1、教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年 级 初二 上课时间 单击此处输 入日期。 学 科 数学 课题名称 整式方程 知识模块：代数方程知识模块：代数方程 整式方程 代数方程 无理方程 分式方程 高次方程 二次方程 一次方程 整式方程 有理方程 （1）如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程; （2）一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程;其中次 数n大于 2 的方程统称为一元高次方程,简称高次方程. 【例 1】判断下列关于x的方程，哪些是一元整式方程 2 56 3 x x ； 3 259xx； 3 1 0xx x ； 78
2、=0xy； 23 270xa x ； 3 5 2 270(1) 21 x xxb b （a、b为常数） 【答案】 【例 2】解关于x的方程：5 xaaxb 提示：解含字母系数的一元一次方程时，应先将原方程化为“axb”的形式，再针对题目具体情况加 以分类讨论 【答案】【答案】 当5a时， 5 5 ab x a ； 当5,25ab 时方程有无穷多解； 当5a、25b时，方程无解 【例 3】解关于x的方程： 2 20xxa 提示：解含字母系数的一元二次方程主要有两种方法：(1)公式法，但运用公式之前必须对于一元二次 方程根的判别式即进行讨论；(2)配方法，应先将原方程化为“ 2 axb”的形式，再
3、针对a、b同号 还是异号进行讨论，需要时，还要考虑0a的情况， 【答案】当a1 时，原方程无解， 【例 4】若关于 x 的方程 22 (21)10m xmx 有两个实数根，求 m 的取值范围。 【答案】当 1 0 4 mm 且 时，方程有两个不等实数根 【例 5】 现有两个正方形， 其中小正方形的边长比大正方形的边长小 4 cm， 已知大正方形周长的a倍(00)之和等于 50 cm，求两个正方形各自的边长 【答案】这两个正方形的边长分别为 258 22 a ab cm 和 258 22 b cm ab . 知识模块：知识模块：二项方程二项方程 （1）二项方程：如果一元 n 次方程的一边只有含未
4、知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这 样的方程就叫做二项方程. 一般形式： 关于 x 的一元 n 次二项方程的一般形式为 是正整数）nbabaxn, 0, 0(0 注 n ax =0（a0）是非常特殊的 n 次方程，它的根是 0. 这里所涉及的二项方程的次数不超过 6 次. （2）二项方程的解法： 将方程0bax n 变形为 n b x a .当 n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，当 n 为偶数时，如 果 ab0,那么方程没有实数根。 【例 6】在下列方程中，不是二项方程的为 ( ) (A) 5 1x (B) 6 xx (C) 3 1 30 9 x (D) 4 160x 【答案】B
5、 【例 7】解下列关于x的方程： (1) 2 212xx; (2) 32 55xxx 提示：(1)、(2)小题用因式分解法求解. 【答案】(1) 123 0,1,2xxx ； (2) 123 5,1,1xxx 知识模块：知识模块：特殊的高次方程特殊的高次方程 （1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.一般形式：)0(0 24 acbxax 注 ： 当常数项不是 0 时，规定它的次数为 0. （2）解双二次方程的基本思想：解高次方程的基本思想是降次，使其转化为一元一次方程或者一元二 次方程，降次通常采用换元法或因式分解法。 （3）解双二次方程的一般过程： 换元，设 2 xy，则原方程变为
6、关于 y 的一元二次方程 2 0(a0)aybyc 运用公式法、因式分解等方法解一元二次方程 回代 【例 8】 下列方程中 42 3100xx; 42 60xx； 3 12160xx; 422 651xxx 是双二次方程的有 【答案】 【例 9】解方程： 42 4320xx 提示：换元法是解本类题的主要思想 【答案】 12 2 2,2 2xx 【例 10】解下列关于x的方程： (1) 42 780xx； (2) 2 22 8120xxxx； 【分析】(1)、(2)小题主要用换元法求解； 【答案】(1) 12 2 2,2 2xx； (2) 1234 1,2,2,3xxxx . (3) 【例 11
7、】已知 32 2210xxx ，求 2 1xx的值. 【答案】1. 【例 12】已知方程 42 150xxmxn有两个根是1和 2，求m、n的值，并求其余两个根. 【答案】 12 10,24,3,4mnxx . 【例 13】解下列关于x的方程： 2 22 8120xxxx； 【答案】 1234 1,2,2,3xxxx . 【例 14】关于x的方程42mxxn ，分别求当m、n为何值时，原方程(1)有唯一解； (2)有无数 多解；(3)无解 【答案】24mxn (1)当20m即m2 时，方程有唯一解 4 2 n x m ； (2)当20m且40n，即2m且4n时，方程有无数多解； (3)当20m
8、且40n，即2m且4n时，方程无解. 【习题 1】如果方程中只有 个未知数，且方程两边都是关于未知数的 ，那么这个 方程叫一元整式方程 【答案】一；整式 【习题 2】已知关于x的方程 22 4220axax，当a 时，它是一元一次方程； 当a 时，它是一元二次方程 【答案】=2；2 【习题 3】关于x的一元n次二项方程的一般式为 【答案】0 n axb（0,0ab，n是正整数） 【习题 4】已知二项方程0 n xm（m 是正数） ，则当n为奇数时，方程 实数根；当n为偶数 时，方程 实数根 【答案】有一个；没有 【习题 5】 2 80x 是一元 次二项方程，它的解为 【答案】二；2 2 【习题
9、 6】 3 380x 是一元 次二项方程，它的解为 【答案】三； 3 2 9 3 x 【习题 7】若关于x的 4 00,0axbab有一根为1x，那么它的解为 【答案】1x 【习题 8】关于x的双二次方程的一般式为 ，解双二次方程常用的方法 是 【答案】 42 00axbxca；换元法 【 习 题9 】 用 换 元 法 解 方 程 42 5240xx时 ， 若 设 2 xy， 那 么 原 方 程 可 化 为 ，这是关于 y 的一元 次方程 【答案】 2 5240yy；二 【习题 10】判断下列关于x的方程，哪些是整式方程？这些整式方程分别是一元几次方程？ 32 230xx 1 532bxx b
10、 2 1 x x 4 640x 2 1 2xa x 42 690xx 【答案】方程是整式方程；其中方程是一元三次方程；方程是一元一次方程；方程是一 元六次方程；方程是一元四次方程 【习题 11】解关于x方程：34b x. 【答案】0b时， 43b x b ；0b时，无实数根. 【习题 12】解关于x的方程： （1）332x axx （2） 2 231axax 【答案】 （1）0a时，无解；0a时， 2a x a ； （2）1a 时，无解；1a时，解为一切实数；1a时， 21 1 a x a . 【习题 13】解下列方程： （1） 42 560xx （2） 42 2950yy 【答案】 （1）
11、1234 2,2,3,3xxxx （2） 12 22 , 22 yy . 【习题 14】解下列关于x的方程： （1） 22 120xx； （2） 42 414xx . 【答案】 （1） 1234 1,1,2,2xxxx； （2） 1234 22 , 22 xxxx . 【习题 15】解关于x的方程：(1)0axb； (2) 222 00,0abxabxabab 【答案】(1)当0a时，原方程有唯一解 b x a ； 当0,0ab时，原方程无解； 当0,0ab时，原方程有无穷多解 (4) 12 , ba xx ab 【习题 16】用换元法解下列方程： （1） 2 22 220yy； （2） 2 23 8120xxxx. 【答案】 （1）2,3y ； （2）1,3, 2x .
