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专练01 三角形中的动点问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(教师版含解析)

1、专练 01 三角形中的动点问题 1.已知等边 ABC 的边长为 4cm,点 P,Q 分别从 B,C 两点同时出发,其中点 P 沿 BC 向终点 C 运动,速 度为 1cm/s;点 Q 沿 CA,AB 向终点 B 运动,速度为 2cm/s,设它们运动的时间为 x(s) , (1)如图 1,若 PQAB,则 x 的值为_(s)。 (2)如图 2,若 PQAC,求 x 的值。 (3)如图 3, 当点 Q 在 AB 上运动时, PQ 与 ABC 的高 AD 交于点 0, 0Q 与 OP 是否总是相等?请说明理由。 【答案】 (1) (2)解:依题意得: PC=4-x,CQ=2x, PQAC,C=60

2、, QPC= 30 , CQ= PC,即 2x= (4-x), 解得:x= (3)解:OQ=PO,理由如下: 作 QHAD 于 H,如图 3, ABC 为等边三角形,ADBC , QHO=PDO=90 ,QAH=30 , BD= BC=2, QH= AQ= (2x-4)=x-2, DP=BP-BD=x-2, QH= DP, 在 OQH 和 OPD 中, , OQHOPD(AAS), OQ=OP 2.如图,已知 Rt ABC 中,C=90 ,AC=8cm,BC=6cm,点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动, 同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动, 它们的速度均

3、为 2 cm/s。 以 AQ、 PQ 为边作四边形 AQPD, 连接 DQ,交 AB 于点 E,设运动的时间为 t(单位: s)(0t4),解答下列问题: (1)用含有 t 的代数式表示 AE=_; (2)如图,当 t 为何值时,四边形 AQPD 为菱形; (3)求运动过程中,四边形 AQPD 的面积的最大值。 【答案】解:(1)在直角三角形 ABC 中,C=90 ,AC=8,BC=6 由勾股定理,BA=10 点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 2 BP=2 AP=AB-BP=10-2t 四边形 AQPD 为平行四边形 AE= AP=5-t (2)解:如图, 当四边

4、形 AQPD 是菱形时,DQAP,则 即 ,解得 t= 当 t= 时,四边形 AQPD 是菱形; (3)解:如解图,作 PMAC 于 M,设平行四边形 AQPD 的面积为 S PM BC, APMABC, 即 PM= (5-t), S=AQ PM=2t (5-t)= t2+12t= (t- ) 2+15 (0t4), 2),连接 BC,以 BC 为边在第四象限内作等边 CBD,直线 DA 交 y 轴于点 E (1)试问 OBC 与 ABD 全等吗?并证明你的结论; (2)随着点 C 位置的变化,AEO 是否会发生变化?若没有变化,求出AEO 的度数;若有变化,请说明 理由 (3)若在 x 轴上

5、有一动点 P,使 PAE 是等腰三角形,请直接写出满足条件的 P 点坐标 【答案】 (1)解: OBCABD 理由:AOB 和 CBD是等边三角形, OBAB,OBAOAB60 , BCBD,CBD60 , OBAABCCBDABC,即OBCABD, 在 OBC 和 ABD 中, OBCABD(SAS) (2)解:OBCABD, BADBOC60 , 又OAB60 , OAE180 OABBAD60 ,AEO30 随着点 C 位置的变化,AEO 不会发生变化 (3)解:若 P 在 A 点左侧 AE=PE, EOPA, O 为 PA 中点,PEOAEO=30 , A 的坐标为(2,0), P 点

6、坐标为(2,0),AEP=60 , PEA 为等边三角形,同时 PAPE, 若 P 在 A 点右侧只存在 AE=PA, AEO30 ,OA=2, AE=4=AP, OP=6, P 点坐标为(6,0) 故 P 点坐标为:(2,0)或(6,0) 9.如图,已知 ABC 中,AB=AC=8 厘米,BC=6 厘米,点 D 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 2 厘 米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动当一个点停止运动时,另一 个点也随之停止运动设运动时间为 t (1)当点 P 运动 t 秒时 CP 的长度为_用含 t 的代数式表示);

7、(2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后, BPD 与 CQP 是否全等,请说明理由; (3)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使 BPD 与 CQP 全 等? 【答案】(1)BP=2t,则 PC=BC-BP=6-2t; 故答案为:(6-2t)cm (2)解:当 t=1 时,BP=CQ=2 1=2 厘米, AB=8 厘米,点 D 为 AB 的中点, BD=4 厘米 又PC=BC-BP,BC=6 厘米, PC=6-2=4 厘米, PC=BD, 又AB=AC, B=C, 在 BPD 和 CQP 中, , BPDCQP(SAS

8、); (3)解:vPvQ , BPCQ, 又BPDCPQ,B=C, BP=PC=3cm,CQ=BD=4cm, 点 P,点 Q 运动的时间 (秒), VQ= (厘米/秒) 10.已知 是边长为 的等边三角形,动点 同时出发,分别在三角形的边或延长线上运动, 他们的运动时间为 (1)如图1, 若P点由A向B运动, Q点由C向A运动, 他们的速度都是 , 连接 则 _, _,(用含 t 式子表示); (2)在(1)的条件下,是否存在某一时刻,使得 为直角三角形?若存在,请求出 的值,若不存在, 请说明理由; (3)如图2, 若P点由A出发, 沿射线 方向运动, Q点由C出发, 沿射线 方向运动, P

9、的速度为 的速度为 是否存在某个 a 的值,使得在运动过程中 恒为以 为底的等腰三角形?如果 存在,请求出这个值,如果不存在,请说明理由 【答案】 (1)由题意可知: (2)解:存在 或 时,使得 为直角三角形,理由是 当 时,由题意有 ,解得 当 时,由题意有 解得 综上所述,存在 或 时,使得 为直角三角形 (3)解:存在 时, 恒为以 为底的等腰三角形,理由是: 作 于 M,如图 2 所示 由题意得: ,则 是等边三角形, , 当 时,由题意有 ,解得 , 当 时,由题意有 ,解得 , 综上所述,存在 时, 恒为以 为底的等腰三角形 11. 是等边三角形,点 C 关于 AB 所在直线对称

10、的点为 ,点 P 是直线 上的一个动点,连接 AP,作APD=60 交射线 BC 于点 D (1)若点 P 在线段 上(不与点 ,点 B 重合),求证:PD=PA (2)若点 P 在线段 的延长线上 依题意补全图 2 直接写出线段 BD,AB,BP 之间的数量关系为 【答案】 (1)证明:如图 1,作BPE=60 交 AB 于点 E 是等边三角形, ABC=60 , 点 与点 C 关于 AB 对称, , PEB=60 是等边三角形, PB=PE, BPD+DPE=60 ,APE+DPE=60 , BPD=APE, 在 和 中, PD=PA (2)解:补全图形,如图 2 所示:记 与 的交点为

11、, 解:结论:BD=BP+AB 理由如下: 如图 2 中,在 BD 上取一点 E,使得 BE=PB 由 , EBP=60 ,BE=BP, 是等边三角形, , , , 在 与 中, , , BD=BE+ED=BP+AB 故答案为:BD=BP+AB 12.如图,在 ABC中,BADDAC , DFAB , DMAC , AF10cm , AC14cm , 动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动,动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动,当一个点到达终点 时,另一个点随之停止运动,设运动时间为 (1)求证:在运动过程中,不管取何值,都有 S AED2S DGC; (

12、2)当取何值时, DFE 与 DMG 全等; (3)在(2)的前提下,若 , ,求 S BFD 【答案】 (1)证明:BADDAC,DFAB,DMAC, DFDM, S AED AEDF,S DGC CGDM, , 点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动,动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动, AE2tcm,CGtcm, 2, 即 2, 在运动过程中,不管取何值,都有 S AED2S DGC (2)解:当 0t4 时,点 G 在线段 CM 上,点 E 在线段 AF 上 EF102t,MG4t 102t4t, t6(不合题意,舍去); 当 4t5 时,点 G 在线段 AM 上,点 E 在线段 AF 上 EF102t,MGt4, 102tt4, t ; 综上,t 综上所述当 t 时, DFE 与 DMG 全等 (3)解:t , AE2t (cm), DFDM, S ABD:S ACDAB:ACBD:CD119:126, AC14cm, AB (cm),