1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第08讲-二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握二次函数的定义、图像与性质、三种表达式及最值等综合应用问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识概念(一) 二次函数的定义一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数注意：1、二次项系数a0；yax2bxc(a，b，c是常数，a0)叫做二次函数的一般式；2、ax2bxc必须是整式；3、一次项、常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零； x的取值范
2、围是全体实数(二) 二次函数的图像与性质1、二次函数图像的基本性质二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)图象(a0)(a0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x直线x顶点坐标增减性当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小最值当x时，y有最小值当x时，y有最大值2、二次函数图像的平移 方法一： 总结：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）总结：概括成八个字“左加右减，上加下减” 3、二次函数的图象与各项系数之
3、间的关系 （1） 二次项系数的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小（2）一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置， “左同右异”。 （3） 常数项：决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的(三) 二次函数的表达式1、一般式：（，为常数，）；2、顶点式：（，为常数，）；3、两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.使用条件：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式(四) 二次函数的应用解题
4、一般方法步骤（先构造二次函数模型）：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值(五) 二次函数与一元二次方程（1）二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就变成了ax2bxc0(a0)（2）ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标（3）当0时，有两个不同的交点；当0时，有一个交点；当c0时，抛物线与x轴没有交点考点一： 二次函数的定义例1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A3 B3 C+3 D0【解析】B例2、下列函数关系中，可以
5、看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是（）A在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D圆的周长与半径之间的关系【解析】C考点二： 二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A B C D【解析】C例2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1下列
6、结论：abc0； 4a+2b+c0 ；4acb28a ；a；bc其中含所有正确结论的选项是（）A B C D【解析】函数开口方向向上，a0；对称轴在y轴右侧ab异号，抛物线与y轴交点在y轴负半轴，c0，abc0，故正确；图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x=1，图象与x轴的另一个交点为（3，0），当x=2时，y0，4a+2b+c0，故错误；图象与x轴交于点A（1，0），当x=1时，y=（1）2a+b（1）+c=0，ab+c=0，即a=bc，c=ba，对称轴为直线x=1=1，即b=2a，c=ba=（2a）a=3a，4acb2=4a（3a）（2a）2=16a208a04acb28a故正确图
7、象与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间，2c123a1，a；故正确a0，bc0，即bc；故正确；故选：D例3、若抛物线y=x22x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）Ay=（x2）2+3 By=（x2）2+5 Cy=x21 Dy=x2+4【解析】相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，原抛物线图象的解析式应变为y=（x1+1）2+23=x21，故答案为C考点三： 二次函数的表达式例1、把二次函数y=x2x+3配方化为y=a（xh）2+k形式（）Ay=（x2）2+2 By=（x2）2+4 C
8、y=（x+2）2+4 Dy=（x1）2+3【解析】C例2、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）Ay=x2+2x+4 By=x2+2x+4Cy=x22x+4 Dy=x2+2x+3【解析】A考点四： 二次函数的应用例1、将抛物线y=x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y=x+b与此新图象的交点个数的情况有（）种A6 B5 C4 D3【解析】B例2、某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFB
9、CG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A B C D【解析】SAEF=AEAF=x2，SDEG=DGDE=1（3x）=，S五边形EFBCG=S正方形ABCDSAEFSDEG=9x2=x2+x+，则y=4（x2+x+）=2x2+2x+30，AEAD，x3，综上可得：y=2x2+2x+30（0x3）故选：A例3、某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个若销售单价每降低1元，每月可多售出2个据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系：月产销量y（
10、个）160200240300每个玩具的固定成本Q（元）60484032（1）写出月产销量y（个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系式；（3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？【解析】（1）设y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式，得得，产销量y（个）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y=2x+860（2）设Q=，将Q=60，y=160代入得到m=9600，此时Q=（3）
11、当Q=30时，y=320，由（1）可知y=2x+860，所以x=270，即销售单价为270元，由于=，成本占销售价的（4）若y400，则Q，即Q24，固定成本至少是24元，4002x+860，解得x230，即销售单价最低为230元考点五：二次函数与一元二次方程例1、已知抛物线y=ax22x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限【解析】D例2、如图，一段抛物线y=x（x3）（0x3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，得到一条“波
12、浪线”若点P（41，m）在此“波浪线”上，则m的值为（）A2 B2 C0 D【解析】BP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）A B C D【解析】A2、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有下列结论：abc0；b24ac0；4a2b+c0；b=2a则其中结论正确的是（）A B C D【解析】B3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中，成立的个数是（）abc0；a+b+c0；a+cb；aA1 B2 C3 D4【解析】成立；故选
13、B4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（2，0），（x1，0），且1x12，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：abc；2a+c0；4a+c0；2ab+10其中正确结论的个数为（）A1 B2 C3 D4【解析】D5、如图是抛物线y=ax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间则下列结论：ab+c0；3a+b=0；b2=4a（cn）；一元二次方程ax2+bx+c=n1有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【解析】当x=1时，y0，即ab+c0，所以正确；抛物线的对称轴为直线
14、x=1，即b=2a，3a+b=3a2a=a，所以错误；抛物线的顶点坐标为（1，n），=n，b2=4ac4an=4a（cn），所以正确；抛物线与直线y=n有一个公共点，抛物线与直线y=n1有2个公共点，一元二次方程ax2+bx+c=n1有两个不相等的实数根，所以正确故选C6、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：b0；ab+c0；阴影部分的面积为4；若c=1，则b2=4a正确的是（）A B C D【解析】抛物线开口向上，a0，又对称轴为x=0，b0，结论不正确；x=1时，y0，ab
15、+c0，结论不正确；抛物线向右平移了2个单位，平行四边形的底是2，函数y=ax2+bx+c的最小值是y=2，平行四边形的高是2，阴影部分的面积是：22=4，正确；=2，c=1，b2=4a，正确综上，结论正确的是：故选D7、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（
16、3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围【解析】（1）根据题意得解得k=1，b=120所求一次函数的表达式为y=x+120（2）W=（x60）（x+120）=x2+180x7200=（x90）2+900，抛物线的开口向下，当x90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60x60（1+45%），60x87，当x=87时，W=（8790）2+900=891当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元（3）由W500，得500x2+180x7200，整理得，x2180x+77000，而方程x2180x+7700=0的解为 x1=
17、70，x2=110即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=x2+180x7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60元/件x87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件x87元/件8、如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）作CHx轴，H为垂
18、足，CH=1，半径CB=2，BCH=60，ACB=120（2）CH=1，半径CB=2 ；HB=，故A（1，0），B（1+，0）（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）设抛物线解析式y=a（x1）2+3，把点B（1+，0）代入上式，解得a=1；y=x2+2x+2（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形PCOD且PC=ODPCy轴，点D在y轴上又PC=2，OD=2，即D（0，2）又D（0，2）满足y=x2+2x+2，点D在抛物线上存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分 课后反击1、在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax
19、2+5x+b的图象可能是（）A BCD【解析】C2、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为x=1给出四个结论：b24ac；2a+b=0；ab+c=0；5ab其中正确结论是（）A B C D【解析】B3、己知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：ab+c0； 方程ax2+bx+c=0的两根之和大于零y随x的增大而增大； 一次函数y=ax+bc的图象一定不过第二象限其中正确的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】错误；故选C4、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；ba+c；4a
20、+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b）（m1的实数）其中正确的结论有（）A2个 B3个 C4个 D5个【解析】开口向下，a0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c0，则abc0，所以不正确；当x=1时图象在x轴下方，则y=ab+c=0，即a+c=b，所以不正确；对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c0，所以正确；x=1，则a=b，而ab+c=0，则bb+c=0，2c=3b，所以不正确；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m1）时，y=am2+bm+c，则a+b+cam2+bm+c，即a+bm（am+b）（m
21、1），所以正确故选：A5、已知二次函数y=kx2+（2k1）x1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1x2），则对于下列结论：当x=2时，y=1；当xx1时，y0；方程kx2+（2k1）x1=0有两个不相等的实数根x1、x2；x11，x21；，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）【解析】6、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论：4acb2；方ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3；3a+c0；当y0时，x的取值范围是1x3；当x0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A4个 B3个 C2个
22、D1个【解析】抛物线与x轴有2个交点，b24ac0，所以正确；抛物线的对称轴为直线x=1，而点（1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3，所以正确；x=1，即b=2a，而x=1时，y=0，即ab+c=0，a+2a+c=0，所以错误；抛物线与x轴的两点坐标为（1，0），（3，0），当1x3时，y0，所以错误；抛物线的对称轴为直线x=1，当x1时，y随x增大而增大，所以正确故选B7、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等（1）该工艺品每件的进价、标
23、价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？【解析】（1）设该工艺品每件的进价是x元，标价是y元依题意得方程组：解得：故该工艺品每件的进价是155元，标价是200元（2）设每件应降价a元出售，每天获得的利润为W元依题意可得W与a的函数关系式：W=（45a）（100+4a），W=4a2+80a+4500，配方得：W=4（a10）2+4900，当a=10时，W最大=4900故每件应降价10元出售，每天获得的利润最大，最大
24、利润是4900元8、如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A（4，0）、B（1，0）、C（2，6）（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗？（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标【解析】（1）经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=x23x+4；（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为y=2x+2故可得点E的坐标为（0，2），从而可得：AE=2，CE=2， 故得出AE=
25、CE； （3）若ABFABC，则，即AB2=BFBC，A（4，0），D（0，4），lAD：y=x+4，lBC：y=2x+2，lAD与lBC的交点F（，），AB=5，BF=，BC=3，AB2=25，BFBC=3=25，AB2=BFBC，又ABC=ABC，ABFABC （4）由（3）知：KAE=，KCE=2，KAEKCE=1，AECE，过C点作直线AE的对称点C，点E为CC的中点，C（2，6），E（0，2），CX=2，CY=2，D（0，4），lCD：y=3x+4，lAE：y=x+2，lCD与lAE的交点P（，） 直击中考1、【2016赤峰】函数y=k（xk）与y=kx2，y=（k0），在同一坐标系
26、上的图象正确的是（）A B C D【解析】C2、【2016兰州】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1，有以下结论：abc0；4acb2；2a+b=0；ab+c2其中正确的 结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【解析】正确；正确；b=2a，2ab=0，所以错误；x=1对应的y值是最大值，ab+c2，所以正确故选C3、【2015深圳】如图1，关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点A（3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请
27、说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2SFBC=3SEBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由【解析】（1）二次函数y=x2+bx+c经过 点A（3，0），点C（0，3），解得，抛物线的解析式y=x22x+3，（2）存在，当P在DAB的平分线上时，如图1，作PMAD，设P（1，m），则 PM=PDsinADE=（4m），PE=m，PM=PE，（4m）=m，m=1，P点坐标为（1，1）；当P在DAB的外角平分线上时，如图2，作PNAD，设P（1，n），则PN=PDsinADE=（4n），PE=n，PN=PE，（4n）=n，n=1，P点坐标为（1，1）；综上可知存在满足
28、条件的P点，其坐标为（1，1）或（1，1）；（3）抛物线的解析式y=x22x+3，B（1，0），SEBC=EBOC=3，2SFBC=3SEBC，SFBC=，过F作FQx轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FMy轴于点M，如图3，SFBC=SBQHSBFHSCFQ=HBHQBHHFQFFM=BH（HQHF）QFFM=BHQFQFFM=QF（BHFM）=FQOB=FQ=，FQ=9，BC的解析式为y=3x+3，设F（x0，x022x0+3），3x0+3+x02+2x03=9，解得：x0=或（舍去），点F的坐标是（，）4、【2014深圳】如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B
29、，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，求当BEF与BAO相似时，E点坐标；记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则SEFG与SACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标【解析】（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=2A（2，0）、B（0，4）抛物线的顶点为点A（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，4）在抛物线上，代入上式得：4=4a，解得a=1，抛物线的解析式为y=（x+2）2（2）平移过程中，设点E的坐标
30、为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=（xm）2+2m+4，F（0，m2+2m+4）.点E为顶点，BEF90，若BEF与BAO相似，只能是点E作为直角顶点，BAOBFE，即，可得：BE=2EF如答图21，过点E作EHy轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）B（0，4），H（0，2m+4），F（0，m2+2m+4），BH=|2m|，FH=|m2|在RtBEF中，由射影定理得：BE2=BHBF，EF2=FHBF，又BE=2EF，BH=4FH，即：4|m2|=|2m|若4m2=2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去）若4m2=2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于
31、第一象限，BEF为锐角，故此情形不成立m=，E（，3）假设存在联立抛物线：y=（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（4，4），SACD=44=8SEFG与SACD存在8倍的关系，SEFG=64或SEFG=1联立平移抛物线：y=（xm）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m2，2m）点E与点G横坐标相差2，即：|xG|xE|=2当顶点E在y轴左侧时，如答图22，SEFG=SBFGSBEF=BF|xG|BF|xE|=BF（|xG|xE|）=BFB（0，4），F（0，m2+2m+4），BF=|m2+2m|m2+2m|=64或|m2+2m|=1，m2+2m可取值为：64、64
32、、1、1当取值为64时，一元二次方程m2+2m=64无解，故m2+2m64m2+2m可取值为：64、1、1F（0，m2+2m+4），F坐标为：（0，60）、（0，3）、（0，5）同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为（0，5）；综上所述，SEFG与SACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，60）、（0，3）、（0，5）S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、二次函数的定义；2、二次函数的图像与性质；3、二次函数的表达式与应用；4、二次函数与一元二次方程。名师点拨本章内容丰富且综合性较强，也是中考的必考点与重难点，结合教案做好总结及勤学多练是掌握的关键。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是19
