1、,第1讲 数列、等差数列与等比数列(小题),板块二 专题二 数 列,NEIRONGSUOYIN,内容索引,热点分类突破,真题押题精练,1,PART ONE,热点一 等差数列、等比数列的基本运算,热点二 等差数列、等比数列的性质,热点三 等差数列、等比数列的综合问题,热点四 数列的递推关系,热点一 等差数列、等比数列的基本运算,1.等差数列、等比数列的基本公式(nN*) 等差数列的通项公式：ana1(n1)d； 等比数列的通项公式：ana1qn1.,2.等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q； (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Snan2bn(a，b是常数
2、)的形式的数列为等差数列，通项公式为anpqn1(p，q0)的形式的数列为等比数列； (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.,例1 (1)(2019柳州模拟)已知点(n，an)在函数f(x)2x1的图象上(nN*).数列an 的前n项和为Sn，设bn 数列bn的前n项和为Tn.则Tn的最小值为_.,30,则bn 2n12， bn是首项为10，公差为2的等差数列， 由bn0，得n6.,解析 点(n，an)在函数y2x1的图象上， an2n1， an是首项为a11，公比q2的等比数列，,4,解析 数列an是正项等比数列且q1，
3、由a6a52a4，得q2q2， 解得q2(负根舍去).,跟踪演练1 (1)(2019上饶重点中学六校联考)已知等差数列an的首项a12，前n项和为Sn，若S8S10，则a18等于 A.4 B.2 C.0 D.2,解析 设等差数列an的公差为d， 由S8S10，得a9a100， 所以2a117d0，且a12，,解析 由正项等比数列an的前n项和为Sn，,易知q1时不成立，所以q1.,解析 因为a19，a51，,(3)已知等差数列an的前n项和为Sn，a19，a51，则使得Sn0成立的n的最大值为_.,9,令Sn0，得00成立的n的最大值为9.,热点二 等差数列、等比数列的性质,1.通项性质：若m
4、npq2k(m，n，p，q，kN*)，则对于等差数列，有amanapaq2ak，对于等比数列有amanapaq 2.前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列；对于等比数列有Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列(q1且m为偶数情况除外). (2)对于等差数列，有S2n1(2n1)an1.,例2 (1)(2019合肥模拟)已知正项等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，若a5a7 0，则S11的值为 A.11 B.12 C.20 D.22,又该数列为正项数列，可得a62， 所以由S2n1(2n1)an， 可得S1111a622.,解析 a1a2 019
5、1，,f(a2)f(a2 018)2，f(a1 009)f(a1 011)2，f(a1 010)1， 即f(a1)f(a2)f(a3)f(a2 019)21 00912 019.,(3)已知数列an的各项都为正数，对任意的m，nN*，amanamn恒成立，且a3a5a472，则log2a1log2a2log2a7_.,解析 令m1，amanamn， a1ana1n， 又an0，数列an为等比数列.,21,a40，a48， log2a1log2a2log2a7,跟踪演练2 (1)(2019鞍山模拟)等差数列an和bn的前n项和分别为Sn与Tn，若,A.2 B.4 C.6 D.8,解析 设数列an
6、的公比为q. 数列an是等比数列，,(3)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S1010，S30130，则S40等于 A.510 B.400 C.400或510 D.30或40,解析 正项等比数列an的前n项和为Sn， S10，S20S10，S30S20，S40S30也成等比数列， 10(130S20)(S2010)2， 解得S2040或S2030(舍)， 故S40S30270， S40400.,热点三 等差数列、等比数列的综合问题,解决数列的综合问题的失分点 (1)公式anSnSn1适用于所有数列，但易忽略n2这个前提；,例3 (1)已知Sn为等差数列an的前n项和，a3S518，a57
7、.若a3，a6，am成等比数列，则m_.,15,解析 设等差数列的公差为d，,所以an2n3，nN*.,所以2m327，所以m15.,(2)已知等差数列an的前n项和为Tn，a34，T627，数列bn满足bn1b1b2b3bn，b1b21，设cnanbn，则数列cn的前11项和S11等于 A.1 062 B.2 124 C.1 101 D.1 100,解析 设数列an的公差为d，,数列an的通项公式为ann1. 当n2时，bn1bnbn， bn12bn， 即数列bn从第二项起为等比数列， bn2n2(n2)，,分组求和可得数列cn的前11项和S11(23412)(1122229)772101
8、101.,跟踪演练3 (1)(2019黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列an的首项a13，且a2，a4，a7成等比数列，数列bn的前n项和Sn满足Sn2n(nN*)，数列cn满足cnanbn(nN*)，则数列cn的前3项和为 A.31 B.34 C.62 D.59,即(a13d)2(a1d)(a16d)， 由于a13，解得d1， 故ann2.当n2时， bnSnSn12n2n12n1， 当n1时，b1S1212，,故cn的前3项和为a1b1a2b2a3b332425434.,(2)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，g(9)9,10的因
9、数有1,2,5,10，g(10)5，那么g(1)g(2)g(3)g(22 0191) _.,解析 由g(n)的定义易知g(n)g(2n)， 且若n为奇数则g(n)n， 令f(n)g(1)g(2)g(3)g(2n1)， 则f(n1)g(1)g(2)g(3)g(2n11) 13(2n11)g(2)g(4)g(2n12),即f(n1)f(n)4n， 分别取n为1,2，n，并累加得,令n2 019，得：,热点四 数列的递推关系,由递推关系式求数列的通项公式常用的方法 (1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)； (2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用
10、累加法(适用于an1anf(n)型)、累乘法(适用于an1anf(n)型)、待定系数法(适用于an1panq型)求通项公式.,例4 (1)(2019上饶重点中学六校联考)设数列an满足a13，且对任意整数n，总有(an11)(1an)2an成立，则数列an 的前2 018项的和为 A.588 B.589 C.2 018 D.2 019,解析 因为(an11)(1an)2an，,因为a13，,即数列an是以4为周期的数列， 所以a1a2a2 018504(a1a2a3a4)a2 017a2 018,(2)(2019永州模拟)设x表示不超过x的最大整数，已知数列an中，a12，且an1 A.99
11、B.100 C.101 D.102,A.2nln n B.2n(n1)ln n C.2nnln n D.1nnln n,n分别用1,2,3，n1(n2)取代，,即an2nnln n(n2)， 又a12符合上式，故an2nnln n.,(2)(2019漳州模拟)已知数列an和bn首项均为1，且an1an(n2)，an1an，数列bn的前n项和为Sn，且满足2SnSn1anbn10，则S2 019等于,解析 由an1an(n2)，an1an可得an1an， 即数列an是常数列， 又数列an的首项为1，所以an1， 所以当SnSn10时，2SnSn1anbn10可化为2SnSn1bn10， 因为Sn
12、为数列bn的前n项和，,2,PART TWO,押题预测,真题体验,1.(2018全国，理，4)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于 A.12 B.10 C.10 D.12,真题体验,解析 设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，,将a12代入上式，解得d3， 故a5a1(51)d24(3)10.,2.(2017全国，理，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一
13、项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110,解析 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推.,设N是第n1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，,即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n最小为29，,解析 根据题意，设等差数列an的公差为d， 则S33a23(a1d)， 又由a11，S3a5，得3(1d)14d，解得d2， 则ama1(m1)d2m12 019， 解得m1 01
14、0.,押题预测,1.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a11，S3a5，am2 019，则m_.,1 010,解析 因为等差数列an中，点(n，an)(nN*)在经过点(4,8)的定直线l上， a48，,2.已知等差数列an中，若点(n，an)(nN*)在经过点(4,8)的定直线l上，则数列an的前7项和S7_.,56,(8n4)3n4,解析 设数列an的公比为q， 由题意易知q1. 等比数列an中，a3a18，,所以Snb1b2b3bn2bn1bn， Sn16130231332(n2)3n3(n1)3n2n3n1， 3Sn16131232333(n2)3n2(n1)3n1n3n， 两式相减得,Sn8n3n43n4， 故Sn(8n4)3n4.,本课结束,
