1、2018-2019 学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列函数中是二次函数的为（ ） Ay3x1 By3x21 Cy（x+1）2x2 Dyx3+2x3 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A Bx8x2x4 C （2a）36a3 D3a52a36a6 3 （3 分）函数 yax2（a0）的图象与 a 的符号有关的是（ ） A顶点坐标 B开口方向 C开口大小 D对称轴 4 （3 分）某班举办元旦联欢会，班长对全班同学最爱吃哪几种水果这一问题作了调查，班 长在确定购买哪一种水果时，最值得关注的统
2、计量是（ ） A中位数 B平均数 C众数 D加权平均数 5 （3 分）已知 、 是一元二次方程 x22x30 的两个根，则 + 的值是（ ） A2 B2 C3 D3 6 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，OE 的长等 于 4，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A16 B20 C24 D32 7 （3 分）下列语句正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B矩形的对角线相等 C有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D平行四边形是轴对称图形 8 （3 分）若一元二次方程 x22xm0 无实数根，则一次函数 y（m+1）x+m1 的图 第
3、 2 页（共 23 页） 象不经过第（ ）象限 A四 B三 C二 D一 9（3分） 若二次函数yx2+与yx2+k的图象的顶点重合， 则下列结论不正确的是 （ ） A这两个函数图象有相同的对称轴 B这两个函数图象的开口方向相反 C方程x2+k0 没有实数根 D二次函数 yx2+k 的最大值为 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列说法：a0；b 0；c0；b24ac0，其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 11 （3 分）小颖在二次函数 y2x2+4x+5 的图象上，依横坐标找到三点（1，y1） ， （， y2） ， （3，y3） ，则你认为 y1
4、，y2，y3的大小关系应为（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy3y2y1 12 （3 分）如图，ABCD，DEFG 都是正方形，边长分别为 m，n（mn） 坐标原点 O 为 AD 的中点，A，D，E 在 y 轴上，若二次函数 yax2的图象过 C，F 两点，则（ ） A+1 B+1 C21 D21 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13 （3 分）已知三角形的两边长为 4 和 5，第三边的长是方程 x25x+60 的一个根，则这 个三角形的周长是 第 3 页（共 23 页） 14 （3 分）已知关于 x 方程 x23x+a0
5、 有一个根为 1，则方程的另一个根为 15 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x24xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取 值范围是 16 （3 分）某学校去年对实验器材投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 y 万元，年 平均增长率为 x则 y 与 x 的函数解析式 17 （3 分）已知二次函数 y1ax2+bx+c 与一次函数 y2kx+m（k0）的图象相交于点 A（ 2，4） ，B（8，2） 如图所示，则能使 y1y2成立的 x 的取值范围是 18 （3 分）已知 yx23x+4（10x0） ，则函数 y 的取值范围是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共
6、个小题，共 66 分分.19、20 题各题各 6 分，分，21、22 题各题各 8 分，分，23、24 各各 9 分分 25、26 题各题各 10 分）分） 19 （6 分）解方程：3x25x1 20 （6 分）先化简，再求值：，其中 a2，b2+ 21 （8 分）为积极响应市委政府“加快建设天蓝水碧地绿的美丽长沙”的号召，我市某 街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种为了更好地了解社情民意，工作人员在 街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限 选其中一种树） ，并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图： 请根据所给信息解答以下问题： （1）这次参
7、与调查的居民人数为： ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数； 第 4 页（共 23 页） （4） 已知该街道辖区内现有居民8万人， 请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？ 22 （8 分）抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 纵坐标 y 的对应值如下表 x 2 1 0 1 2 y 0 4 4 0 8 （1）试确定该抛物线的对称轴及当 x3 时对应的函数值； （2）试确定抛物线 yax2+bx+c 的解析式 23 （9 分）如图，已知在ADE 中，ADE90，点 B 是 AE 的中点，过点 D 作 DC AE，DCAB，连结 B
8、D、CE （1）求证：四边形 BDCE 是菱形； （2）若 AD8，BD6，求菱形 BDCE 的面积 24 （9 分）我市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果 A 特别受欢迎，某超市以市场价 格 10 元每千克在我市收购了 6000 千克 A 水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问 题 水果 A 的市场价格每天每千克上涨 0.1 元 平均每天有 10 千克的该水果损坏，不能出售 每天的冷藏费用为 300 元 该水果最多保存 110 天 （1） 若将这批 A 水果存放x 天后一次性出售， 则 x 天后这批水果的销售单价为 元； （2）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售所得利润为 9600
9、元？ （3）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 25 （10 分）若一次函数 ykx+m 的图象经过二次函数 yax2+bx+c 的顶点，我们则称这两 个函数为“丘比特函数组” （1）请判断一次函数 y3x+5 和二次函数 yx24x+5 是否为“丘比特函数组” ，并说 明理由 （2）若一次函数 yx+2 和二次函数 yax2+bx+c 为“丘比特函数组” ，已知二次函数 y ax2+bx+c顶点在二次函数y2x23x4图象上并且二次函数yax2+bx+c经过一次函 第 5 页（共 23 页） 数 yx+2 与 y 轴的交点，求二次函数 yax2+bx+c
10、的解析式； （3）当3x1 时，二次函数 yx22x4 的最小值为 a，若“丘比特函数组”中 的一次函数 y2x+3 和二次函数 yax2+bx+c（b、c 为参数）相交于 PQ 两点请问 PQ 的 长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 26 （10 分）若关于 x 的二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）与 x 轴交于两个不同的点 A（x1，0） ，B（x2，0） ，与 y 轴交于点 C，其图象的顶点为点 M，O 是坐标原点 （1）若 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，3） ，求此二次函数的解析式并写出二次函数的 对称轴； （2）如图 1，若 a0，b0，A
11、BC 为直角三角形，ABM 是以 AB2 的等边三角形， 试确定 a，b，c 的值； （3）设 m，n 为正整数，且 m2，a1，t 为任意常数，令 b3mt，c3mt，如果 对于一切实数 t，AB|2t+n|始终成立，求 m、n 的值 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下）学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下） 期期中数学试卷中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1 （3 分）下列函数中是二次函数的为（ ） Ay3x1 By3x21 C
12、y（x+1）2x2 Dyx3+2x3 【分析】根据二次函数的定义，可得答案 【解答】解：A、y3x1 是一次函数，故 A 错误； B、y3x21 是二次函数，故 B 正确； C、y（x+1）2x2不含二次项，故 C 错误； D、yx3+2x3 是三次函数，故 D 错误； 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的定义，形如 yax2+bx+c（a0）是二次函数，要先化简 再判断 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A Bx8x2x4 C （2a）36a3 D3a52a36a6 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则以及结合同底数幂的乘除运算法则分别化简求 出答案 【解答】解：A、，正确； B、x8
13、x2x6，故此选项错误； C、 （2a）38a3，故此选项错误； D、3a52a36a8，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算以及结合同底数幂的乘除运算、积的乘方运 算等知识，正确掌握相关性质是解题关键 3 （3 分）函数 yax2（a0）的图象与 a 的符号有关的是（ ） 第 7 页（共 23 页） A顶点坐标 B开口方向 C开口大小 D对称轴 【分析】根据抛物线开口方向由 a 确定即可确定选择项 【解答】解：a 的符号确定抛物线的开口方向， B 是正确的 故选：B 【点评】此题主要考查二次函数 yax2+bx+c 系数符号的确定 4 （3 分）某班举办元旦联欢会
14、，班长对全班同学最爱吃哪几种水果这一问题作了调查，班 长在确定购买哪一种水果时，最值得关注的统计量是（ ） A中位数 B平均数 C众数 D加权平均数 【分析】根据平均数、中位数、众数的意义进行分析选择 【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为举办 元旦联欢会，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数 故选：C 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义 反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选 择和恰当的运用 5 （3 分）已知 、 是一元二次方程 x22x30 的两个根，则
15、 + 的值是（ ） A2 B2 C3 D3 【分析】根据根与系数的关系得到 +2，即可得出答案 【解答】解：、 是一元二次方程 x22x30 的两个根， +2； 故选：A 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的 两根时，x1+x2，x1x2 6 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，OE 的长等 于 4，则菱形 ABCD 的周长为（ ） 第 8 页（共 23 页） A16 B20 C24 D32 【分析】利用菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质求出 AD8，即可得出结果 【解答】解：四边
16、形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，ACBD， E 为 AD 边中点， OE 是 RtAOD 的斜边中线， AD2OE8， 菱形 ABCD 的周长4832； 故选：D 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟记直角三角 形斜边上的中线性质是解题关键 7 （3 分）下列语句正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B矩形的对角线相等 C有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D平行四边形是轴对称图形 【分析】由菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的性质分别进行 判断，即可得出结论 【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，不正确； B、矩形
17、的对角线相等，正确； C、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，不正确； D、平行四边形是轴对称图形，不正确； 故选：B 【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的性质； 熟练掌握有关判定定理和性质定理是解决问题的关键 8 （3 分）若一元二次方程 x22xm0 无实数根，则一次函数 y（m+1）x+m1 的图 第 9 页（共 23 页） 象不经过第（ ）象限 A四 B三 C二 D一 【分析】根据判别式的意义得到（2）2+4m0，解得 m1，然后根据一次函数 的性质可得到一次函数 y（m+1）x+m1 图象经过的象限 【解答】解：一元二次方程 x22xm0 无实数
18、根， 0， 44（m）4+4m0， m1， m+111，即 m+10， m111，即 m12， 一次函数 y（m+1）x+m1 的图象不经过第一象限， 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方 程没有实数根也考查了一次函数图象与系数的关系 9（3分） 若二次函数yx2+与yx2+k的图象的顶点重合， 则下列结论不正确的是 （ ） A这两个函数图象有相同的对称轴 B这两个函数图象的开口方向相反 C方程x2+k0 没有实数根 D二次函数 yx2+k 的最大值为 【分析】利用二
19、次函数的性质以及解方程的知识解题 【解答】解：二次函数 yx2+与 yx2+k 的图象的顶点重合，k， A、B、D 正确； C、错误，因为方程x2+k0 有实数根 故选：C 【点评】主要考查二次函数的性质 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列说法：a0；b 0；c0；b24ac0，其中正确的个数是（ ） 第 10 页（共 23 页） A1 B2 C3 D4 【分析】由开口方向可判断，由对称轴可判断，由与 y 轴的交点可判断，由图象 与 x 轴的交点个数可判断，则可求得答案 【解答】解：抛物线开口向上， a0，故正确； 对称轴为 x1， 0，且 a0， b0
20、，故正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方， c0，故不正确； 抛物线与 x 轴有一个交点， 方程 ax2+bx+c0 有两个相等的实数根， b24ac0，故不正确； 综上可知正确的只有 2 个， 故选：B 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是 熟练运用这些知识解决问题 11 （3 分）小颖在二次函数 y2x2+4x+5 的图象上，依横坐标找到三点（1，y1） ， （， y2） ， （3，y3） ，则你认为 y1，y2，y3的大小关系应为（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy3y2y1 【分析】先判断二次函数 y2x2+4x
21、+5 的对称轴为 x1；由（3，y3） 得对称点的横坐标为 x312（3）1，对称点坐标为（1，y3） ，根据二次 函数图象的性质：a0 时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，因 第 11 页（共 23 页） 为11；所以 y3y2y1 【解答】解：对称轴为 x1， （3，y3）的对称点坐标为（1，y3） ， 11，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大， y3y2y1 故选：D 【点评】本题的关键是找到二次函数的对称轴；掌握二次函数 yax2+bx+c（a0）的图 象性质 12 （3 分）如图，ABCD，DEFG 都是正方形，边长分别为 m，n（mn） 坐标原点 O
22、 为 AD 的中点，A，D，E 在 y 轴上，若二次函数 yax2的图象过 C，F 两点，则（ ） A+1 B+1 C21 D21 【分析】根据题意得出 C（m，m） ，F（n，n+m） ，将 C 点坐标代入 yax2，求出 a，则抛物线解析式为 yx2，再将 F（n，n+m）代入 yx2，整理得出 方程 m22mnn20，把 m 看作常数，利用求根公式得出 n（1）m（负值舍去） ， 即可求得+1 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 m，坐标原点 O 为 AD 的中点， C（m，m） 抛物线 yax2过 C 点， mam2，解得 a， 抛物线解析式为 yx2， 第 12 页（共 23 页
23、） 将 F（n，n+m）代入 yx2， 得 n+m（n）2， 整理得 m2+2mnn20， 解得 n（1）m（负值舍去） ， 1+， 故选：B 【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到正方形的性质，待定系数法求二次函数 的解析式、一元二次方程的求根公式正确求出抛物线的解析式是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13 （3 分）已知三角形的两边长为 4 和 5，第三边的长是方程 x25x+60 的一个根，则这 个三角形的周长是 11 或 12 【分析】把已知方程的左边利用十字相乘的方法分解因式为 x2 与 x3 的乘积，从而 得到方程的两
24、个解，即为三角形的第三边，求出三角形的周长即可 【解答】解：方程 x25x+60 可化为： （x2） （x3）0， 解得：x12，x23， 则三角形的第三边为 2 或 3， 当第三边为 2 时，三边长分别为 2，4，5，则三角形周长为 2+4+511； 当第三边为 3 时，三边长分别为 3，4，5，则三角形周长为 3+4+512， 综上，这个三角形的周长是 11 或 12 故答案为：11 或 12 【点评】此题考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，以及三角形的三边关系，利 用因式分解的方法解一元二次方程的前提必须是方程右边为 0， 左边能够分解因式得到积 的形式，其理论依据为 ab0，则 a
25、0 或 b0，三角形的三边关系为三角形的两边之和 第 13 页（共 23 页） 大于第三边，两边之差小于第三边，利用此性质可以判断三条线段是否能构成三角形 14 （3 分）已知关于 x 方程 x23x+a0 有一个根为 1，则方程的另一个根为 2 【分析】设方程的另一个根为 m，根据两根之和等于，即可得出关于 m 的一元一次 方程，解之即可得出结论 【解答】解：设方程的另一个根为 m， 根据题意得：1+m3， 解得：m2 故答案为：2 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键 15 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x24xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取
26、 值范围是 m4 【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b24ac0，代入数据可得出关于 m 的一 元一次不等式，解不等式即可得出结论 【解答】解：由已知得： b24ac（4）241（m）16+4m0， 解得：m4 故答案为：m4 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于 m 的一元一次不等式本题属 于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或 不等式组）是关键 16 （3 分）某学校去年对实验器材投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 y 万元，年 平均增长率为 x则 y 与 x 的函数解析式 y2x2+6x+4 【分析】先根据增长率分别表示
27、出今年投资额为 2（1+x）元，明年投资为 2（1+x）2元， 再让这两年的投资相加化简后即可表示出 y 与 x 的函数解析式 【解答】解：设今年投资额为 2（1+x）元，明年投资为 2（1+x）2元 由题意可得 y2（1+x）+2（1+x）22x2+6x+4 【点评】主要考查了结合实际问题列二次函数解析式的能力读懂题意准确的表示出投 资额，尤其是根据增长率来表示明年的投资额是解题的关键 17 （3 分）已知二次函数 y1ax2+bx+c 与一次函数 y2kx+m（k0）的图象相交于点 A（ 第 14 页（共 23 页） 2，4） ，B（8，2） 如图所示，则能使 y1y2成立的 x 的取值范
28、围是 x2 或 x8 【分析】直接根据函数的图象即可得出结论 【解答】解：由函数图象可知，当 x2 或 x8 时，一次函数的图象在二次函数的 下方， 能使 y1y2成立的 x 的取值范围是 x2 或 x8 故答案为：x2 或 x8 【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键 18 （3 分）已知 yx23x+4（10x0） ，则函数 y 的取值范围是 4y13 【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和 x 的取值范围，可以求得函数值 的取值范围 【解答】解：yx23x+4（x+6）2+13， 该函数的开口向下，对称轴是直线 x6，当 x6 时，y 随 x
29、的增大而增大，当 x 6 时，y 随 x 的增大而减小， 10x0，当 x0 时，y4， 函数 y 的取值范围是 4y13， 故答案为：4y13 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 解答 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 66 分分.19、20 题各题各 6 分，分，21、22 题各题各 8 分，分，23、24 各各 9 分分 25、26 题各题各 10 分）分） 19 （6 分）解方程：3x25x1 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解：3x25x1， a3，b5，c1 2543113， 第 15 页（
30、共 23 页） x 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属 于基础题型 20 （6 分）先化简，再求值：，其中 a2，b2+ 【分析】先根据分式的除法法则把原式进行化简，再把 a、b 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式 ab， 当 a2，b2+时，原式（2） （2+）422 【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式， 再代入求值 21 （8 分）为积极响应市委政府“加快建设天蓝水碧地绿的美丽长沙”的号召，我市某 街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种为了更好地了解社情民意，工作人员在 街道辖区范围内随机抽取了部分居
31、民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限 选其中一种树） ，并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图： 请根据所给信息解答以下问题： （1）这次参与调查的居民人数为： 1000 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数； （4） 已知该街道辖区内现有居民8万人， 请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？ 【分析】 （1）根据“银杏树”的人数及其百分比可得总人数； （2）将总人数减去选择其它 4 种树的人数可得“樟树”的人数，补全条形图即可； 第 16 页（共 23 页） （3）用样本中“枫树”占总人数的比例乘以 360可得； （4
32、）用样本中最喜欢“玉兰树”的比例乘以总人数可得 【解答】解： （1）这次参与调查的居民人数有1000（人） ； （2）选择“樟树”的有 1000250375125100150（人） ， 补全条形图如图： （3）36036， 答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为 36； （4）82（万人） ， 答：估计这 8 万人中最喜欢玉兰树的约有 2 万人 故答案为： （1）1000 【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，解题的关键是把 条形统计图和扇形统计图的数据相结合求解 22 （8 分）抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 纵坐标 y 的对应值如下表 x
33、2 1 0 1 2 y 0 4 4 0 8 （1）试确定该抛物线的对称轴及当 x3 时对应的函数值； （2）试确定抛物线 yax2+bx+c 的解析式 【分析】 （1）根据抛物线的对称性质求得对称轴方程 x，由图象的对称性 质知当 x3 与 x2 时所对应的函数值相等 （2）设抛物线解析式为 ya（x+2） （x1） （a0） ，将点（0，4）代入求得 a 的值， 然后将该抛物线解析式转化为一般式即可 【解答】解： （1）由图表中的数据知，当 x1 与 x0 所对应的函数值相等，则其对 称轴方程 x，由图象的对称性质知当 x3 与 x2 时所对应的函数值相 第 17 页（共 23 页） 等，即
34、当 x3 时对应的函数值是 8； （2）根据表格中的数据知，抛物线与 x 轴的两交点坐标是（2，0） 、 （1，0） ，故设抛 物线解析式为 ya（x+2） （x1） （a0） ， 将点（0，4）代入，得 a（0+2） （01）4 解得 a2 故该抛物线解析式是：y2（x+2） （x1）2x2+2x4，即 y2x2+2x4 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运 用所学知识解决问题，属于中考常考题型 23 （9 分）如图，已知在ADE 中，ADE90，点 B 是 AE 的中点，过点 D 作 DC AE，DCAB，连结 BD、CE （1）求证：四边形 B
35、DCE 是菱形； （2）若 AD8，BD6，求菱形 BDCE 的面积 【分析】 （1）根据邻边相等的平行四边形的菱形即可证明； （2）求出 BC、DE 的长即可解决问题； 【解答】 （1）证明：在 RtADB 中，ADB90，ABBE， DBABABBE， DCBE，DCABBE， 四边形 BECD 是平行四边形， BDBE， 四边形 BECD 是菱形 （2）解：连接 BC 交 DE 于 O 四边形 DBEC 是菱形， BCDE， BOAD，ABBE， 第 18 页（共 23 页） DOOE， OBAD4，OD2， BC8，DE4， S菱形BDCEBCDE16 【点评】本题考查菱形的判定和性质
36、、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键 是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 24 （9 分）我市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果 A 特别受欢迎，某超市以市场价 格 10 元每千克在我市收购了 6000 千克 A 水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问 题 水果 A 的市场价格每天每千克上涨 0.1 元 平均每天有 10 千克的该水果损坏，不能出售 每天的冷藏费用为 300 元 该水果最多保存 110 天 （1） 若将这批 A 水果存放 x 天后一次性出售， 则 x 天后这批水果的销售单价为 10+0.1x 元； （2）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售所得利润为 9
37、600 元？ （3）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】 （1） 根据等量关系水果的市场价格每天每千克上涨 0.1 元则可求出则 x 天后这批 水果的销售单价，再根据平均每天有 10 千克的水果损坏则可求出这批水果的销售量； （2）按照等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出方程求解即可； （3）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出函数关系式并求最 大值 【解答】解： （1）10+0.1x； （2） （10+0.1x） （600010x）106000300x9600， 解得：x80，或 x120， x110， 第 19 页（共 2
38、3 页） 将这批 A 水果存放 80 天后一次性出售所得利润为 9600 元； （3）设利润为 w，由题意得 w（10+0.1x） （600010x）300x600010， x2+200x（x100）2+10000， a10， 抛物线开口方向向下， x100 时，w最大10000， 当 x100 时，利润有最大值 将这批 A 水果存放 100 天后一次性出售可获得最大利润为 10000 元 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法和二次函数的最值求 法等知识，注意二次函数的增减性的应用是解题关键 25 （10 分）若一次函数 ykx+m 的图象经过二次函数 yax2+bx+c
39、 的顶点，我们则称这两 个函数为“丘比特函数组” （1）请判断一次函数 y3x+5 和二次函数 yx24x+5 是否为“丘比特函数组” ，并说 明理由 （2）若一次函数 yx+2 和二次函数 yax2+bx+c 为“丘比特函数组” ，已知二次函数 y ax2+bx+c顶点在二次函数y2x23x4图象上并且二次函数yax2+bx+c经过一次函 数 yx+2 与 y 轴的交点，求二次函数 yax2+bx+c 的解析式； （3）当3x1 时，二次函数 yx22x4 的最小值为 a，若“丘比特函数组”中 的一次函数 y2x+3 和二次函数 yax2+bx+c（b、c 为参数）相交于 PQ 两点请问 P
40、Q 的 长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 【分析】 （1）yx24x+5（x2）2+1，即顶点坐标为（2，1） ，当 x2 时，y3x+5 11，即可求解； （2）将顶点坐标代入二次函数 y2x23x4 得：m+22m23m4，解得：m3 或 1，即可求解； （3）故当3x1 时，x1 时函数取得最小值，即 a1+241，设抛物线的 顶点为 P（m，2m+3） ，则“丘比特函数组”另外一个交点为 Q（x，y） ，则抛物线的表达 式为： ya （xm） 2+ （2m+3） （xm）2+ （2m+3） ， 由题意得： （xm）2+ （2m+3） 2x+3，由韦达定理得：x+m2
41、m2，解得：xm2，故点 Q（m2，2m1） ，即可 求解 第 20 页（共 23 页） 【解答】解： （1）yx24x+5（x2）2+1，即顶点坐标为（2，1） ， 当 x2 时，y3x+511， 故一次函数 y3x+5 和二次函数 yx24x+5 不是“丘比特函数组” ； （2）设：二次函数的顶点为： （m，m+2） ， 将顶点坐标代入二次函数 y2x23x4 得：m+22m23m4， 解得：m3 或1， 当 m3 时，函数顶点为（3，5） ，一次函数 yx+2 与 y 轴的交点为： （0，2） ， 则二次函数表达式为：ya（x3）2+5a（x26x+9）+5， 即：9a+52，解得：a，
42、 故：抛物线的表达式为：yx2+2x+2； 同理当 m1 时，抛物线的表达式为：yx2+2x+2， 综上，抛物线的表达式为：yx2+2x+2 或 yx2+2x+2； （3）是定值，理由： 令 yx22x40， 则 x1， 故当3x1 时，x1 时函数取得最小值， 即 a1+241， 设抛物线的顶点为 P（m，2m+3） ，则“丘比特函数组”另外一个交点为 Q（x，y） ， 则抛物线的表达式为：ya（xm）2+（2m+3）（xm）2+（2m+3） ， 由题意得：（xm）2+（2m+3）2x+3， 整理得：x2+（22m）x+（m22m）0， 由韦达定理得：x+m2m2，解得：xm2，故点 Q（m
43、2，2m1） ， 则 PQ2，为定值 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查的是新定义，此题在新定义的理解 上难度较大，解题时，通常按照题设顺序逐次求解 26 （10 分）若关于 x 的二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）与 x 轴交于两个不同的点 第 21 页（共 23 页） A（x1，0） ，B（x2，0） ，与 y 轴交于点 C，其图象的顶点为点 M，O 是坐标原点 （1）若 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，3） ，求此二次函数的解析式并写出二次函数的 对称轴； （2）如图 1，若 a0，b0，ABC 为直角三角形，ABM 是以 AB2 的等边三角形， 试确
44、定 a，b，c 的值； （3）设 m，n 为正整数，且 m2，a1，t 为任意常数，令 b3mt，c3mt，如果 对于一切实数 t，AB|2t+n|始终成立，求 m、n 的值 【分析】 （1）函数的表达式为：ya（x+2） （x4）a（x22x8） ，即可求解； （2）设点 A、B 的横坐标分别为：m、n，即 nm+2，则点 M 的坐标为： （m+1，） ， 抛物线的表达式为：ya（xm） （xm2） ，将点 M 的坐标代入上式并解得：a， 则抛物线的表达式为：y（xm） （xn） ， 则点 C 的坐标为： （0，mn） ，ABC 为直角三角形，OC2OAOB，即（mn）2 mn， 解得：mn
45、，而 nm1，即可求解； （3） ABx2x1|mt+3|2t+n|， 对于一切实数 t， 上式都成立， 则必然存在|mt+3|2t+n|，即可求解 【解答】解： （1）函数的表达式为：ya（x+2） （x4）a（x22x8） ， 则8a3，解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2+x+3； （2）ABM 是等边三角形，则点 M 的纵坐标为：2sin60， 如图所示，ABC 为直角三角形，则ACB90， 第 22 页（共 23 页） 设点 A、B 的横坐标分别为：m、n，即 nm+2， ABM 是等边三角形，则点 M 的坐标为： （m+1，） ， 抛物线的表达式为：ya（xm） （xm2） ， 将点 M 的坐标代入上式并解得：a， 则抛物线的表达式为：y（xm） （xn） ， 则点 C 的坐标为： （0，mn） ， ABC 为直角三角形，OC2OAOB，即（mn）2mn， 解得：mn，而 nm2， 解得：m1，n1， 则抛物线的表达式为：ya（xm） （xn）x2+
