1、第 1 页 共 7 页 实际问题与二次函数实际问题与二次函数知识讲解（提高）知识讲解（提高） 【学习目标】【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题； 2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模 型； 3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、列二次函数解应用题要点一、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数 后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量
2、有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出 等量关系(即函数关系) (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确 (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函 数 (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案 (6)写出答案 要点诠释：要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物 线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数 关系式. 要点二、建立二次
3、函数模型求解实际问题要点二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数 关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题 要点诠释：要点诠释： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中 存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究 实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 首先必须了解二次函数的基本性质； 学会从实际问题中建立二
4、次函数的模型； 借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、何时获得最大利润何时获得最大利润 1. . 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况 进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价 y1(元)与销售月份 x (月)满足关系式 1 3 36 8 yx ， 而其每千克成本 2 y(元)与销售月份 x(月)满足的函数关系如图所示 第 2 页 共 7 页 (1)试确定 b，c 的值； (2)求出这种水产品每千克的利润 y(元)与销售月份 x(月)之间的函数关系式；(不要求指出 x 的取 值范围) (3)“五一”之前，几月份
5、出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】 （1）把(3，25)，(4，24)代入 2 2 1 8 yxbxc中，得 1 9325, 8 1 16424. 8 bc bc 解方程组得 15 , 8 59 . 2 b c (2)根据题意，得 2 12 311559 36 8882 yyyxxx 2 311559 36 8882 xxx 2 1313 822 xx 所以 y 与 x 的函数关系式为 2 1313 822 yxx (3)由(2)得， 2 1 (6)11 8 yx ，因为 1 0 8 a ，所以当 x6 时，y 随 x 的增大而增大，所 以“五一”之前，四月份出售
6、这种水产品每千克的利润最大，最大利润为 10.5 元 【总结升华】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中 的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不 周而造成错解 举一反三：举一反三： 【变式】变式】某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不 高于每件 70 元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如 图） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根 据题意判
7、断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本） 第 3 页 共 7 页 【答案】 （1）设y与x的函数关系式为：ykxb（k0）， 函数图象经过点（60，400）和（70，300） bk bk 70300 60400 解得 1000 10 b k 100010 xy （2）)100010)(50(xxP 50000150010 2 xxP（50x70） 75 20 1500 2 a b ，10a0 函数50000150010 2 xxP图象开口向下， 对称轴是直线 x=75 50x70，此时 y 随 x 的增大而增大, 当 x=70 时，6000 最大值 P. 类型二、利
8、用二次函数解决抛物线形建筑问题类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题 2. 某大学的校门如图所示，是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 米，两侧距地面 4 米高 处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，你能计算出大学校门的高吗? 【思路点拨】 因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知 数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求大门的高 【答案与解析】 解：以拱门所在平面与地平面的交线为 x 轴，以拱门的对称轴为 y 轴建立直角坐标系(如图所示)， D、E 为铁环 则 A(-4，0)，B(4，0)，D(-3，4)
9、，E(3，4) 第 4 页 共 7 页 设抛物线的解析式为 2 yaxc A(-4，0)，D(-3，4)在抛物线上 160, 94. ac ac 解得 4 , 7 64 . 7 a c 2 464 77 yx ，当0x时， 64 7 y ， 64 7 OC 即校门的高为 64 7 m 【总结升华】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条 件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系 式；(5)利用关系式求解问题 类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 3. 如图
10、所示，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距 离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为 3.05 m，若该 运动员身高 1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是 多少? 【答案与解析】 解：如图所示，在直角坐标系中，点 A(1.5，3.05)表示篮筐，点 B(0，3.5)表示球运行的最大高度， 点 C 表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5， 第 5 页 共 7 页 设 C 点的纵坐标为 n，过点 C、B、A 所在的抛物线的解析式为 2 ()ya xh
11、k，由于抛物线开口 向下，则点 B(0，3.5)为顶点坐标， 2 3.5yax 抛物线 2 3.5yax经过点 A(1.5，3.05)， 3.05a1.5 2+3.5， 1 5 a 抛物线解析式为 2 1 3.5 5 yx 2 1 ( 2.5)3.5 5 n ， n2.25 球出手时，球员跳离地面的高度为 2.25-(1.8+0.25)0.20(米) 【总结升华】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利 用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已 知条件，得到实际问题的解 举一反三：举一反三： 【变式】变式】某校九年
12、级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 9 20 m，与篮圈中 心的水平距离为 7m，当球出手后水平距离为 4m 时到达最大高度 4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈 距地面 3m。 （1）建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1m，那么他能否获 得成功？ 【答案】 （1）根据题意可知，抛物线经过（0， 9 20 ） ，顶点坐标为（4，4） ，则可设其解析式为 第 6 页 共 7 页 ya（x4） 24，解得 a 9 1 . 则所求抛物线的解析式为 y 9 1 （
13、x4） 24. 又篮圈的坐标是（7，3） ， 代入解析式，y 9 1 （74） 243. 所以能够投中. （2）当 x1 时，y3，此时 3.13，故乙队员能够拦截成功. 类型四、类型四、最大面积是多少最大面积是多少 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以 AD 为直径的半圆 O，下部是一个矩形 ABCD (1)当 AD4 米时，求隧道截面上部半圆 O 的面积； (2)已知矩形 ABCD 相邻两边之和为 8 米，半圆 O 的半径为 r 米 求隧道截面的面积 S(m) 2关于半径 r(m)的函数关系式(不要求写出 r 的取值范围)； 若 2 米CD3 米，利用函数图象求隧道截面的面积 S
14、 的最大值( 取 3.14，结果精确到 0.1 米) 【思路点拨】 根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式； 利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值 【答案与解析】 (1)2S 半圆 (米 2 )； (2)AD2r，AD+CD8，CD8-AD8-2r， 222 111 2 (82 )416 222 SrADCDrrrrr 由知，CD8-2r，又1.2 米CD3 米， 28-2r3，2.5r3 由知， 2 1 416 2 Srr 2 2 864 2.43162.43 4 2.432.43 rr -2.430，函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴 8 3.3 2
15、.43 r ， 又 2.5r3，由函数图象知，在对称轴左侧 S 随 r 的增大而增大，故当 r3 时，S 有最大值 2 1 4316 3 2 S 最大 1 3.14494826.1 2 (米 2 ) 第 7 页 共 7 页 【总结升华】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用 配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积 举一反三：举一反三： 【变式】变式】如图，用 18 米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子，窗子的宽不能超过 2 米. 为使透进的 光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米？ 【答案】设窗子的宽为 x m，透光面积 y m 2. xxy9 2 3 2 （0x2） 3 2 a b x不在 0x2 范围内 由函数图象可知：当 x=2 时，y最大=12 当宽为 2 m，长为 6 m 时，透进的光最多. 注：利用图象在端点处找最值.
