1、2018-2019 学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）入学数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）1（3 分）大于2.5 而小于 3.5 的非负整数共有（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个2（3 分）下列运算正确的是（ ）A（xy） 2x 2y Ba 2+a2a 4Ca 2a3a 6 D（x y） 2x 2+2xyy 23（3 分）1261 年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c 的值分别为（ ）Aa1，b6，c15 Ba6，b15，c20Ca
2、15，b20，c 15 Da20， b15，c 64（3 分）下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D5（3 分）给出下列 4 个命题：圆内接四边形的对角互补；经过三个点一定可以作圆； 三角形的三条高所在直线一定相交于三角形内；三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，其中真命题有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6（3 分）如果 ab0，下列不等式中错误的是（ ）Aab0 Ba+b0 C 1 Dab07（3 分）一组数据：3，4，5，x，8 的众数是 5，则这组数据的方差是（ ）A2 B2.4 C2.8 D38（3 分）下列叙述正确的是（ ）A“
3、如果 a，b 是实数，那么 a+bb+a”是不确定事件B某种彩票的中奖概率为 ，是指买 7 张彩票一定有一张中奖C为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适D“某班 50 位同学中恰有 2 位同学生日是同一天”是随机事件9（3 分）某楼梯的侧面如图所示，已测得 BC 的长约为 3.5 米，BCA 约为 39，则该楼梯的高度 AB 可表示为（ ）A3.5sin29 B3.5cos29 C3.5tan29 D10（3 分）如图，三角形纸片 ABC，ABAC ，BAC 90，点 E 为 AB 中点沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕 EF 交 BC 于点 F已知 EF ，
4、则 BC 的长是（ ）A B C3 D11（3 分）如图，点 C 在反比例函数 y （x 0）的图象上，过点 C 的直线 x 轴、y 轴分别交于点 A、 B，且 ABBC，AOB 的面积为 2，则 k 的值为（ ）A2 B4 C6 D812（3 分）如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE，那么 DE 长的最小值是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）13（3 分） 的系数是 ，次数是 14（3 分）实数 2 的小数部分是 15（3 分）如果一个半径为 6 的扇形的面积
5、，与一个母线长 3，底面半径长 1 的圆锥的侧面积相等，那么这个扇形的圆心角为 16（3 分）一家商店将某种服装进价提高 50%标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件服装仍可获利20 元，则这种服装每件的进价是 元17（3 分）将矩形 ABCD 如图放置，若点 B 的坐标是（3，4），点 C 的坐标是（1，0），点D 的坐标是（5，3），则点 A 的坐标是 18（3 分）如图，在MON 中，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 OM 于点 A，交射线 ON 于点 B，再分别以 A、B 为圆心，OA 的长为半径作弧，两弧在 MON 的内部交于点 C，作射线 OC，若 OA5，AB 6，则点
6、B 到 AC 的距离为 三、解答题（共 46 分）19计算：1 2018+4cos45 20先化简，再求值：（ ） ，其中 a 是方程 x2+3x+10 的根21为了增强环境保护意识，6 月 5 日“世界环境日”当天，在环保局工作人员指导下，湖南广益实验中学若干名“环保小卫士”组成的“控制噪声污染”课题学习研究小组，抽样调查了全市40 个噪声测量点在某时刻的噪声声级（单位：dB），将调查的数据进行处理（设所测数据是正整数），得不完整频数分布表和频数分布直方图如下：组 别 噪声声级分组 频 数 频 率1 44.559.5 4 0.12 59.574.5 a 0.23 74.589.5 10 0.
7、254 89.5104.5 b c5 104.5119.5 6 0.15合 计 40 1.00根据表中提供的信息解答下列问题：（1）请补充全频数分布直方图；（2）如果全市共有 200 个测量点，那么在这一时刻噪声声级小于 75dB 的测量点约有 个（3）在噪声最小的四个监测点中，2 个在岳麓区，1 个在雨花区，1 个在芙蓉区，则四个监测点中任意选取 2 个监测点，刚好都来自于岳麓区的概率是多少？22如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E（1）证明：四边形 ACDE 是平行四边形；（2）若 AC8，BD6，求ADE
8、 的周长23某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件已知产销两种产品的有关信息如表：产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件）甲 6 a 20 200乙 20 10 40+0.05x2 80其中 a 为常数，且 3a5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为 y1 万元、y 2 万元，直接写出 y1、y 2 与 x 的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由24如图，在 RtABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 B
9、C、AB 相交于点 D、E，连接 AD，已知 CADB（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若B30，AC ，求劣弧 BD 与弦 BD 所围图形的面积（3）若 AC4，BD6，求 AE 的长25如图，已知二次函数 y（x+t ）（x1）（其中 0t1）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l，设 P 为对称轴 l 上的点，连接PA、 PC，PAPC（1）求ABC 的度数；（2）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q、B、C 为顶点的三角形与PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点 Q
10、的坐标；如果不存在，请说明理由26我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”（1）如图 1，在ABC 中，AC 8，BC 4，ACB 30，试判断ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由（2）已知ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”如图 2，作 ABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到 ABC，连结 AA交直线 BC 于点D若点 B 是AA C 的重心，求 的值如图 3，建立平面直角坐标系，抛物线 yax 2+bx+c（a0）经过 A、B、C 三点，顶点为 D，记 SBCD S 1，S ABCS 2，当 BCD
11、 为等边三角形时， 是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由2018-2019 学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）1（3 分）大于2.5 而小于 3.5 的非负整数共有（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个【分析】在数轴上表示出2.5 与 3.5 的点，由数轴的特点即可得出结论【解答】解：如图所示，由图可知，大于2.5 而小于 3.5 的非负整数是 0，1，2，3故选：B【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键2（3 分）下列运算正确的是（ ）A（xy） 2x 2y
12、 Ba 2+a2a 4Ca 2a3a 6 D（x y） 2x 2+2xyy 2【分析】直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、（xy） 2x 2y2，故此选项错误；B、a 2+a22a 2，故此选项错误；C、a 2a3a 5，故此选项错误；D、（xy） 2x 2+2xyy 2，正确故选：D【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3（3 分）1261 年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图
13、中的数字排列规律，则a，b，c 的值分别为（ ）Aa1，b6，c15 Ba6，b15，c20Ca15，b20，c 15 Da20， b15，c 6【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得 a、b、c 的值【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，a1+56，b51015，c10+1020，故选：B【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的4（3 分）下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即
14、可得解【解答】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意故选：A【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合5（3 分）给出下列 4 个命题：圆内接四边形的对角互补；经过三个点一定可以作圆； 三角形的三条高所在直线一定相交于三角形内；三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等
15、，其中真命题有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】直接利用圆有关的性质以及三角形的内外心分别分析得出答案【解答】解：圆内接四边形的对角互补，正确；经过三个点一定可以作圆，三点不在一条直线上，故此选项错误；三角形的三条高所在直线一定相交于三角形内，不一定，故此选项错误；三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，正确，故选：B【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键6（3 分）如果 ab0，下列不等式中错误的是（ ）Aab0 Ba+b0 C 1 Dab0【分析】根据不等式的性质分析判断【解答】解：A、如果 ab0，则 a、b 同是负数，因而 a
16、b0，故 A 正确；B、因为 a、b 同是负数，所以 a+b0，故 B 正确；C、ab0，则| a|b| ，则 1，也可以设 a2，b1 代入检验得到 1 是错误的故C 错误；D、因为 ab，所以 ab 0，故 D 正确；故选：C【点评】利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法7（3 分）一组数据：3，4，5，x，8 的众数是 5，则这组数据的方差是（ ）A2 B2.4 C2.8 D3【分析】根据数据的众数确定出 x 的值，进而求出方差即可【解答】解：一组数据 3，4，5，x，8 的众数是 5，x5，这组数据的平均数为 （3+4+5+5+8）5，则这组数据的方差为 （ 35） 2+（45） 2
17、+2（5 4） 2+（85） 22.8故选：C【点评】此题考查了方差，众数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键8（3 分）下列叙述正确的是（ ）A“如果 a，b 是实数，那么 a+bb+a”是不确定事件B某种彩票的中奖概率为 ，是指买 7 张彩票一定有一张中奖C为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适D“某班 50 位同学中恰有 2 位同学生日是同一天”是随机事件【分析】根据确定事件、随机事件的定义，以及概率的意义即可作出判断【解答】解：A、“如果 a，b 是实数，那么 a+bb+a”是必然事件，选项错误；B、某种彩票的中奖概率为 ，是指中奖的机会是 ，故选项错误；C、为了了解一批炮
18、弹的杀伤力，调查具有破坏性，应采用普查的抽查方式比较合适；D、正确故选：D【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件9（3 分）某楼梯的侧面如图所示，已测得 BC 的长约为 3.5 米，BCA 约为 39，则该楼梯的高度 AB 可表示为（ ）A3.5sin29 B3.5cos29 C3.5tan29 D【分析】解直角三角形求出 AB 即可【解答】解：在 RtABC 中，A90，BC
19、3.5 米，BCA39，ABBCsinACB3.5sin39，故选：A【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10（3 分）如图，三角形纸片 ABC，ABAC ，BAC 90，点 E 为 AB 中点沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕 EF 交 BC 于点 F已知 EF ，则 BC 的长是（ ）A B C3 D【分析】由折叠的性质可知BEAF45，所以可求出AFB90，再直角三角形的性质可知 EF AB，所以 AB AC 的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC 的长【解答】解：沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，BEAF
20、45，AFB 90，点 E 为 AB 中点，EF AB，EF ，ABAC3，BAC90，BC 3 ，故选：B【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出AFB 90是解题的关键11（3 分）如图，点 C 在反比例函数 y （x 0）的图象上，过点 C 的直线 x 轴、y 轴分别交于点 A、 B，且 ABBC，AOB 的面积为 2，则 k 的值为（ ）A2 B4 C6 D8【分析】根据题意可以设出点 A 的坐标，从而以得到点 C 和点 B 的坐标，再根据AOB 的面积为 2，即可求得 k 的值【解答】解：设点 A 的坐标为（a，0），过点 C 的直线与 x 轴
21、，y 轴分别交于点 A，B，且 ABBC，AOB 的面积为 1，点 C（a， ），点 B 的坐标为（0， ）， ，解得，k8，故选：D【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答12（3 分）如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE，那么 DE 长的最小值是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】利用等腰直角三角形的特点知道 ADCD，CEBE，ACDA45，ECBB 45
22、，DCE90利用勾股定理得出 DE 的表达式，利用函数的知识求出DE 的最小值【解答】解：在等腰 RtACD 和等腰 RtCBE 中 ADCD，CEBE，ACDA45，ECBB 45DCE90AD 2+CD2AC 2，CE 2+BE2CB 2CD 2 AC2，CE 2 CB2，DE 2DC 2+EC2，DE ，当 CB2 时，DE 的值最小，即 DE2故选：B【点评】此题考查了等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法，关键是利用等腰直角三角形的特点知道 ADCD，CEBE，ACDA45，ECBB45，DCE90解答二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）13（3 分） 的系数是 ，次数是
23、3 【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得答案【解答】解： 的系数是： ，次数是：3故答案为： ；3【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式相关定义14（3 分）实数 2 的小数部分是 2 【分析】根据无理数的估计解答即可【解答】解： ， ，实数 2 的小数部分是 2 ，故答案为：2 ，【点评】此题考查无理数的估计，关键是根据无理数的估计解答15（3 分）如果一个半径为 6 的扇形的面积，与一个母线长 3，底面半径长 1 的圆锥的侧面积相等，那么这个扇形的圆心角为 30 【分析】首先求得圆锥的侧面积，然后根据面积相等列出等式即可
24、求得圆心角的度数【解答】解：母线长 3，底面半径长 1 的圆锥的侧面积为 21323 设扇形的圆心角为 n，则： 3解得：n30，故答案为：30【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式：S lR圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径16（3 分）一家商店将某种服装进价提高 50%标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件服装仍可获利20 元，则这种服装每件的进价是 100 元【分析】设这种服装每件的成本价为 x 元，根据成本价（1+50%）0.8成本价利润列出方程，解方程就可以求出成本价【解答】解：设这种服装每件的成本价为 x 元，根据题意得：80%（1+50% ）xx20，
25、解得：x100答：这种服装每件的成本为 100 元故答案是：100【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解17（3 分）将矩形 ABCD 如图放置，若点 B 的坐标是（3，4），点 C 的坐标是（1，0），点D 的坐标是（5，3），则点 A 的坐标是 （3，7） 【分析】过 B 作 BEx 轴于 E，过 D 作 DFx 轴于 F，过 A 作 AHx 轴于 H，过 B 作 BGAH于 G，根据矩形的性质得到 HGBE，EBG90，ABCD，ABC90，求得ABGEBC，根据全等三角形的性质得到 AGDF，BGCF，于
26、是得到结论【解答】解：过 B 作 BEx 轴于 E，过 D 作 DFx 轴于 F，过 A 作 AHx 轴于 H，过 B 作BGAH 于 G，则四边形 BEHG 是矩形，HGBE，EBG 90，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ABC90，ABGEBC，EBC+ BCEBCE+DCF90，ABGDCF，在ABG 与DCF 中， ，ABGDCF（AAS ），AGDF ，BGCF，点 B 的坐标是（3，4），点 C 的坐标是（1，0），点 D 的坐标是（5，3），BE4，OC1，OF5， DF3，CF6，AHAG +GH3+47，OH633，A（3，7），故答案为：（3，7）【点评】本题考查了矩形
27、的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键18（3 分）如图，在MON 中，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 OM 于点 A，交射线 ON 于点 B，再分别以 A、B 为圆心，OA 的长为半径作弧，两弧在 MON 的内部交于点 C，作射线 OC，若 OA5，AB 6，则点 B 到 AC 的距离为 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点 B 到 AC 的距离，本题得以解决【解答】解：由题意可得，OC 为MON 的角平分线，OAOB ，OC 平分AOB，OCAB ，设 OC 与 AB 交于点 D
28、，作 BEAC 于点 E，AB6，OA 5，ACOA，OCAB，AC5，ADC90，AD3，CD4， ，解得，BE ，故答案为： 【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答三、解答题（共 46 分）19计算：1 2018+4cos45 【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项进行分母有理化，进而得到结果【解答】解：1 2018+4cos451+4 9+ 11+2 9+ 111+3 【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20先化简，再
29、求值：（ ） ，其中 a 是方程 x2+3x+10 的根【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到 a 的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式 + ，a 是方程 x2+3x+10 的根，a 2+3a+10，即 a2+3a 1，则原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键21为了增强环境保护意识，6 月 5 日“世界环境日”当天，在环保局工作人员指导下，湖南广益实验中学若干名“环保小卫士”组成的“控制噪声污染”课题学习研究小组，抽样调查了全市40 个噪声测量点在某时刻的噪声
30、声级（单位：dB），将调查的数据进行处理（设所测数据是正整数），得不完整频数分布表和频数分布直方图如下：组 别 噪声声级分组 频 数 频 率1 44.559.5 4 0.12 59.574.5 a 0.23 74.589.5 10 0.254 89.5104.5 b c5 104.5119.5 6 0.15合 计 40 1.00根据表中提供的信息解答下列问题：（1）请补充全频数分布直方图；（2）如果全市共有 200 个测量点，那么在这一时刻噪声声级小于 75dB 的测量点约有 60 个（3）在噪声最小的四个监测点中，2 个在岳麓区，1 个在雨花区，1 个在芙蓉区，则四个监测点中任意选取 2 个
31、监测点，刚好都来自于岳麓区的概率是多少？【分析】（1）用总数乘以 59.574.5 的频率求出 a，再用总人数减去其它段的频数求出 b；用 89.5104.5 的频数除以总数求出 c；ss（2）利用样本估计总体，样本中噪声声级小于 75dB 的测量点的频率是 0.3，乘以总数即可求解；（3）根据题意先画出树状图得出所以等情况数和都来自于岳麓区的情况数，然后根据概率公式求解即可【解答】解：（1）a400.28，b404810612，c12400.3补图如下：（2）根据题意得：200（0.1+0.2）60（个），答：在这一时刻噪声声级小于 75dB 的测量点约有 60 个；故答案为：60；（3）根
32、据题意画图如下：共有 12 种等情况数，其中都来自于岳麓区的有 2 种，则刚好都来自于岳麓区的概率是 【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，正确理解频数与频率成正比，频率分布直方图中长方形的高与频数即测量点数成正比，是解决问题的关键22如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E（1）证明：四边形 ACDE 是平行四边形；（2）若 AC8，BD6，求ADE 的周长【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ABCD，ACB
33、D，AECD，AOB 90，DEBD ，即EDB 90 ，AOBEDB，DEAC，四边形 ACDE 是平行四边形；（2）解：四边形 ABCD 是菱形，AC8，BD 6，AO4，DO3，ADCD5，四边形 ACDE 是平行四边形，AECD5，DEAC8，ADE 的周长为 AD+AE+DE5+5+818【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可23某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件已知产销两种产品的有关信息如表：产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件）甲 6 a 20 200乙 20 10
34、 40+0.05x2 80其中 a 为常数，且 3a5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为 y1 万元、y 2 万元，直接写出 y1、y 2 与 x 的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由【分析】（1）根据利润销售数量每件的利润即可解决问题（2）根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题（3）根据题意分三种情形分别求解即可：）（1180200a）440，（1180200a）440， （1180 200a）440【解答】解：（1）y 1（6a）x20，（0x 200）y210x400.05x 20.05 x
35、2+10x40（0x80）（2）对于 y1（6a）x 20，6a0，x200 时，y 1 的值最大（1180200a）万元对于 y20.05（x 100） 2+460，0x80，x80 时，y 2 最大值440 万元（3） 1180 200a440，解得 a3.7，1180200a 440，解得 a3.7，1180200a 440，解得 a3.7，3a5，当 a3.7 时，生产甲乙两种产品的利润相同当 3a3.7 时，生产甲产品利润比较高当 3.7a5 时，生产乙产品利润比较高【点评】本题考查二次函数、一次函数的应用，解题的关键是构建函数解决实际问题中的方案问题，属于中考常考题型24如图，在
36、RtABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC、AB 相交于点 D、E，连接 AD，已知 CADB（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若B30，AC ，求劣弧 BD 与弦 BD 所围图形的面积（3）若 AC4，BD6，求 AE 的长【分析】（1）连接 OD，由 ODOB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到13，求出4 为 90，即可证 AD 是 O 的切线；（2）连接 OD，作 OFBD 于 F，由直角三角形的性质得出 CD AC1，BC AC3，得出 BDBCCD2，由直角三角形的性质得出 DFBF BD1，OF BF ，得
37、出 OB2OF ，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果；（3）证明ACDBCA，得出 ，求出 CD2，由勾股定理得出 AD2 ，求出 AB4 ，再由切割线定理即可得出 AE 的长【解答】（1）证明：连接 OD，如图 1 所示：OBOD ，3B，B1，13，在 Rt ACD 中， 1+ 290，4180（2+3）90，ODAD ，则 AD 为 O 的切线；（2）解：连接 OD，作 OFBD 于 F，如图 2 所示：OBOD ， B30，ODB B30，DOB 120 ，C90，CADB 30，CD AC1，BC AC3，BDBCCD2，OFBD ，DFBF BD1，OF BF ，OB2OF
38、 ，劣弧 BD 与弦 BD 所围图形的面积扇形 ODB 的面积ODB 的面积 2 ；（3）解：CADB，CC ，ACDBCA， ，AC 2CDBCCD（CD +BD），即 42CD（CD+6 ），解得：CD2，或 CD8（舍去），CD2，AD 2 ， ， ，AB4 ，AD 是 O 的切线，AD 2AEAB，AE 【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、切割线定理、三角形面积公式等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题（3）的关键25如图，已知二次函数 y（x+t ）（x1）（其中 0t1）的图
39、象与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l，设 P 为对称轴 l 上的点，连接PA、 PC，PAPC（1）求ABC 的度数；（2）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q、B、C 为顶点的三角形与PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B，C 的坐标，进而可得出OBOC，在 RtBOC 中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出OBC45，此问得解；（2）由点 A，B 的坐标可得出抛物线的对称轴为直
40、线 x ，设点 P 的坐标为（ ，m），由 PAPC 可求出 m 的值，进而可得出点 P 的坐标，结合点 A，C 的坐标可得出PAC 为等腰直角三角形，分CBQ90或BCQ90两种情况考虑，利用等腰三角形的三线合一结合点 B，C 的坐标可得出点 Q 的坐标，由点 P，Q 的坐标利用两点间的距离公式可求出 PQ 的长，结合 PQ 的长取得最小值可得出 t 值，进而可得出结论【解答】解：（1）当 x0 时，y（x +t）（x1）t，点 C 的坐标为（0，t），OCt；当 y0 时，（x +t）（x1）0，解得：x 1t，x 21，点 B 的坐标为（t，0），点 A 的坐标为（1，0），OBt在 R
41、t BOC 中， OBOCt，OBC45，ABC45（2）点 C 的坐标为（0，t），点 A 的坐标为（1，0），抛物线的对称轴为直线 x 设点 P 的坐标为（ ，m）PAPC，（1 ） 2+（0m） 2（0 ） 2+（tm） 2，2mt+tt 20，m ，点 P 的坐标为（ ， ）又PA 2+PC2（1 ） 2+（0 ） 2+（0 ） 2+（t ） 21+t 2AC 2，APC90，PAC 为等腰直角三角形又OBCOCB45，点 Q 与原点 O 不重合，以 Q、B、C 为顶点的三角形与PAC 相似，分两种情况考虑：当 CBQ 90时，OCOQ，点 Q 的坐标为（0，t），此时 PQ ；当 B
42、CQ 90时，OB OQ，点 Q 的坐标为（t，0），此时 PQ 又PQ 取最小值，即 取得最小值，t ，点 Q 的坐标为（0， ）或（ ，0）综上所述：在坐标轴上存在点 Q（0， ）或（ ，0），使得以 Q、B、C 为顶点的三角形与PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理逆定理、两点间的距离、二次函数的最值以及相似三角形的判定，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点 B，C 的坐标；（2）分CBQ90或BCQ90两种情况，利用等腰三角形的性质求出点 Q 的坐标26我们定义：如果一个三角形
43、一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”（1）如图 1，在ABC 中，AC 8，BC 4，ACB 30，试判断ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由（2）已知ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”如图 2，作 ABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到 ABC，连结 AA交直线 BC 于点D若点 B 是AA C 的重心，求 的值如图 3，建立平面直角坐标系，抛物线 yax 2+bx+c（a0）经过 A、B、C 三点，顶点为 D，记 SBCD S 1，S ABCS 2，当 BCD 为等边三角形时， 是否为定值？如果是，求出这个定值；如果
44、不是，说明理由【分析】（1）如图 1，过点 A 作 AD直线 CB 于点 D，因为ACB30，AC8，所以AD AC4，因此 ADBC4即ABC 是“等高底”三角形；（2） 因为 ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底” ，所以 ADBC 因为ABC 与ABC 关于直线 BC 对称，所以ADC90，点 B 是AAC 的重心，所以 BC2BD，设BDx，则 ADBC2x，CD3x，由勾股定理求出 AC，然后计算比值；过点 D 作 DEx 轴于点 E抛物线 yax 2+bx+c（a0）经过 A、B、C 三点，顶点为 D，所以 BECE，因为 BCD 为等边三角形，所以 DE ，因为ABC 是“
45、等高底”三角形，BC 是“等底”，所以 AOBC，然后分别用 BC 表示 S1、S 2 的面积【解答】解：（1）如图 1，过点 A 作 AD直线 CB 于点 D，ADC 为直角三角形，ADC90，ACB30，AC8，AD AC4ADBC4即ABC 是“等高底”三角形（2） 如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，ADBCABC 与ABC 关于直线 BC 对称，ADC90点 B 是AA C 的重心，BC2BD设 BDx，则 ADBC2x，CD3x由勾股定理得 AC过点 D 作 DEx 轴于点 E抛物线 yax 2+bx+c（a0 ）经过 A、B、C 三点，顶点为 D，BECE，BCD 为等边三角形，DE ，A
