1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第12讲-图形的相似授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度； 掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度； 掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明； 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题； 理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质（二）平行线分线段成比例定理 1.两
2、条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：= ，等等。3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DEBC，则有（四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边
3、对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DEBC，则ADEABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知1=B，则由公共角A得，ADEABC （2）如下左图，已知1=B，则由公共角A得，ADCACB （3）如下右图，已知B=D，则由对顶角1=2得，ADEABC 3、旋转型：已知BAD=CAE，B=D，则ADEABC， 右图为常见的基本图形 4、母子型：已知ACB=90，ABCD，则CBDABCACD 5、斜交型： 如图：其中1=2
4、，则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC)，如果ACAB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个。（七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似
5、三角形面积的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高：根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高（九）图形的位似 1、位似图形的定义：位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2、图形位似的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。*位似图形对应线段的比等于相似比； *位似图形的对应角都相等；*位似图形对应点连
6、线的交点是位似中心； *位似图形面积的比等于相似比的平方；*位似图形高、周长的比都等于相似比； *位似图形对应边互相平行或在同一直线上。考点一：成比例线段与平行线分线段成比例例1、已知，（1）求的值； （2）如果，求x的值【解析】（1）令=k，则x=2k，y=3k，z=4k，原式的值是1；（2）x=2k，y=3k，z=4k，=yz，x+3=（yz）2，解得k=1或k=3（舍去），x=2例2、如图，ACBD，AD、BC相交于E，EFBD，求证：+=【解析】ACBD，EFBD，=1，+=考点二：三角形相似的条件例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD则图中相似
7、三角形的对数是（）A1 B2 C3 D4【解析】有三对相似三角形，RtABERtDEF，RtABERtEBF，RtEBFRtDEF 故选C例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0t6），那么当t为何值时，APQ与ABD相似？说明理由【解析】设AP=2tcm，DQ=tcm，AB=12cm，AD=6cm，AQ=（6t）cm，A=A， 当 =时，APQABD，=，解得：t=3；当 =时，APQADB，=，解得：t=1.2当t=3或1.2时
8、，APQ与ABD相似考点三： 利用三角形相似测高例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A3.25m B4.25m C4.45m D4.75m【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，BD=0.96，树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子
9、的比值和树高与其影子的比值相同得，x=4.45，树高是4.45m故选C例2、如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高【解析】ABBH，CDBH，EFBH，ABCDEF，CDGABG，EFHABH，=，=，CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，=，=，=，解得BD=52，=，解得AB=54答：建筑物的高为54
10、米考点四：相似三角形的性质与位似 例1、一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长【解析】如图所示四边形PQMN是矩形，BCPQ，APQABC，由于矩形长与宽的比为3：2，分两种情况：若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则，解得：k=2，PQ=6cm，PN=4cm；PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则，解得：k=，PN=cm，PQ=cm；综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm例2、ABC经过一定的运
11、动得到A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，A1B1C1放大为A1B2C2，如果ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在A1B2C2中的对应点P2的坐标为（）A（a+3，b+2） B（a+2，b+3）C（2a+6，2b+4） D（2a+4，2b+6）【解析】A1B1C1是由ABC通过平移得到的，其平移规律是右移三个单位后，再上移2个单位，所以点P移到P1的坐标为（a+3，b+2）A1B2C2是由三角线A1B1C1通过位似变换得到的，所以在A1B2C2上的各点坐标，都做了相应的位似变换，即乘以了2点P1的对应点P2的坐标为（2a+6，2b+4）故选CP(P
12、ractice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、已知，则的值是（）A B C D【解析】D2、如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则这样的P点共有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】设AP=x，则有PB=ABAP=7x，当PDACPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当PDAPCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C3、如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DEAC，AE、CD相交于点O，若SDOE：SCOA=1：25，则SBDE与SCDE的比是（）A1：3 B1：4 C1：5 D1：2
13、5【解析】B4、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（）A第4张 B第5张 C第6张 D第7张【解析】正方形中平行于底边的边是4，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则 =，解得x=5，所以另一段长为255=20，因为204=5，所以是第5张故选：B5、如图，直线l1l2l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，ACB=90，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离
14、为3，则的值为（）A B C D【解析】如图，作BFl3，AEl3，ACB=90，BCF+ACE=90，BCF+CFB=90，ACE=CBF，在ACE和CBF中，ACECBF，CE=BF=3，CF=AE=4，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，AG=1，BG=EF=CF+CE=7AB=5， l2l3，=DG=CE=，BD=BGDG=7=，=故选A6、如图所示，RtABC中，已知BAC=90，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作ADE=45，DE交AC于点E（1）求证：ABDDCE；（2）当ADE是等腰三角形时，求AE的长【解析】（1）B=C=45EDC=BAD
15、ABDDCE（2）讨论：若AD=AE时，DAE=90，此时D点与点B重合，不合题意若AD=DE时，ABD与DCE的相似比为1，此时ABDDCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=ACEC=2BD=2（22）=42若AE=DE，此时DAE=ADE=45，如下图所示易知ADBC，DEAC，且AD=DC由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=17、如图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，连接PB、AB，PBA=C（1）求证：PB是O的切线；（2）连接OP，若OPBC，且OP=8，O的半径为2，求BC的长【解析】（1）证明：连接OB， AC是O的直径，ABC=90，C+BAC=90
16、，OA=OB，BAC=OBA，PBA=C，PBA+OBA=90，即PBOB，PB是O的切线；（2）解：O的半径为2，OB=2，AC=4，OPBC，C=BOP，又ABC=PBO=90，ABCPBO，即，BC=28、如图所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x（1）当x为何值时，PQBC；（2）当，求的值；（3）APQ能否与CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由【解析】（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30
17、3x；=；x=（2）SBCQ：SABC=1：3；CQ：AC=1：3，CQ=10cm；时间用了秒，AP=cm，由（1）知，此时PQ平行于BC；APQABC，相似比为，SAPQ：SABC=4：9；四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S四边形PQCB=SABC，又SBCQ：SABC=1：3，即SBCQ=SABC，SBPQ=S四边形PQCBSBCQSABCSABC=SABC，SBPQ：SABC=2：9=（3）假设两三角形可以相似情况1：当APQCQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有=解得x=，经检验，x=是原分式方程的解此时AP=cm，情况2：当APQCBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有=
18、解得x=5，经检验，x=5是原分式方程的解此时AP=20cm综上所述，AP=cm或AP=20cm 课后反击1、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A（3，2） B（3，1） C（2，2） D（4，2）【解析】相似比为，=，BG=6，AD=BC=2， ADBG，OADOBG，=，=，解得：OA=1，OB=3，C点坐标为：（3，2），故选：A2、如图，ACBD，AD与BC交于点E，过点E作EFBD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（）A= B= C+=1 D=【解析】
19、D3、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（）A3cm B2.5cm C2.3cm D2.1cm【解析】D4、如图，在ABC与ADE中，BAC=D，要使ABC与ADE相似，还需满足下列条件中的（）A= B= C= D=【解析】C5、2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块RtABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若C=30，AB=10cm，则该矩形BDE
20、F的面积最大为（）A4cm3 B5cm3 C10cm3 D25cm3【解析】RtABC中，C=30，AB=10cm，BC=10cmEFBC，AEF=C=30，设EF=x，则AF=x，BF=10x，S矩形BDEF=BDBF=x（10x）=x2+10x（0x10），当x=5时，S最大=25cm2故选D6、兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A9.5米 B10
21、.75米 C11.8米 D9.8米【解析】根据题意可构造相似三角形模型如图：延长FE交AB于G，则RtABCRtAGF，AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.5GF=0.5AG又GF=GE+EF，BD=GE GF=4.6 AG=9.2AB=AG+GB=9.5，即树高为9.5米故选A7、已知：如图，在RtABC中，C=90，BD平分ABC，交AC于点D，经过B、D两点的O交AB 于点E，交BC于点F，EB为O的直径（1）求证：AC是O的切线；（2）当BC=2，cosABC=时，求O的半径【解析】（1）证明：如图，连结ODOD=OB1=2BD平分ABC，1=32=3 ODBCADO=C=90
22、ODACOD是O的半径，AC是O的切线 （2）解：在RtACB中，C=90，BC=2，cosABC=， 设O的半径为r，则AO=6rODBC，AODABC解得 O的半径为8、在直角梯形OABC中，CBOA，COA=90，CB=3，OA=6，BA=分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请
23、说明理由【解析】（1）作BHx轴于点H，则四边形OHBC为矩形，OH=CB=3，AH=OAOH=63=3，在RtABH中，BH=6，点B的坐标为（3，6）；（2）作EGx轴于点G，则EGBH，OEGOBH，又OE=2EB，=，OG=2，EG=4，点E的坐标为（2，4），又点D的坐标为（0，5），设直线DE的解析式为y=kx+b，则，解得k=，b=5，直线DE的解析式为：y=x+5；（3）答：存在；如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形作MPy轴于点P，则MPx轴，MPDFOD，又当y=0时，x+5=0，解得x=10，F点的坐标为（10，0），OF=10，在RtODF中，F
24、D=5，MP=2，PD=，点M坐标为（2，5+），点N坐标为（2，）；如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形延长NM交x轴于点P，则MPx轴点M在直线y=x+5上， 设M点坐标为（a，a+5），在RtOPM中，OP2+PM2=OM2，a2+（a+5）2=52，解得：a1=4，a2=0（舍去），点M的坐标为（4，3），点N的坐标为（4，8）；如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，yM=yN=OP=，xM+5=，xM=5，xN=xM=5，点N的坐标为（5，），综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1（2，
25、），N2（4，8），N3（5，）（其它解法可参照给分）直击中考1、【2011深圳】如图，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ）A：1 B：1 C5：3 D不确定【解析】连接OA、OD，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，AOBC，DOEF，EDO=30，BAO=30，OD：OE=OA：OB=：1，DOE+EOA=BOA+EOA即DOA=EOB，DOAEOB，OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1故选：A2、【2016深圳】如图，CB=CA，ACB=90，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延
26、长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S四边形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正确的结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【解析】D3、【2008深圳】如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且AB=AD=AO（1）求证：BD是O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BEF的面积为8，cosBFA=，求ACF的面积【解析】（1）证明：连接BO（2）C=E，CAF=EBF，ACFBEFAC是O的直径ABC=90，在RtBFA中，cosBFA=，又SBEF=8 SACF=184、【2013深圳】如图1，直
27、线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m0，n0）（1）m为何值时，OAB面积最大？最大值是多少？（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值（3）在（2）的条件下，将OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0t10）【解析】SAOB=m2+10m=（m10）2+50；a=0，抛物线的开口向下，m=10时，S最大=50；（2）m=10，m+n=20，n=10，A（10，0），B（0，10），设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，y=x+10
28、，设SOCD=8a则SOAC=a，SOBD=SOAC=a，SAOB=10a，10a=50，a=5，SOAC=5，OAy=5，y=11=x+10，x=9C（9，1），1=，k=9；（3）移动后重合的部分的面积是OCD，t秒后点O的坐标为O（t，0），OA=10t，OE=10CDCD，OCDOCD，S=40，（0t10）S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 成比例线段 2、 平行线分线段成比例3、 三角形相似的条件 4、 利用三角形相似测高5、相似三角形的性质与位似 名师点拨 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型，掌握对应的性质，并多加练习和总结，是解决本章内容的关键；对于动点类的题，以不变的数量关系，列方程解决，克服畏难心理是前提；对于中考当中的综合题，三角形相似是求解未知线段长度的一种重要方法。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是17
