1、2019-2020 学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （1） 11 B （1）00 C|1|1 D（1）21 2 （3 分）在中，分式的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 3 （3 分）下列运算中，正确的是（ ） A2x33x36x6 B3x2+2x36x5 C （x2）3x5 D （ab）3a3b 4 （3 分）全球芯片制
2、造已经进入 10 纳米到 7 纳米器件的量产时代中国自主研发的第一 台 7 纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7 纳米就是 0.000000007 米数据 0.000000007 用科学记数法表示为（ ） A0.710 8 B710 8 C710 9 D710 10 5 （3 分）从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四 个相同的等腰梯形（如图甲） ，然后拼成一个平行四边形（如图乙） 那么通过计算两个 图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） Aa2b2（ab）2 B （a+b）2a2+2ab+b2 C （ab）2a22a
3、b+b2 Da2b2（a+b） （ab） 6 （3 分）已知 a8111，b2721，c931，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cabc Dbca 7 （3 分）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x1，ab， 5，x2+1，a，x+1 分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将 3a（x21） 第 2 页（共 24 页） 3b（x21）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A我爱学 B爱广益 C我爱广益 D广益数学 8 （3 分）若 1x3，则|x4|+的值为（ ） A2x5 B3 C52x D3 9 （3 分）如图，在ABCD 中，B
4、F 平分ABC，交 AD 于点 F，CE 平分BCD，交 AD 于 点 E，AB6，EF2，则 BC 长为（ ） A8 B10 C12 D14 10 （3 分）若ABC 三边长 a，b，c，满足+|ba1|+（c9）20，则ABC 是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 11 （3 分）已知关于 x 的分式方程的解是非负数，则 m 的取值范圈是（ ） Am5 Bm5 Cm5 且 m6 Dm5 且 m6 12 （3 分）如图，RtACB 中，ACB90，AB13cm，AC5cm，动点 P 从点 B 出发 沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运
5、动，设运动时间为 ts，当APB 为等腰三角形时，t 的值为 （ ） A或 B或 12 或 4 C或或 12 D或 12 或 4 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 18 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （3 分） 在平行四边形 ABCD 中， AC12， BD8， ADa， 那么 a 的取值范围是 第 3 页（共 24 页） 14 （3 分）使代数式有意义的 x 的取值范围是 15 （3 分）定义：a*b，则方程 2*（x+3）1*（2x）的解为 16 （3 分）如图，已知在 RtA
6、BC 中，ACB90，AB4，分别以 AC、BC 为直径作 半圆，面积分别记为 S1、S2，则 S1+S2等于 17 （3 分）将边长分别为 2a 和 a 的两个正方形按如图的形式摆放，图中阴影部分的面积 为 18 （3 分）如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知 道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 三、解答题：共三、解答题：共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （8 分）计算： （）0+（） 1 |1| 20 （8 分
7、）先化简后求值：当 m3 时，求代数式的值 21 （8 分）若在一个两位正整数 N 的个位数与十位数字之间添上数字 5，组成一个新的三 位数，我们称这个三位数为 N 的“广善数” ，如 34 的“广善数”为 354；若将一个两位 正整数 M 加 5 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“广美数” ，如 34 的“广美数” 第 4 页（共 24 页） 为 39 （1）26 的“广善数”是 ， “广美数”是 （2）求证；对任意一个两位正整数 A，其“广善数”与“广美数”之差能被 45 整除 22 （8 分）中国海军亚丁湾护航十年，中国海军被亚丁湾上来往的
8、各国商船誉为“值得信 赖的保护伞” 如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的 船队靠近，为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距 40 海里的 船队首（O 点）尾（A 点）前去拦截，8 分钟后同时到达 B 点将可疑快艇驱离已知甲直 升机每小时飞行 180 海里，航向为北偏东 25，乙直升机的航向为北偏西 65，求乙直 升机的飞行速度 （单位：海里/小时） 23 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 AD 上任意一 点，连接 EO 并延长，交 BC 于点 F，连接 AF，CE （1）求证：四边形 AFCE 是
9、平行四边形； （2）若DAC60，ADB15，AC6求出平行四边形 ABCD 的边 BC 上的高 h 的值 24 （8 分）全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂 家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空 气净化器的进价多 300 元，用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型空气净 化器的台数相同 （1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强，噪声小而更受消费者的欢迎商 社电器计划 A 型净化器的进货量不少于
10、20 台且是 B 型净化器进货量的三倍， 在总进货款 不超过 5 万元的前提下，试问有多少种进货方案？ 第 5 页（共 24 页） 25 （8 分）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平 方差如图 1，在ABC 中，AO 是 BC 边上的中线，AB 与 AC 的“广益值”就等于 AO2 BO2的值，可记为 AB ACOA2BO2 （1）在ABC 中，若ACB90，AB AC81，求 AC 的值 （2）如图 2，在ABC 中，ABAC12，BAC120，求 AB AC，BA BC 的值 （3）如图 3，在ABC 中，AO 是 BC 边上的中线，SABC2
11、4，AC8，AB AC64， 求 BC 和 AB 的长 26 （10 分）在平面直角坐标系中，已知 A（4，0） ，B（4，0） ，点 C，D 在 x 轴上方， 且四边形 ABCD 的面积为 32， （1）若四边形 ABCD 是菱形，求点 D 的坐标 （2）若四边形 ABCD 是平行四边形，如图 1，点 E，F 分别为 CD，BC 的中点，且 AE EF，求 AE+2EF 的值 （3）若四边形 ABCD 是矩形，如图 2，点 M 为对角线 AC 上的动点，N 为边 AB 上的动 点，求 BM+MN 的最小值 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年
12、级（上）学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（上） 期末数学试卷期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （1） 11 B （1）00 C|1|1 D（1）21 【分析】根据负整指数幂，可判断 A，根据非 0 的 0 次幂，可判断 B，根据负数的绝对值 是正数，可判断 C，根据相反数，可判断 D 【解答】解：A、 （1） 11，
13、故 A 错误； B、 （1）01，故 B 错误； C、|1|1，故 C 错误； D、（1）21，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任何非 0 数的 0 次 幂等于 1 2 （3 分）在中，分式的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含 有字母则不是分式 【解答】解：在中， 分式有， 分式的个数是 3 个 故选：B 【点评】本题主要考查分式的定义，注意 不是字母，是常数，所以象不是分式， 第 7 页（共 24 页） 是整式 3 （3 分）下列运算中，正确的是（ ） A2x
14、33x36x6 B3x2+2x36x5 C （x2）3x5 D （ab）3a3b 【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方法则以及合并同类项、同底数幂的乘法运算法则 进而得出答案 【解答】解：A、2x33x36x6，原计算正确，故此选项符合题意； B、3x2与 2x3不是同类项，并能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C、 （x2）3x6，原计算错误，故此选项不符合题意； D、 （ab）3a3b3，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A 【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及合并同类项、同底数幂的乘法运算等 知识，正确掌握运算法则是解题关键 4 （3 分）全球芯片制造已经进
15、入 10 纳米到 7 纳米器件的量产时代中国自主研发的第一 台 7 纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7 纳米就是 0.000000007 米数据 0.000000007 用科学记数法表示为（ ） A0.710 8 B710 8 C710 9 D710 10 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：数据 0.000000007 用科学记数法表示为 710 9 故选：C 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般
16、形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 5 （3 分）从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四 个相同的等腰梯形（如图甲） ，然后拼成一个平行四边形（如图乙） 那么通过计算两个 图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） 第 8 页（共 24 页） Aa2b2（ab）2 B （a+b）2a2+2ab+b2 C （ab）2a22ab+b2 Da2b2（a+b） （ab） 【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而 得到可以验证成立的公式 【解答】
17、解：由图 1 将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为 a b，即平行四边形的高为 ab， 两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积a2b2，乙的面积（a+b） （ab） 即：a2b2（a+b） （ab） 所以验证成立的公式为：a2b2（a+b） （ab） 故选：D 【点评】 本题主要考查了平方差公式， 运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键 本 题主要利用面积公式求证明 a2b2（a+b） （ab） 6 （3 分）已知 a8111，b2721，c931，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cabc Dbca 【分析】根据幂的乘方运算法则，把它们变为底数相
18、同的幂，再比较大小即可 【解答】解：a8111344，b2721363，c931362， 363362344， a、b、c 的大小关系是 bca 故选：D 【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 7 （3 分）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x1，ab， 5，x2+1，a，x+1 分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将 3a（x21） 3b（x21）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A我爱学 B爱广益 C我爱广益 D广益数学 【分析】将 3a（x21）3b（x21）因式分解得到 3（x+1） （x1） （ab） ，
19、再对应已 知的字即可 第 9 页（共 24 页） 【解答】解：3a（x21）3b（x21） 3（x21） （ab） 3（x+1） （x1） （ab） ， x1，ab，5，x2+1，a，x+1 分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广， 3（x+1） （x1） （ab）对应的信息可能是爱广益， 故选：B 【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行因式分解是解题的关键 8 （3 分）若 1x3，则|x4|+的值为（ ） A2x5 B3 C52x D3 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案 【解答】解：由题意可知：x40，x10， 原式（x4）+（x1） 3， 故选
20、：D 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则以及绝对值的 性质，本题属于基础题型 9 （3 分）如图，在ABCD 中，BF 平分ABC，交 AD 于点 F，CE 平分BCD，交 AD 于 点 E，AB6，EF2，则 BC 长为（ ） A8 B10 C12 D14 【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出ABFAFB，得出 AFAB6，同理 可证 DEDC6，再由 EF 的长，即可求出 BC 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，DCAB6，ADBC， AFBFBC， BF 平分ABC， ABFFBC， 则ABFAFB， 第 10 页（共 24
21、页） AFAB6， 同理可证：DEDC6， EFAF+DEAD2， 即 6+6AD2， 解得：AD10； 故选：B 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形 的性质，证出 AFAB 是解决问题的关键 10 （3 分）若ABC 三边长 a，b，c，满足+|ba1|+（c9）20，则ABC 是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】根据非负数的性质可求得三边的长，再根据勾股定理的逆定理可推出这个三角 形是直角三角形 【解答】 解： ABC 三边长 a， b， c 满足+|ba1|+ （c9） 20， 且 0，|ba
22、1|0， （c9）20 a+b810，ba10，c90， a40，b41，c9， 92+402412， ABC 是直角三角形 故选：C 【点评】此题主要考查学生对非负数的性质及勾股定理逆定理的综合运用 11 （3 分）已知关于 x 的分式方程的解是非负数，则 m 的取值范圈是（ ） Am5 Bm5 Cm5 且 m6 Dm5 且 m6 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出 m 的范围 即可 【解答】解：分式方程去分母得：m6x1， 解得：xm5， 由分式方程的解是非负数，得到 m50，且 m51， 第 11 页（共 24 页） 解得：m5 且 m6，
23、故选：C 【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本 题的关键 12 （3 分）如图，RtACB 中，ACB90，AB13cm，AC5cm，动点 P 从点 B 出发 沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运动，设运动时间为 ts，当APB 为等腰三角形时，t 的值为 （ ） A或 B或 12 或 4 C或或 12 D或 12 或 4 【分析】当ABP 为等腰三角形时，分三种情况：当 ABBP 时；当 ABAP 时； 当 BPAP 时，分别求出 BP 的长度，继而可求得 t 值 【解答】解：C90，AB13cm，AC5cm， BC12cm 当 BPBA
24、13 时，ts 当 ABAP 时，BP2BC24cm，t12s 当 PBPA 时，PBPAt cm，CP（12t）cm，AC5 cm， 在 RtACP 中，AP2AC2+CP2， （t）252+（12t）2，解得 ts 综上，当ABP 为等腰三角形时，ts 或 12s 或s， 故选：C 【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用 分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 18 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，AC12，BD8，ADa，那么 a
25、的取值范围是 2 a10 第 12 页（共 24 页） 【分析】由在平行四边形 ABCD 中，AC12，BD8，根据平行四边形的对角线互相平 分，即可求得 OA 与 OD 的长，然后由三角形的三边关系，求得 a 的取值范围 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AC12，BD8， OAAC6，ODBD4， ADa， a 的取值范围是：2a10 故答案为：2a10 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系注意平行四边形的对角 线互相平分 14 （3 分）使代数式有意义的 x 的取值范围是 x0 且 x 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解
26、：由题意得，x0 且 2x10， 解得 x0 且 x 故答案为：x0 且 x 【点评】 本题考查的知识点为： 分式有意义， 分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数 15 （3 分）定义：a*b，则方程 2*（x+3）1*（2x）的解为 x1 【分析】根据新定义列分式方程可得结论 【解答】解：2*（x+3）1*（2x） ， ， 4xx+3， x1， 经检验：x1 是原方程的解， 故答案为：x1 【点评】本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键 第 13 页（共 24 页） 16 （3 分）如图，已知在 RtABC 中，ACB90，AB4，分别以 AC、B
27、C 为直径作 半圆，面积分别记为 S1、S2，则 S1+S2等于 2 【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知 S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积 【解答】解：S1（）2AC2，S2BC2， 所以 S1+S2（AC2+BC2）AB22 故答案为：2 【点评】此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直 径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理 17 （3 分）将边长分别为 2a 和 a 的两个正方形按如图的形式摆放，图中阴影部分的面积为 2a2 【分析】阴影部分的面积等于两个正方形面积的和减去一个直角三角形的面积 【解答】解：S（2a）2+a23a2
28、a5a23a22a2， 阴影部分的面积为 2a2， 故答案为 2a2 【点评】本题考查整式的混合运算；熟练掌握正方形与三角形面积的求法，正确对整式 进行正确的运算是解题的关键 18 （3 分）如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知 道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 17 第 14 页（共 24 页） 【分析】画出图形，设菱形的边长为 x，根据勾股定理求出周长即可 【解答】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为 x， 在 RtABC 中， 由勾股定理：x2（8x）2+22， 解得：x， 4x17， 即
29、菱形的最大周长为 17 故答案为：17 【点评】本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方 程 三、解答题：共三、解答题：共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （8 分）计算： （）0+（） 1 |1| 【分析】 按照实数的运算法则依次计算： （） 01， （ ） 13， ， |1|1将其代入原式易得答案 【解答】解：原式1+313 【点评】本题考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它 的相反数；0 的绝对值是 0；互为相反数的绝对值相等 20 （8 分）先化简后求值：当 m3 时
30、，求代数式的值 【分析】直接利用分式的混合运算法则分别化简得出答案 【解答】解： 第 15 页（共 24 页） ， 当 m3 时，原式 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键 21 （8 分）若在一个两位正整数 N 的个位数与十位数字之间添上数字 5，组成一个新的三 位数，我们称这个三位数为 N 的“广善数” ，如 34 的“广善数”为 354；若将一个两位 正整数 M 加 5 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“广美数” ，如 34 的“广美数” 为 39 （1）26 的“广善数”是 256 ， “广美数”是 31 （2）求证；对任意一个两位
31、正整数 A，其“广善数”与“广美数”之差能被 45 整除 【分析】 （1）根据定义可求； （2）设 A 的十位数字是 x，个位数字是 y，分别求出 A 的“广善数”是 100x+50+y，A 的“广美数”是 10x+y+5，作差可得 45（2x+1） ，即可证明 【解答】解： （1）有定义可得：26 的“广善数”是 256，26 的， “广美数”是 26+531， 故答案为 256，31； （2）设 A 的十位数字是 x，个位数字是 y， 则 A 的“广善数”是 100x+50+y， A 的“广美数”是 10x+y+5， 100x+50+y（10x+y+5）90x+4545（2x+
32、1） ， 45（2x+1）能被 45 整除， A 的“广善数”与“广美数”之差能被 45 整除 【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式， 再由数的特点求解是解题的关键 22 （8 分）中国海军亚丁湾护航十年，中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信 赖的保护伞” 如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的 第 16 页（共 24 页） 船队靠近，为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距 40 海里的 船队首（O 点）尾（A 点）前去拦截，8 分钟后同时到达 B 点将可疑快艇驱离已知甲直 升机每小时飞行 180 海
33、里，航向为北偏东 25，乙直升机的航向为北偏西 65，求乙直 升机的飞行速度 （单位：海里/小时） 【分析】据已知条件得到ABO25+6590，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：甲直升机航向为北偏东 25，乙直升机的航向为北偏西 65， ABO25+6590， OA40，OB18024， AB32， 32240 海里， 答：乙直升机的飞行速度为每小时飞行 240 海里 【点评】本题考查了解直角三角形方向角问题，正确的理解题意是解题的关键 23 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 AD 上任意一 点，连接 EO 并延长，交 BC 于点 F，连接
34、 AF，CE （1）求证：四边形 AFCE 是平行四边形； （2）若DAC60，ADB15，AC6求出平行四边形 ABCD 的边 BC 上的高 h 的值 【分析】 （1）由“AAS”可证AOECOF，可得 OFOE，且 AOCO，即可得结论； （2）由锐角三角函数可求 h 的值 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC，AOCO 第 17 页（共 24 页） AEFCFE，EACFCA，且 AOCO AOECOF（AAS） OFOE，且 AOCO 四边形 AFCE 是平行四边形； （2）DAC60 sinDAC， hAC3 【点评】本题考查了平行四边形的判定的
35、应用，主要考查学生的理解能力和推理能力， 题目比较好，难度适中 24 （8 分）全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂 家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空 气净化器的进价多 300 元，用 7500 元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型空气净 化器的台数相同 （1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强，噪声小而更受消费者的欢迎商 社电器计划 A 型净化器的进货量不少于 20 台且是 B 型净化器进货量的三倍， 在
36、总进货款 不超过 5 万元的前提下，试问有多少种进货方案？ 【分析】 （1）设 B 型空气净化器的进价为 x 元，根据题意列出方程即可求出答案 （2）设 B 型号的进货量为 m 台，则 A 型号的进货量为 3m 台，根据题意列出不等式即可 求出答案 【解答】解： （1）设 B 型空气净化器的进价为 x 元， 则 A 型空气净化器的进价为（x+300）元， ， 解得：x1200， 经检验，x1200 是原方程的解， x+3001500， 答：一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为 1500 元和 1300 元 （2）设 B 型号的进货量为 m 台， 则 A 型号的进货量为 3m
37、 台， 第 18 页（共 24 页） ， 解得：m， m 是整数， m7 或 8， 当 m7 时，3m21， 当 m8 时，3m24， 答：共有两种进货方案 【点评】本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题 型 25 （8 分）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平 方差如图 1，在ABC 中，AO 是 BC 边上的中线，AB 与 AC 的“广益值”就等于 AO2 BO2的值，可记为 AB ACOA2BO2 （1）在ABC 中，若ACB90，AB AC81，求 AC 的值 （2）如图 2，在ABC 中，ABAC12，BAC120，求 A
38、B AC，BA BC 的值 （3）如图 3，在ABC 中，AO 是 BC 边上的中线，SABC24，AC8，AB AC64， 求 BC 和 AB 的长 【分析】 （1）根据勾股定理，利用新定义即可得出结论； （2）取 BC 的中点 O，连接 AO，求出 OB6，则可求出 AB AC，取 AC 的中点 D， 连接 BD，过点 B 作 BEAC 交 CA 的延长线于点 E，求出 BE，BD，则可求出 BA BC 的值； （3）作 BDCD，根据三角形 ABC 的面积求出 BD6，求出 OC，BC 的长，再求出 CD 和 AD 的长，则可求出答案 【解答】解： （1）如图 1，AO 是
39、BC 边上的中线， 第 19 页（共 24 页） ACB90， AO2OC2AC2， AB AC81， AO2OC281， AC281， AC9； （2）如图 2，取 BC 的中点 O，连接 AO， ABAC， AOBC， BAC120， ABC30， 在 RtAOB 中， 6， AB ACAO2BO23610872； 如图 3，取 AC 的中点 D，连接 BD， AC6， 过点 B 作 BEAC 交 CA 的延长线于点 E， BAE180BAC60， 第 20 页（共 24 页） ABE30， AB12， AE6， BE6 DEAD+AE12， 6， BA BCBD2CD2216； （3）作
40、 BDCD，如图 4， SABC24，AC8， 6， AB AC64，AO 是 BC 边上的中线， AO2OC264， OC2AO264， 又AC28264， OC2AO2AC2， AOC90， OA23， ， 在 RtBCD 中，16， ADCDAC168， 10 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，含 30的直角三角形的性质，等 第 21 页（共 24 页） 腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用 26 （10 分）在平面直角坐标系中，已知 A（4，0） ，B（4，0） ，点 C，D 在 x 轴上方， 且四边形 ABCD 的面积为 32， （1）若四边形 ABCD
41、是菱形，求点 D 的坐标 （2）若四边形 ABCD 是平行四边形，如图 1，点 E，F 分别为 CD，BC 的中点，且 AE EF，求 AE+2EF 的值 （3）若四边形 ABCD 是矩形，如图 2，点 M 为对角线 AC 上的动点，N 为边 AB 上的动 点，求 BM+MN 的最小值 【分析】 （1）如图 1，过 D 作 DHAB 于 H，根据已知条件得到 AB8，求得 DH4， 根据菱形的性质得到 ADAB8， 由勾股定理得到 AH4， 求得 OHAHOA44，于是得到 D（44，4） ； （2） 如图 2， 延长 EF 交 x 轴于 G， 根据平行线的性质得到CFBG， CEFFGB，
42、根据全等三角形的性质得到 EFFG，求得 EG2EF，过 E 作 EPx 轴于 P，设 D（a， 4）则 C（8+a，4） ，求得 E（4，4） ，得到 AP8，根据勾股定理得到 AE 4，根据相似三角形的性质得到 EG2，于是得到 AE+2EFAE+EG 6； （3）根据矩形的性质得到 ABCD8，ADBC4，求得 AC4， 作 B 关于 AC 的对称点 M，连接 BM交 AC 于 E，于是得到 BM2BE2 2，过 M作 MNAB 于 N 交 AC 于 M，则此时，BM+MN 的值最 第 22 页（共 24 页） 小，且 BM+MN 的最小值MN，根据相似三角形的性质得到 MN，于是得到
43、BM+MN 的最小值为 【解答】解： （1）如图 1，过 D 作 DHAB 于 H， A（4，0） ，B（4，0） ， OAOB4， AB8， 四边形 ABCD 的面积为 32 8DH32， DH4， 四边形 ABCD 是菱形， ADAB8， AH4， OHAHOA44， D（44，4） ； （2）如图 1，延长 EF 交 x 轴于 G， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB， CFBG，CEFFGB， CFBF， CEFBGF（AAS） ， EFFG，CEBG， EG2EF， 过 E 作 EPx 轴于 P， EPDH4， CDAB8， 设 D（a，4）则 C（8+a，4） ， 点 E
44、为 CD 的中点， E（4，4） ， AP8， 第 23 页（共 24 页） AE4， AEG90，AGAB+BG12， EG2， AE+2EFAE+EG6； （3）四边形 ABCD 是矩形， ABCD8，ADBC4， AC4， 作 B 关于 AC 的对称点 M，连接 BM交 AC 于 E， 则 BM2BE22， 过 M作 MNAB 于 N 交 AC 于 M， 则此时，BM+MN 的值最小，且 BM+MN 的最小值MN， MEMCEB90，BE，BC4， CE， CM2CE， AM， AM2AN2BM2BN2， （）2AN242（8AN）2， AN， MN， MN， BM+MN 的最小值为 第 24 页（共 24 页） 【点评】本题考查了四边形是综合题，菱形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质， 勾股定理，轴对称最小值问题，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题 的关键
