CBD是等边三角形， OBAB，OBAOAB60 ， BCBD，CBD60 ， OBAABCCBDABC，即OBCABD， 在 OBC 和 ABD 中， OBCABD(SAS) (2)解：OBCABD， BADBOC60 ， 又OAB60 ， OAE180 OABBAD60 ，AEO30 随着点 C 位置的变化，AEO 不会发生变化 (3)解：若 P 在 A 点左侧 AE=PE， EOPA， O 为 PA 中点，PEOAEO=30 ， A 的坐标为(2，0)， P 点
6、坐标为(2，0)，AEP=60 ， PEA 为等边三角形，同时 PAPE， 若 P 在 A 点右侧只存在 AE=PA， AEO30 ，OA=2， AE=4=AP， OP=6， P 点坐标为(6，0) 故 P 点坐标为：(2，0)或(6，0) 9.如图，已知 ABC 中，AB=AC=8 厘米，BC=6 厘米，点 D 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 2 厘 米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动当一个点停止运动时，另一 个点也随之停止运动设运动时间为 t (1)当点 P 运动 t 秒时 CP 的长度为_用含 t 的代数式表示)；
7、(2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由； (3)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与 CQP 全 等？ 【答案】(1)BP=2t，则 PC=BC-BP=6-2t； 故答案为：(6-2t)cm (2)解：当 t=1 时，BP=CQ=2 1=2 厘米， AB=8 厘米，点 D 为 AB 的中点， BD=4 厘米 又PC=BC-BP，BC=6 厘米， PC=6-2=4 厘米， PC=BD， 又AB=AC， B=C， 在 BPD 和 CQP 中， ， BPDCQP(SAS
8、)； (3)解：vPvQ ， BPCQ， 又BPDCPQ，B=C， BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm， 点 P，点 Q 运动的时间 (秒)， VQ= (厘米/秒) 10.已知 是边长为 的等边三角形，动点 同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动， 他们的运动时间为 (1)如图1， 若P点由A向B运动， Q点由C向A运动， 他们的速度都是 ， 连接 则 _， _，(用含 t 式子表示)； (2)在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得 为直角三角形？若存在，请求出 的值，若不存在， 请说明理由； (3)如图2， 若P点由A出发， 沿射线 方向运动， Q点由C出发， 沿射线 方向运动， P
9、的速度为 的速度为 是否存在某个 a 的值，使得在运动过程中 恒为以 为底的等腰三角形？如果 存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由 【答案】 (1)由题意可知： (2)解：存在 或 时，使得 为直角三角形，理由是 当 时，由题意有 ，解得 当 时，由题意有 解得 综上所述，存在 或 时，使得 为直角三角形 (3)解：存在 时， 恒为以 为底的等腰三角形，理由是： 作 于 M，如图 2 所示 由题意得： ，则 是等边三角形， ， 当 时，由题意有 ，解得 ， 当 时，由题意有 ，解得 ， 综上所述，存在 时， 恒为以 为底的等腰三角形 11. 是等边三角形，点 C 关于 AB 所在直线对称
10、的点为 ，点 P 是直线 上的一个动点，连接 AP，作APD=60 交射线 BC 于点 D (1)若点 P 在线段 上(不与点 ，点 B 重合)，求证：PD=PA (2)若点 P 在线段 的延长线上 依题意补全图 2 直接写出线段 BD，AB，BP 之间的数量关系为 【答案】 (1)证明：如图 1，作BPE=60 交 AB 于点 E 是等边三角形， ABC=60 ， 点 与点 C 关于 AB 对称， ， PEB=60 是等边三角形， PB=PE， BPD+DPE=60 ，APE+DPE=60 ， BPD=APE， 在 和 中， PD=PA (2)解：补全图形，如图 2 所示：记 与 的交点为
11、， 解：结论：BD=BP+AB 理由如下： 如图 2 中，在 BD 上取一点 E，使得 BE=PB 由 ， EBP=60 ，BE=BP， 是等边三角形， ， ， ， 在 与 中， ， ， BD=BE+ED=BP+AB 故答案为：BD=BP+AB 12.如图，在 ABC中，BADDAC ， DFAB ， DMAC ， AF10cm ， AC14cm ， 动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动，当一个点到达终点 时，另一个点随之停止运动，设运动时间为 (1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有 S AED2S DGC； (
12、2)当取何值时， DFE 与 DMG 全等； (3)在(2)的前提下，若 ， ，求 S BFD 【答案】 (1)证明：BADDAC，DFAB，DMAC， DFDM， S AED AEDF，S DGC CGDM， ， 点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动， AE2tcm，CGtcm， 2， 即 2， 在运动过程中，不管取何值，都有 S AED2S DGC (2)解：当 0t4 时，点 G 在线段 CM 上，点 E 在线段 AF 上 EF102t，MG4t 102t4t， t6(不合题意，舍去)； 当 4t5 时，点 G 在线段 AM 上，点 E 在线段 AF 上 EF102t，MGt4， 102tt4， t ； 综上，t 综上所述当 t 时， DFE 与 DMG 全等 (3)解：t ， AE2t (cm)， DFDM， S ABD：S ACDAB：ACBD：CD119：126， AC14cm， AB (cm)，
