1、,第2讲 数列求和及数列的简单应用(大题),板块二 专题二 数 列,NEIRONGSUOYIN,内容索引,热点分类突破,真题押题精练,热点二 数列的证明问题,热点一 等差、等比数列基本量的计算,热点二 数列的证明问题,热点三 数列的求和问题,1,PART ONE,热点一 等差、等比数列基本量的计算,解决有关等差数列、等比数列问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略.,例1 (2019六安市第一中学模拟)已知正数数列an的前n项和为Sn，满足 SnSn1
2、(n2)，a11. (1)求数列an的通项公式；,an0，an10，anan11(n3).,因此n2时，anan11成立. 数列an是等差数列，公差为1. an1n1n.,(2)设bn(1an)2a(1an)，若bn是递增数列，求实数a的取值范围.,解 bn(1an)2a(1an)(n1)2a(n1)， bn是递增数列， bn1bnn2an(n1)2a(n1) 2na10， 即a12n恒成立，a1. 实数a的取值范围是(1，).,跟踪演练1 (2019乐山调研)已知等差数列an中，a25，a1，a4，a13成等比数列. (1)求数列an的通项公式；,解 设等差数列an的公差为d， 则a15d，
3、a452d，a13511d， 因为a1，a4，a13成等比数列， 所以(52d)2(5d)(511d)，化简得d22d，则d0或d2， 当d0时，an5. 当d2时，a15d3， an3(n1)2 2n1(nN*). 所以，当d0时，an5(nN*)； 当d2时，an2n1(nN*).,(2)求数列an的前n项和Sn.,解 由(1)知，当an5时，Sn5n.,热点二 数列的证明问题,判断数列是否为等差或等比数列的策略 (1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断； (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即
4、可.,例2 已知an是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与 的等差中项.,当n2时，有anSnSn1，代入式得 2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，,又当n1时，由式可得a1S11(负值舍去)，,(2)求数列an的通项公式；,数列an的各项都为正数，,又a1S11满足上式，,当n为奇数时，,当n为偶数时，,跟踪演练2 已知Sn为数列an的前n项和，且满足Sn2ann4. (1)证明：Snn2为等比数列；,证明 原式可转化为 Sn2(SnSn1)n4(n2)， 即Sn2Sn1n4， 所以Snn22Sn1(n1)2. 由S12a114， 得S13，所以S1124， 所以Snn2
5、是首项为4，公比为2的等比数列.,(2)求数列Sn的前n项和Tn.,解 由(1)知Snn22n1， 所以Sn2n1n2， 所以Tn(22232n1)(12n)2n,热点三 数列的求和问题,1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消.常见的裂项方式有：,2.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，那么求数列anbn的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：等比数列的公比为负数的情形；在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“SnqSn”的表达式.,例3 (20
6、19河南省九师联盟模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足Sn (nN*).数列bn的前n项和为Tn，且满足Tn2bn(nN*). (1)求数列an和bn的通项公式；,解得a23或a21. 若a21，则d2，所以a33.,故a21不合题意，舍去.故a23， 所以等差数列an的公差da2a12，故an2n1. 数列bn对任意正整数n满足Tn2bn. 当n1时，b1T12b1，解得b11； 当n1时，bnTnTn1(2bn)(2bn1)bn1bn，,跟踪演练3 (2019济宁模拟)等差数列an的公差为正数，a11，其前n项和为Sn；数列bn为等比数列，b12，且b2S212，b2S310.
7、(1)求数列an与bn的通项公式；,解 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，,ann，nN*，bn2n，nN*.,(2)设cnbn ，求数列cn的前n项和Tn.,2,PART TWO,押题预测,真题体验,(2019全国，理，19)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4. (1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；,真题体验,由题设得4(an1bn1)4(anbn)8， 即an1bn1anbn2. 又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列.,(2)求an和bn的通项公式.,解 设数列an的公差为d，因为a7a210， 所以5d10，解得d2. 因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以 a1a21， 即(a152)2a1(a1202)，解得a15. 所以an2n3.,押题预测,已知数列an为等差数列，a7a210，且a1，a6，a21依次成等比数列. (1)求数列an的通项公式；,本课结束,
