1、 第 1 页 共 7 页 圆的对称性圆的对称性知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这 些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等 弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、 弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其 它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要
2、点梳理】【要点梳理】 要点要点一一、圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 要点诠释：要点诠释： 圆具有旋转不变的特性即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合 要点二、要点二、与圆有关的概念与圆有关的概念 1.1. 弦弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释：要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是O 的直径，CD 是O 中任意一条弦，求证：
3、ABCD. 证明：证明：连结 OC、OD AB=AO+OB=CO+ODCD(当且仅当 CD 过圆心 O 时，取“=”号) 直径 AB 是O 中最长的弦. 2. 弧弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释：要点诠释： 第 2 页 共 7 页 半圆是弧，而弧不一定是半圆； 无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3 3. .等弧等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释：要点诠释： 等弧
4、成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； 圆中两平行弦所夹的弧相等. 要点要点三三、垂径定理垂径定理 1.1.垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.2.推论推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释：要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 要要点点四四、垂径定理的拓展垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3
5、）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧， 在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意： “过圆心、平分弦”作为题设时，平 分的弦不能是直径） 要点要点五五、弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系 1 1. .圆心角与弧的关系圆心角与弧的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 2 2. . 圆心角、弧、弦的关系圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
6、量都分别相等 要点诠释：要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 3 3. . 圆心角的度数与圆心角的度数与它所对的弧的度数相等它所对的弧的度数相等. . 第 3 页 共 7 页 【典型典型例题】例题】 类型一、应用类型一、应用垂径定理进行计算与证明垂径定理进行计算与证明 1如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB6 cm，OD4 cm，则 DC 的长为（ ） A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm 【答案】D； 【解析】连 OA，由垂径定理知 1 3cm 2 ADAB， 所以在 RtAOD
7、 中， 2222 435AOODAD（cm） 所以 DCOCODOAOD541（cm）. 【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，O 中，弦 AB弦 CD 于 E，且 AE=3cm，BE=5cm，求圆心 O 到弦 CD 距离。 【答案】1cm 2如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ） 第 4 页 共 7 页 AMP 与 RN 的大小关系不定 BMPRN CMPRN DMPRN 【答案】B； 【解析】比较线段 MP 与 RN 的大小关系，首先可通过测量猜测 MP 与 RN 相等， 而
8、证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证OMPONR， 如果联想到垂径定理，可过 O 作 OEMN 于 E，则 MENE，PERE， MEPENERE，即 MPRN 【总结升华】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”. 举一反三：举一反三： 【变式变式】 已知： 如图， 割线 AC 与圆 O 交于点 B、 C， 割线 AD 过圆心 O. 若圆 O 的半径是 5， 且30DAC ， AD=13. 求弦 BC 的长. 【答案】6. 类型二、类型二、垂径定理的综合应用垂径定理的综合应用 3 如图 1， 某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)， 其跨度为 24m， 拱的半径为 13m， 则
9、拱高为 （ ） 第 5 页 共 7 页 A5m B8m C7m D5 3m 【思路点拨】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂 径定理（推论）及勾股定理求解. 【答案】B； 【解析】如图 2， AB表示桥拱，弦 AB 的长表示桥的跨度，C 为AB的中点， CDAB 于 D，CD 表示拱高，O 为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知， C、D、O 三点共线，且 OC 平分 AB 在 RtAOD 中，OA13，AD12，则 OD 2OA2AD213212225 OD5， CDOCOD1358，即拱高为 8m 【总结升华】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数
10、学问题，即能够把题目中的已知条件和要求 的问题转化为数学问题中的已知条件和问题 4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点 O 是的圆心，其中 CD=600m，E 为 上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径 【答案与解析】 如图，连接 OC， 设弯路的半径为 R，则 OF=(R-90)m， OECD， CF= 1 2 CD= 1 2 600=300(m)， 第 6 页 共 7 页 根据勾股定理，得：OC 2=CF2+OF2 即 R 2=3002+(R-90)2 ，解得 R=545， 这段弯路的半径为 545m 【总结升华】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解
11、题过程中使用了列方程的方法，这种用代 数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握 举一反三：举一反三： 【变式变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 AB=60m，水面到拱顶距离 CD=18m， 当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过 3m 时拱桥就有危险，现在水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？ 请说明理由 【答案】不需要采取紧急措施 设 OA=R，在 RtAOC 中，AC=30，OC=OD-CD=R-18， R 2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324， 解得 R=34(m). 连接 OM，设 DE=x，在 RtMOE 中，ME=16， 34 2=
12、162+(34-x)2， x 2-68x+256=0， 解得 x1=4，x2=64(不合题意，舍)， DE=4m3m， 不需采取紧急措施 类型类型三三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 5. 如图，AB 是O 的直径，BC、CD、DA 是O 的弦，且 BC=CD=DA，求BCD 的度数. 【思路点拨】由已知可得，弦 BC、CD、DA 三等分半圆，从而不难求得BCD 的度数 【答案与解析】 第 7 页 共 7 页 解：由题意知，弦 BC、CD、DA 三等分半圆， 弦 BC 和 CD 和 DA 对的圆心角均为 60， BCD=120 【总结升华】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为 180 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，中弦 AB=CD，求证：AD=BC. 【答案】 证法 1：AB=CD，(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等) 证法 2：如图，连接 OA，OD，OB，OC， AB=CD，(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等) AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)
