中考数学一轮复习讲义第08讲-二次函数(培优)-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第08讲-二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握二次函数的定义、图像与性质、三种表达式及最值等综合应用问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识概念(一) 二次函数的定义一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数注意:1、二次项系数a0;yax2bxc(a,b,c是常数,a0)叫做二次函数的一般式;2、ax2bxc必须是整式;3、一次项、常数项也可以为零,一次项和常数项可以同时为零; x的取值范

2、围是全体实数(二) 二次函数的图像与性质1、二次函数图像的基本性质二次函数yax2bxc(a,b,c为常数,a0)图象(a0)(a0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x直线x顶点坐标增减性当x时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小最值当x时,y有最小值当x时,y有最大值2、二次函数图像的平移 方法一: 总结:在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移” 方法二:沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成(或)沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)总结:概括成八个字“左加右减,上加下减” 3、二次函数的图象与各项系数之

3、间的关系 (1) 二次项系数的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小(2)一次项系数:在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置, “左同右异”。 (3) 常数项:决定了抛物线与轴交点的位置 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的(三) 二次函数的表达式1、一般式:(,为常数,);2、顶点式:(,为常数,);3、两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标).使用条件:1、已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2、已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4、已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式(四) 二次函数的应用解题

4、一般方法步骤(先构造二次函数模型):(1)列出二次函数的解析式,列解析式时,要根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围(2)在自变量取值范围内,运用公式法或配方法或对称轴判定法,求出二次函数的最大值或最小值(五) 二次函数与一元二次方程(1)二次函数yax2bxc(a0),当y0时,就变成了ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标(3)当0时,有两个不同的交点;当0时,有一个交点;当c0时,抛物线与x轴没有交点考点一: 二次函数的定义例1、若y=(1+m)是二次函数,且开口向下,则m的值为()A3 B3 C+3 D0【解析】B例2、下列函数关系中,可以

5、看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是()A在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系C竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D圆的周长与半径之间的关系【解析】C考点二: 二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b(a0)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A B C D【解析】C例2、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,2)和(0,1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1下列

6、结论:abc0; 4a+2b+c0 ;4acb28a ;a;bc其中含所有正确结论的选项是()A B C D【解析】函数开口方向向上,a0;对称轴在y轴右侧ab异号,抛物线与y轴交点在y轴负半轴,c0,abc0,故正确;图象与x轴交于点A(1,0),对称轴为直线x=1,图象与x轴的另一个交点为(3,0),当x=2时,y0,4a+2b+c0,故错误;图象与x轴交于点A(1,0),当x=1时,y=(1)2a+b(1)+c=0,ab+c=0,即a=bc,c=ba,对称轴为直线x=1=1,即b=2a,c=ba=(2a)a=3a,4acb2=4a(3a)(2a)2=16a208a04acb28a故正确图

7、象与y轴的交点B在(0,2)和(0,1)之间,2c123a1,a;故正确a0,bc0,即bc;故正确;故选:D例3、若抛物线y=x22x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为()Ay=(x2)2+3 By=(x2)2+5 Cy=x21 Dy=x2+4【解析】相当于把抛物线向左平移有关单位,再向下平移3个单位,原抛物线图象的解析式应变为y=(x1+1)2+23=x21,故答案为C考点三: 二次函数的表达式例1、把二次函数y=x2x+3配方化为y=a(xh)2+k形式()Ay=(x2)2+2 By=(x2)2+4 C

8、y=(x+2)2+4 Dy=(x1)2+3【解析】C例2、二次函数图象如图所示,则其解析式是()Ay=x2+2x+4 By=x2+2x+4Cy=x22x+4 Dy=x2+2x+3【解析】A考点四: 二次函数的应用例1、将抛物线y=x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方,图象的剩余部分不变,得到一个新的函数图象,那么直线y=x+b与此新图象的交点个数的情况有()种A6 B5 C4 D3【解析】B例2、某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,它由四个边长为3米的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同其中的一个小正方形ABCD如图乙所示,DG=1米,AE=AF=x米,在五边形EFB

9、CG区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是()A B C D【解析】SAEF=AEAF=x2,SDEG=DGDE=1(3x)=,S五边形EFBCG=S正方形ABCDSAEFSDEG=9x2=x2+x+,则y=4(x2+x+)=2x2+2x+30,AEAD,x3,综上可得:y=2x2+2x+30(0x3)故选:A例3、某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本,降价促销的原则,使生产的玩具能够全部售出据市场调查,若按每个玩具280元销售时,每月可销售300个若销售单价每降低1元,每月可多售出2个据统计,每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系:月产销量y(

10、个)160200240300每个玩具的固定成本Q(元)60484032(1)写出月产销量y(个)与销售单价x (元)之间的函数关系式;(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式;(3)若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的几分之几?(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个,则每个玩具的固定成本至少为多少元?销售单价最低为多少元?【解析】(1)设y=kx+b,则(280,300),(279,302)满足函数关系式,得得,产销量y(个)与销售单价x (元)之间的函数关系式为y=2x+860(2)设Q=,将Q=60,y=160代入得到m=9600,此时Q=(3)

11、当Q=30时,y=320,由(1)可知y=2x+860,所以x=270,即销售单价为270元,由于=,成本占销售价的(4)若y400,则Q,即Q24,固定成本至少是24元,4002x+860,解得x230,即销售单价最低为230元考点五:二次函数与一元二次方程例1、已知抛物线y=ax22x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是()A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限【解析】D例2、如图,一段抛物线y=x(x3)(0x3),记为C1,它与x轴交于点O和A1;将C1绕A1旋转180得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180得到C3,交x轴于A3,如此进行下去,得到一条“波

12、浪线”若点P(41,m)在此“波浪线”上,则m的值为()A2 B2 C0 D【解析】BP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b(a0)在同一平面直角坐标系中可能的图象为()A B C D【解析】A2、已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,现有下列结论:abc0;b24ac0;4a2b+c0;b=2a则其中结论正确的是()A B C D【解析】B3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则在下列各不等式中,成立的个数是()abc0;a+b+c0;a+cb;aA1 B2 C3 D4【解析】成立;故选

13、B4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(2,0),(x1,0),且1x12,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,下列结论:abc;2a+c0;4a+c0;2ab+10其中正确结论的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】D5、如图是抛物线y=ax2+bx+c(a0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间则下列结论:ab+c0;3a+b=0;b2=4a(cn);一元二次方程ax2+bx+c=n1有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】当x=1时,y0,即ab+c0,所以正确;抛物线的对称轴为直线

14、x=1,即b=2a,3a+b=3a2a=a,所以错误;抛物线的顶点坐标为(1,n),=n,b2=4ac4an=4a(cn),所以正确;抛物线与直线y=n有一个公共点,抛物线与直线y=n1有2个公共点,一元二次方程ax2+bx+c=n1有两个不相等的实数根,所以正确故选C6、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点,顶点C的纵坐标为2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1,则下列结论:b0;ab+c0;阴影部分的面积为4;若c=1,则b2=4a正确的是()A B C D【解析】抛物线开口向上,a0,又对称轴为x=0,b0,结论不正确;x=1时,y0,ab

15、+c0,结论不正确;抛物线向右平移了2个单位,平行四边形的底是2,函数y=ax2+bx+c的最小值是y=2,平行四边形的高是2,阴影部分的面积是:22=4,正确;=2,c=1,b2=4a,正确综上,结论正确的是:故选D7、某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45(1)求一次函数y=kx+b的表达式;(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?(

16、3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围【解析】(1)根据题意得解得k=1,b=120所求一次函数的表达式为y=x+120(2)W=(x60)(x+120)=x2+180x7200=(x90)2+900,抛物线的开口向下,当x90时,W随x的增大而增大,而销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,即60x60(1+45%),60x87,当x=87时,W=(8790)2+900=891当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元(3)由W500,得500x2+180x7200,整理得,x2180x+77000,而方程x2180x+7700=0的解为 x1=

17、70,x2=110即x1=70,x2=110时利润为500元,而函数y=x2+180x7200的开口向下,所以要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间,而60元/件x87元/件,所以,销售单价x的范围是70元/件x87元/件8、如图,在平面直角坐标系中,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A,B两点,开口向下的抛物线经过点A,B,且其顶点P在C上(1)求ACB的大小;(2)写出A,B两点的坐标;(3)试确定此抛物线的解析式;(4)在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP与CD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由【解析】(1)作CHx轴,H为垂

18、足,CH=1,半径CB=2,BCH=60,ACB=120(2)CH=1,半径CB=2 ;HB=,故A(1,0),B(1+,0)(3)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3)设抛物线解析式y=a(x1)2+3,把点B(1+,0)代入上式,解得a=1;y=x2+2x+2(4)假设存在点D使线段OP与CD互相平分,则四边形OCPD是平行四边形PCOD且PC=ODPCy轴,点D在y轴上又PC=2,OD=2,即D(0,2)又D(0,2)满足y=x2+2x+2,点D在抛物线上存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分 课后反击1、在同一平面直角坐标系内,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax

19、2+5x+b的图象可能是()A BCD【解析】C2、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(3,0),对称轴为x=1给出四个结论:b24ac;2a+b=0;ab+c=0;5ab其中正确结论是()A B C D【解析】B3、己知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论:ab+c0; 方程ax2+bx+c=0的两根之和大于零y随x的增大而增大; 一次函数y=ax+bc的图象一定不过第二象限其中正确的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】错误;故选C4、已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,有下列5个结论:abc0;ba+c;4a

20、+2b+c0;2c3b;a+bm(am+b)(m1的实数)其中正确的结论有()A2个 B3个 C4个 D5个【解析】开口向下,a0;对称轴在y轴的右侧,a、b异号,则b0;抛物线与y轴的交点在x轴的上方,c0,则abc0,所以不正确;当x=1时图象在x轴下方,则y=ab+c=0,即a+c=b,所以不正确;对称轴为直线x=1,则x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c0,所以正确;x=1,则a=b,而ab+c=0,则bb+c=0,2c=3b,所以不正确;开口向下,当x=1,y有最大值a+b+c;当x=m(m1)时,y=am2+bm+c,则a+b+cam2+bm+c,即a+bm(am+b)(m

21、1),所以正确故选:A5、已知二次函数y=kx2+(2k1)x1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2),则对于下列结论:当x=2时,y=1;当xx1时,y0;方程kx2+(2k1)x1=0有两个不相等的实数根x1、x2;x11,x21;,其中所有正确的结论是 (只需填写序号)【解析】6、如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),其部分图象如图所示,下列结论:4acb2;方ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3;3a+c0;当y0时,x的取值范围是1x3;当x0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是()A4个 B3个 C2个

22、D1个【解析】抛物线与x轴有2个交点,b24ac0,所以正确;抛物线的对称轴为直线x=1,而点(1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3,所以正确;x=1,即b=2a,而x=1时,y=0,即ab+c=0,a+2a+c=0,所以错误;抛物线与x轴的两点坐标为(1,0),(3,0),当1x3时,y0,所以错误;抛物线的对称轴为直线x=1,当x1时,y随x增大而增大,所以正确故选B7、工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等(1)该工艺品每件的进价、标

23、价分别是多少元?(2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货,标价售出,工艺商场每天可售出该工艺品100件若每件工艺品降价1元,则每天可多售出该工艺品4件问每件工艺品降价多少元出售,每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?【解析】(1)设该工艺品每件的进价是x元,标价是y元依题意得方程组:解得:故该工艺品每件的进价是155元,标价是200元(2)设每件应降价a元出售,每天获得的利润为W元依题意可得W与a的函数关系式:W=(45a)(100+4a),W=4a2+80a+4500,配方得:W=4(a10)2+4900,当a=10时,W最大=4900故每件应降价10元出售,每天获得的利润最大,最大

24、利润是4900元8、如图,已知ABC的三个顶点坐标分别为A(4,0)、B(1,0)、C(2,6)(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)设直线BC交y轴于点E,连接AE,求证:AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗?(4)若点P为直线AE上一动点,当CP+DP取最小值时,求P点的坐标【解析】(1)经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=x23x+4;(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,由题意得:,解得:,即直线BC的解析式为y=2x+2故可得点E的坐标为(0,2),从而可得:AE=2,CE=2, 故得出AE=

25、CE; (3)若ABFABC,则,即AB2=BFBC,A(4,0),D(0,4),lAD:y=x+4,lBC:y=2x+2,lAD与lBC的交点F(,),AB=5,BF=,BC=3,AB2=25,BFBC=3=25,AB2=BFBC,又ABC=ABC,ABFABC (4)由(3)知:KAE=,KCE=2,KAEKCE=1,AECE,过C点作直线AE的对称点C,点E为CC的中点,C(2,6),E(0,2),CX=2,CY=2,D(0,4),lCD:y=3x+4,lAE:y=x+2,lCD与lAE的交点P(,) 直击中考1、【2016赤峰】函数y=k(xk)与y=kx2,y=(k0),在同一坐标系

26、上的图象正确的是()A B C D【解析】C2、【2016兰州】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1,有以下结论:abc0;4acb2;2a+b=0;ab+c2其中正确的 结论的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】正确;正确;b=2a,2ab=0,所以错误;x=1对应的y值是最大值,ab+c2,所以正确故选C3、【2015深圳】如图1,关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点A(3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上(1)求抛物线的解析式;(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在求出点P,若不存在请

27、说明理由;(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2SFBC=3SEBC?若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由【解析】(1)二次函数y=x2+bx+c经过 点A(3,0),点C(0,3),解得,抛物线的解析式y=x22x+3,(2)存在,当P在DAB的平分线上时,如图1,作PMAD,设P(1,m),则 PM=PDsinADE=(4m),PE=m,PM=PE,(4m)=m,m=1,P点坐标为(1,1);当P在DAB的外角平分线上时,如图2,作PNAD,设P(1,n),则PN=PDsinADE=(4n),PE=n,PN=PE,(4n)=n,n=1,P点坐标为(1,1);综上可知存在满足

28、条件的P点,其坐标为(1,1)或(1,1);(3)抛物线的解析式y=x22x+3,B(1,0),SEBC=EBOC=3,2SFBC=3SEBC,SFBC=,过F作FQx轴于点H,交BC的延长线于Q,过F作FMy轴于点M,如图3,SFBC=SBQHSBFHSCFQ=HBHQBHHFQFFM=BH(HQHF)QFFM=BHQFQFFM=QF(BHFM)=FQOB=FQ=,FQ=9,BC的解析式为y=3x+3,设F(x0,x022x0+3),3x0+3+x02+2x03=9,解得:x0=或(舍去),点F的坐标是(,)4、【2014深圳】如图,直线AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B

29、,以A为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C(0,4)(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线顶点沿着直线AB平移,此时顶点记为E,与y轴的交点记为F,求当BEF与BAO相似时,E点坐标;记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则SEFG与SACD是否存在8倍的关系?若有请直接写出F点的坐标【解析】(1)直线AB的解析式为y=2x+4,令x=0,得y=4;令y=0,得x=2A(2,0)、B(0,4)抛物线的顶点为点A(2,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+2)2,点C(0,4)在抛物线上,代入上式得:4=4a,解得a=1,抛物线的解析式为y=(x+2)2(2)平移过程中,设点E的坐标

30、为(m,2m+4),则平移后抛物线的解析式为:y=(xm)2+2m+4,F(0,m2+2m+4).点E为顶点,BEF90,若BEF与BAO相似,只能是点E作为直角顶点,BAOBFE,即,可得:BE=2EF如答图21,过点E作EHy轴于点H,则点H坐标为:H(0,2m+4)B(0,4),H(0,2m+4),F(0,m2+2m+4),BH=|2m|,FH=|m2|在RtBEF中,由射影定理得:BE2=BHBF,EF2=FHBF,又BE=2EF,BH=4FH,即:4|m2|=|2m|若4m2=2m,解得m=或m=0(与点B重合,舍去)若4m2=2m,解得m=或m=0(与点B重合,舍去),此时点E位于

31、第一象限,BEF为锐角,故此情形不成立m=,E(,3)假设存在联立抛物线:y=(x+2)2与直线AB:y=2x+4,可求得:D(4,4),SACD=44=8SEFG与SACD存在8倍的关系,SEFG=64或SEFG=1联立平移抛物线:y=(xm)2+2m+4与直线AB:y=2x+4,可求得:G(m2,2m)点E与点G横坐标相差2,即:|xG|xE|=2当顶点E在y轴左侧时,如答图22,SEFG=SBFGSBEF=BF|xG|BF|xE|=BF(|xG|xE|)=BFB(0,4),F(0,m2+2m+4),BF=|m2+2m|m2+2m|=64或|m2+2m|=1,m2+2m可取值为:64、64

32、、1、1当取值为64时,一元二次方程m2+2m=64无解,故m2+2m64m2+2m可取值为:64、1、1F(0,m2+2m+4),F坐标为:(0,60)、(0,3)、(0,5)同理,当顶点E在y轴右侧时,点F为(0,5);综上所述,SEFG与SACD存在8倍的关系,点F坐标为(0,60)、(0,3)、(0,5)S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、二次函数的定义;2、二次函数的图像与性质;3、二次函数的表达式与应用;4、二次函数与一元二次方程。名师点拨本章内容丰富且综合性较强,也是中考的必考点与重难点,结合教案做好总结及勤学多练是掌握的关键。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是19

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