1、2019-2020学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1（3分）下列方程是一元二次方程的是ABCD2（3分）下列银行标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 3（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是A任意三点可以确定一个圆B相等的圆心角所对的弧相等C平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D圆内接四边形对角互补4（3分）关于一组数据： 1 ， 5 ， 6 ， 3 ， 5 ，下列说法错误的是A 平均数是 4B 众数是 5C 中位数是 6D 方差是 3.25（3分）观察下列每个图形及相应推出的结论，其中正确的是ABCD
2、垂直平分6（3分）一元二次方程的两个根为，则的值为A2B6C8D147（3分）函数与的图象的不同之处是A对称轴B开口方向C顶点D形状8（3分）如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于ABCD9（3分）把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所得的抛物线的解析式为ABCD10（3分）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是A第8秒B第10秒C第12秒D第15秒11（3分）若，则一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是ABCD12（3分）已知二次函数与一次函数交点关于原点对称，当时二次函数最小值
3、是2，则的值是A1B1或3CD3或二、填空题（本大题共6小题，共18分）13（3分）分解因式： 14（3分）函数中，自变量的取值范围是15（3分）点与点关于原点对称，则的值为 16（3分）如图，已知， 与关于点成中心对称，则的长是 17（3分）已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是18（3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为三、解答题（本题共8个小题，共66分，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分）19（6分）解方程：（1）（2）20（6分）化简，求值：，其中21
4、（8分）为了解某校九年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表： 频数分布表身高分组频数百分比515146总计（1）填空： ， ；（2）补全频数分布直方图；（3）该校九年级共有600名学生，估计身高不低于的学生大约有多少人？22（8分）如图，四边形是平行四边形，点在以为直径的上（1）若直线是的切线，求的度数；（2）在（1）的条件下，若的半径为1，求图中阴影部分的周长23（9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某新能源汽车店的汽车销量自2017年起逐月增加据统计，该店1月份销售新能源汽车64辆，3月份销售了100辆
5、（1）求该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为，两种型号已知型车的进价为12万元辆，售价为15万元辆，型车的进价为20万元辆，售价为25万元辆（根据销售经验，购进型车的数量不少于型车的2倍），假设所购进车辆能够全部售完，为使利润最大，该店应购进，两种型号车各多少辆？最大利润为多少？24（9分）如图，在平面直角坐标系中，的角平分线交的外接圆于点，连接，为正半轴上一点（1）求的半径；（2）若，求证：；（3）若为的内心，求点到点的距离25（10分）已知二次函数，点，为此抛物线上的一点，若函数满足以下两个条件：；（）函数的图
6、象经过点，；我们就称函数为二次函数上关于，的“锦鲤函数”（1）已知二次函数，点为此抛物线上一点，求二次函数关于点的“锦鲤函数”解析式；（2）若，为二次函数任意一点，函数为二次函数上关于，的“锦鲤函数”，请判断函数与二次函数图象交点个数，请说明理由；（3）已知为抛物线上上的一点，若常数满足，求二次函数上关于的“锦鲤函数”图象与坐标轴所围成三角形面积的取值范围26（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，与轴交于，两点，与轴交于点，一次函数交轴于点，交二次函数于、两点（1）若，回答下列问题：请写出二次函数的解析式，对称轴是：；请判断的形状：；（2）如果是直角三角形且问：是定值吗？如果是，请
7、求出此定值并要有推导的过程；如果不是，也请说明理由或举出反例；若点在外接圆上，试确定，的值；已点关于原点的对称点在二次函数的图象上，记以、三点为顶点的三角形面积为，求的取值范围2019-2020学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共36分）1（3分）下列方程是一元二次方程的是ABCD【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；、
8、由原方程得到，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；故选：【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且特别要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点2（3分）下列银行标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：、是轴对称图形， 不是中心对称图形， 故此选项错误；、是轴对称图形， 也是中心对称图形， 故此选项正确；、是轴对称图形， 不是中心对
9、称图形， 故此选项错误；、不是轴对称图形， 不是中心对称图形， 故此选项错误 故选：【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识， 掌握中心对称图形与轴对称图形的概念： 轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 3（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是A任意三点可以确定一个圆B相等的圆心角所对的弧相等C平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D圆内接四边形对角互补【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论【解答】解：、不共线的三点确定一个圆，
10、故本选项不符合题意；、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意故选：【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键4（3分）关于一组数据： 1 ， 5 ， 6 ， 3 ， 5 ，下列说法错误的是A 平均数是 4B 众数是 5C 中位数是 6D 方差是 3.2【分析】分别求出这组数据的平均数、 中位数、 众数和方差， 再分别对每一项进行判断即可 【解答】解：、这组数据的平均数是，故本选项正确；、 5
11、出现了 2 次， 出现的次数最多， 则众数是 5 ，故本选项正确；、把这组数据从小到大排列为： 1 ， 3 ， 5 ， 5 ， 6 ，最中间的数是 5 ，则中位数是 5 ，故本选项错误；、这组数据的方差是：，故本选项正确；故选：【点评】本题考查平均数， 中位数， 方差的意义 平均数平均数表示一组数据的平均程度 中位数是将一组数据从小到大 （或 从大到小） 重新排列后， 最中间的那个数 （或 最中间两个数的平均数） ；方差是用来衡量一组数据波动大小的量 5（3分）观察下列每个图形及相应推出的结论，其中正确的是ABCD垂直平分【分析】根据圆周角定理对四个选项进行逐一分析即可【解答】解：、由圆心角、
12、弧、弦的关系可知，若的度数等于，则或280，故本选项错误；、因为不是在同圆或等圆中，所以，故本选项错误；、由圆心角、弧、弦的关系可知，若，则，故，故本选项正确；、由于不是直径，所以不能使用垂径定理，故本选项错误故选：【点评】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，在解答此类问题时要注意只有在同圆或等圆周圆周角定理才能使用6（3分）一元二次方程的两个根为，则的值为A2B6C8D14【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，可变形为，代入求值即可【解答】解：根据题意得：，故选：【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解题的关键7（3分）函数与的图象的不同之处是A对称轴B开口方
13、向C顶点D形状【分析】根据二次函数、相同，可得开口方向、形状、对称轴的关系，可得答案【解答】解：与，对称轴都是轴，开口方向都向上，形状相同，的顶点坐标是，的顶点坐标是，即它们的顶点坐标不同故选：【点评】本题考查了二次函数的图象，利用了函数图象与、的关系，相同函数的形状相同，开口方向相同8（3分）如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于ABCD【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，可求得的度数，再根据直角三角形的性质求出答案【解答】解：是的直径，故选：【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用9（3分）把抛物线先向上平移2个单位
14、，再向右平移2个单位，所得的抛物线的解析式为ABCD【分析】抛物线的顶点坐标为，向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点坐标为，根据顶点式可确定所得抛物线解析式【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，又平移不改变二次项系数，所得抛物线解析式为：故选：【点评】在寻找图形的平移规律时，往往需要把图形的平移规律理解为某个特殊点的平移规律10（3分）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是A第8秒B第10秒C第12秒D第15秒【分析】由炮弹在第7秒与第14秒时的高度
15、相等，将和代入求得和的关系，再求得即为所求结果【解答】解：由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将和代入求得和的关系： 又时，炮弹所在高度最高，将代入即可得：故选：【点评】本题考查了二次函数与实际的结合，运用二次函数的性质解决最值问题11（3分）若，则一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是ABCD【分析】根据，可以判断一次函数图象与轴的负半轴相交，根据选项可得只有、符合，再根据一次函数图象经过一三象限，判断出，所以二次函数图象开口向下，再利用二次函数的对称轴进行验证即可进行选择【解答】解：，一次函数图象与轴的负半轴相交，故排除、选项，、选项中，一次函数图象经过第一三象限，二次函数开口向上
16、，故选项不符合题意，时，对称轴，选项符合题意故选：【点评】本题考查了同一坐标系中一次函数图象与二次函数图象的关系，根据一次函数图象确定出、的正负情况是求解的关键12（3分）已知二次函数与一次函数交点关于原点对称，当时二次函数最小值是2，则的值是A1B1或3CD3或【分析】根据二次函数与一次函数交点关于原点对称，可以求得的值，然后根据当时二次函数最小值是2，即可求得的值，本题得以解决【解答】解：设二次函数与一次函数交点坐标为，则，解得，或，二次函数，当时二次函数最小值是2，当时，得，当时，得，由上可得，的值是3或，故选：【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数函数图象上点的坐标特征、二次函数的最
17、值、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答二、填空题（本大题共6小题，共18分）13（3分）分解因式：【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案完全平方公式：【解答】解：故答案为：【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底14（3分）函数中，自变量的取值范围是，且【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数；分式有意义的条件是：分母不为0【解答】解：，解得：，且【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法用到的知识点为：分式
18、有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数15（3分）点与点关于原点对称，则的值为0【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，根据这一结论求得，的值，再进一步计算【解答】解：根据题意，得，解得：，故可得故答案为：0【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆16（3分）如图，已知， 与关于点成中心对称，则的长是【分析】直接利用中心对称的性质得出，的长，进而利用勾股定理得出答案【解答】解： 与关于点成中心对称，在中，的长是：故答案为：【点评】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出，的长是解
19、题关键17（3分）已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是【分析】利用圆面积公式求出半径，再利用扇形的面积公式即可解决问题【解答】解：设底面圆的半径为由题意：，（负根已经舍弃），圆锥的侧面积，故答案为【点评】本题考查圆锥的计算，圆的面积公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型18（3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为9【分析】由正方形的边长为3，可得弧的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：，计算即可【解答】解：正方形的边长为3，弧的弧长，故答案为：9【点评】此题考查了扇形的面
20、积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式三、解答题（本题共8个小题，共66分，19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分）19（6分）解方程：（1）（2）【分析】（1）根据配方法以及直接开方法即可求出答案（2）根据公式法即可求出答案【解答】解：（1），或；（2），；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型20（6分）化简，求值：，其中【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：，当时，原式【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方
21、法21（8分）为了解某校九年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表： 频数分布表身高分组频数百分比515146总计（1）填空：10， ；（2）补全频数分布直方图；（3）该校九年级共有600名学生，估计身高不低于的学生大约有多少人？【分析】（1）根据表格中的数据可以求得调查的学生总数，从而可以求得的值，进而求得的值；（2）根据（1）中的的值可以补全频数分布直方图；（3）根据表格中的数据可以估算出该校九年级身高不低于的学生大约有多少人【解答】解：（1）由表格可得，调查的总人数为：，故答案为：10，；（2）补全的频数分布直方图如下图所示，（3）（人即该校九年级
22、共有600名学生，身高不低于的学生大约有240人【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件22（8分）如图，四边形是平行四边形，点在以为直径的上（1）若直线是的切线，求的度数；（2）在（1）的条件下，若的半径为1，求图中阴影部分的周长【分析】（1）根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到，过作于，求得，根据弧长公式得到的长，于是得到结论【解答】解：（1）直线是的切线，四边形是平行四边形，；（2）四边形是平行四边形，过作于，的长，图中阴影部分的周长【点评】
23、本题考查了切线的性质，弧长的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键23（9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某新能源汽车店的汽车销量自2017年起逐月增加据统计，该店1月份销售新能源汽车64辆，3月份销售了100辆（1）求该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为，两种型号已知型车的进价为12万元辆，售价为15万元辆，型车的进价为20万元辆，售价为25万元辆（根据销售经验，购进型车的数量不少于型车的2倍），假设所购进车辆能够全部售完，为
24、使利润最大，该店应购进，两种型号车各多少辆？最大利润为多少？【分析】（1）利用增长率公式得出方程求出答案；（2）利用种和种车的利润和等于总利润，进而得出答案【解答】解：（1）设该店从1月到3月的月均增长率为，由题意可得：，解得：，（不合题意舍去），答：该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率为；（2）设购进种车辆，则购进种车辆，设总利润为，由题意可得：，解得：，则化简得：，则随着的增加而减小，故当时，利润最大，将代入式中，可得利润最大值为：【点评】此题主要考查了二次函数以及一元二次方程的应用，正确表示出种和种车的利润是解题关键24（9分）如图，在平面直角坐标系中，的角平分线交的外接圆于点，
25、连接，为正半轴上一点（1）求的半径；（2）若，求证：；（3）若为的内心，求点到点的距离【分析】（1）由圆周角定理得出是的直径，由勾股定理得出，即可得出的半径；（2）由三角函数定义得出，得出，由圆周角定理得出，即可得出结论；（3）作的平分线交于，作于，则，为的内切圆半径，由勾股定理得出，由平行线得出，得出，求出，得出，得出，由相交弦定理求出，即可得出答案【解答】（1）解：，是的直径，的半径；（2）证明：，；（3）解：作的平分线交于，作于，如图所示：则，为的内心，为的内切圆半径，即，解得：，由相交弦定理得：，即，解得：，；即点到点的距离为【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、坐标与图形性质、圆周
26、角定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键25（10分）已知二次函数，点，为此抛物线上的一点，若函数满足以下两个条件：；（）函数的图象经过点，；我们就称函数为二次函数上关于，的“锦鲤函数”（1）已知二次函数，点为此抛物线上一点，求二次函数关于点的“锦鲤函数”解析式；（2）若，为二次函数任意一点，函数为二次函数上关于，的“锦鲤函数”，请判断函数与二次函数图象交点个数，请说明理由；（3）已知为抛物线上上的一点，若常数满足，求二次函数上关于的“锦鲤函数”图象与坐标轴所围成三角形面积的取值范围【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式
27、得：，则点，则，将点的坐标代入上式并解得：，即可求解；（2），将点的坐标代入：得：，解得：，将抛物线表达式与上式联立并整理得：，即可求解；（3），同理可得：，则，而，即可求解【解答】解：（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，则点，则，将点的坐标代入上式并解得：则二次函数上关于，的“锦鲤函数”为：；（2）将点的坐标代入抛物线表达式得：，将点的坐标代入：得：，解得：，将抛物线表达式与上式联立并整理得：，故：函数与二次函数图象交点个数为1个；（3），将点的坐标代入二次函数得：，将点的坐标代入一次函数得：，解得：，故一次函数表达式为：，一次函数与轴交点的坐标为：，与轴交点的坐标为，则，而：，故【点评】
28、本题考查的是二次函数综合运用，要求学生能用韦达定理处理复杂数据，这种定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解较为容易26（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，与轴交于，两点，与轴交于点，一次函数交轴于点，交二次函数于、两点（1）若，回答下列问题：请写出二次函数的解析式，对称轴是：；请判断的形状：；（2）如果是直角三角形且问：是定值吗？如果是，请求出此定值并要有推导的过程；如果不是，也请说明理由或举出反例；若点在外接圆上，试确定，的值；已点关于原点的对称点在二次函数的图象上，记以、三点为顶点的三角形面积为，求的取值范围【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；，即可求解；（2）设：，则
29、函数的表达式为：，则，则，即，则，即，则，而，即可求解；，圆的半径，点，故，即，而，即，解得：，故，则抛物线的表达式为：，则，即可求解；将点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，将、联立并整理得：，则，则，即可求解【解答】解：（1）函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：，函数的对称轴为；故答案为：，；，故答案为：直角三角形；（2）是定值，理由：设：，则函数的表达式为：，则，则，即，则，即，则，而，则；，则圆的半径，点，点在外接圆上，则，故，即，而，即，解得：，故，则抛物线的表达式为：，则，（正值已舍去），故，；关于原点的对称点，将点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，将、联立并整理得：，则，且，则，故有最小值，当时，其最小值为：，故【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、圆的基本知识，本题的难点在于：用韦达定理处理复杂数据
