1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第13讲-圆 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解圆的定义与点与圆的位置关系及圆的对称性；熟练掌握圆心角、弦、弧之间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 知识概念（一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周
2、，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。3、点在圆内d r； 点在圆上d = r； 点在圆外d r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立（三）垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦
3、,并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧；（2）平分弦 (不是直径)；（3）垂直于弦；（4）经过圆心（四）圆周角的定义与圆周角定理1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90
4、的圆周角所对的弦是直径（五）圆内接四边形1、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） （六）确定圆的条件1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆（七）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部（八）直线与圆的位置关系判定：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d直线l和O相交dr； 直线l和O相切d=r； 直线l和O相
5、离dr（九）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心1、注意：切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心； 直线过切点； 直线与圆的切线垂直2、切线性质的运用（常作辅助线）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直（十）切线的判定定理1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2、在应用判定定理时注意：（常用解题思路）“无交点，作垂线段，证半径”； “有交点，作半径，证垂直
6、”（十一）三角形的内切圆与内心 1、内切圆的有关概念：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点2、任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形3、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角（十二）切线长定理1、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角2、切线长定理包含着一些隐含结论 垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到 （十三）圆的相关计算1、弧长公式：2、扇形面积公式：考点一： 圆的定义、点与圆的位置关系例1、列说法：弧分为优弧
7、和劣弧；半径相等的圆是等圆；过圆心的线段是直径；长度相等的弧是等弧；半径是弦，其中错误的个数为（）A2 B3 C4 D5【解析】错误， 半圆也是弧；正确；故选：C例2、A、B是半径为5cm的O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）AAB0 B0AB5 C0AB10 D0AB10【解析】圆中最长的弦为直径，0AB10故选：D考点二： 圆心角、弧、弦的关系例1、在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A相等弦所对的弧相等 B相等弦所对的圆心角相等C相等圆心角所对的弧相等 D相等圆心角所对的弦相等【解析】A例2、如图，AB是O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交O于点C，连结AC、
8、BC、OB、OC若ABC=65，则BOC的度数是（）A50 B65 C100 D130【解析】由题意可得：AB=AC，ABC=65，ACB=65，A=50，BOC=100，故选：C例2、圆中有两条等弦AB=AE，夹角A=88，延长AE到C，使EC=BE，连接BC，如图则ABC的度数是（）A90B80C69D65【解析】C考点三： 垂径定理及推论例1、O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A2B8C2D2【解析】D例2、如图，O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，APO=30，则弦AB的长为（） A2 B C2
9、 D【解析】过O作OCAP于点C，连结OB， OP=4，APO=30， OC=sin304=2， OB=3，BC=， AB=2；故选A例3、在O中，半径R=1，弦AB=，弦AC=，则BAC的度数为（）A75 B15C75或15 D90或60【解析】C例4、如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）A1BCD【解析】作点A关于MN的对称点A，连接AB，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA，AA点A与A关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，AON=AON=60，PA=PA，点B是弧AN的中点，BON=30，AOB=A
10、ON+BON=90，又OA=OA=1，AB=PA+PB=PA+PB=AB=故选C考点四： 圆周角与圆心角关系及圆内接四边形例1、如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若A=55，E=30，则F=（）A25 B30 C40 D55【解析】四边形ABCD是圆内接四边形，BCF=A=55，CBF是ABE的一个外角，CBF=A+E=85，F=180BCFCBF=40，故选：C例2、如图，已知O的直径与弦CD相交于点E，CE=8cm，DE=3cm，EB=2cm，则O的半径的长是（）A6cm B7cmC8cm D9cm【解析】连接BD，B=C，D=A，AECDEB，AE：DE=C
11、E：BE，即AE：3=8：2，AE=12，AB=AE+BE=12+2=14，AO=7，故选B例3、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是平行四边形，则ADC的大小为（）A45B50C60D75【解析】C例4、如图所示，AB是O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（）A2个B3个C4个D5个【解析】D例5、已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合（1）求四边形AEOF的面积（2）设AE=x，SOEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围【解析
12、】（1）BC为半圆O的直径，OA为半径，且OABC，B=OAF=45，OA=OB，又AE=CF，AB=AC，BE=AF，BOEAOFS四边形AEOF=SAOB=OBOA=2（2）BC为半圆O的直径，BAC=90，且AB=AC=2，y=SOEF=S四边形AEOFSAEF=2AEAF=2x（2x）y=x2x+2（0x2）考点五：三角形的外接圆和外心以及直线和圆的位置关系例1、若点O是等腰ABC的外心，且BOC=60，底边BC=2，则ABC的面积为（）A2+BC2+或2D4+2或2【解析】由题意可得，如右图所示存在两种情况，当ABC为A1BC时，连接OB、OC，点O是等腰ABC的外心，且BOC=60
13、，底边BC=2，OB=OC，OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1BC于点D，CD=1，OD=，=2，当ABC为A2BC时，连接OB、OC，点O是等腰ABC的外心，且BOC=60，底边BC=2，OB=OC，OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1BC于点D，CD=1，OD=，SA2BC=2+，由上可得，ABC的面积为或2+，故选C例2、如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若A=30，则sinE的值为（）A B C D【解析】A例3、已知：O为RtABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；（1）如图1，若弦BEOD，求证：OD=BE；（2
14、）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2，OF=3，求O的直径【解析】（1）证明：连接AE交OD于点F，AB为直径，AEBE，BEOD，AEOD，AD=AO，AE平分CAB，OD=2OF，BE=2OF，BE=OD；（2）分别作弦BEOD，AHOF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，由（1）得：E为的中点，同理H为的中点，HAE=HBE=45，AB为直径，H=E=90，AP=AH，PE=BE，点O为AB的中点，BEOD，EB=OD=2，PE=BE=2，同理AH=OF=3，AP=3，在RtABE中，AE=5，BE=2，根据勾股定理得：AB=，则圆的直径为例4、已知：如图，边长为2的等边三
15、角形ABC内接于O，点D在上运动，但与A、C两点不重合，连接AD并延长交BC的延长结于P（1）求O的半径；（2）设AD为x，AP为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）D点在运动过程中是否存在这样的位置，使得BDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形？若存在，请你求出此时AD的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）过O作OEAB于E，连接OA在RtAEO中，EAO=30，AE=，OA=2（2）连接CD，则ABC+ADC=180又ACB+ACP=180，ABC=ACB=60ADC=ACP=120又CAD=PACADCACPAC2=ADAP，y=（0x2）（3）假设D点在运动的过程中存
16、在这样的位置，使得DBP成为以DB，DP为腰的等腰三角形，那么DB=DPBDC=BAC=60，CDP=ABC=60BDC=CDPCDBPDB是圆的直径，BD=4，DP=4DP=APAD=yx=x=4，即x2+4x12=0=424（12）=640关于x的方程x2+4x12=0有两个不相等的实根，说明假设成立x1=2，x2=6（线段不能为负，舍去）D点在运动的过程中存在这样的位置：即当AD=2时，BDP成为以BD，PD为腰的等腰三角形考点六：切线长定理和圆的相关计算 例1、如图，圆O是RtABC的外接圆，ACB=90，A=25，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则D的度数是（）A25 B4
17、0 C50 D65【解析】B例2、如图，在RtABC中，A=30，BC=2，以直角边AC为直径作O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A BC D【解析】A例3、已知PA、PB分别切O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D（1）若PA=6，求PCD的周长（2）若P=50，求DOC【解析】（1）连接OE，PA、PB与圆O相切，PA=PB=6，同理可得： AC=CE，BD=DE，PCD的周=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）PA PB与圆O相切，OAP=OBP=90P=50，AOB=360909050=130，在RtAOC和RtEOC中
18、，RtAOCRtEOC（HL），AOC=COE，同理：DOE=BOD，COD=AOB=65例4、【2016深圳】如图，已知O的半径为2，AB为直径，CD为弦AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E交于点F（F与B、C不重合）问GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由【解析】（1）解：如图，连接OC，沿CD翻折后，点A与圆心O重合，OM=OA=2=1，CDOA，OC=2，CD=2CM=2=2=2；（2）证明：PA=O
19、A=2，AM=OM=1，CM=CD=，CMP=OMC=90，PC=2，OC=2，PO=2+2=4，PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2，PCO=90，PC是O的切线；（3）解：GEGF是定值，证明如下，连接GO并延长，交O于点H，连接HF，点G为的中点GOE=90，HFG=90，且OGE=FGHOGEFGH=GEGF=OGGH=24=8P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，A=22.5，OC=4，CD的长为（）A2 B4 C4 D8【解析】C2、如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若DPB=，那么CD
20、：AB等于（）Asin BcosCtan D【解析】B3、如图，AB是圆O的直径，弦CDAB，BCD=30，CD=4，则S阴影=（）A2BCD【解析】B4、如图，P为O的直径BA延长线上的一点，PC与O相切，切点为C，点D是上一点，连接PD已知PC=PD=BC下列结论：（1）PD与O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）PDB=120其中正确的个数为（）A4个 B3个 C2个 D1个【解析】A5、如图，如果直线AB与半径为2的O相切于点C，D是O上一点，且EDC=30，弦EFAB，则EF的长是（）A2 B8 C2 D2【解析】A6、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODA
21、C于D，过点O作OEAC交半圆O于点E，若AC=12，则OF的长为（）A8 B7 C6 D4 【解析】C7、如图，在ABC中，A=90，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（）A1 B C1 D【解析】B8、如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，以AB为直径的O与DC相切于E已知AB=8，边BC比AD大6（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由【解析】（1）方法1：过D作DFBC于F，在RtDFC中，DF=AB=8，FC=BCAD
22、=6，DC2=62+82=100，即DC=10设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，x+（x+6）=10x=2AD=2，BC=2+6=8方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知DOC=90，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DEEC即：x（x+6）=16，解得x1=2，x2=8，（舍去）AD=2，BC=2+6=8（2）存在符合条件的P点设AP=y，则BP=8y，ADP与BCP相似，有两种情况：ADPBCP时，y=；ADPBPC时，y=4故存在符合条件的点P，此时AP=或4 课后反击1、如图，AB为O直径，已知DCB=20，则DBA为（）
23、14 A50 B20 C60 D70【解析】D 2、 C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点， BMO=120，则 C的半径长为（）A6 B5 C3 D3【解析】C3、半径为3的A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧A优弧上一点，则tanOBC为（）A B2 C D【解析】C4、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD/BC，AC平分，四边形ABCD的周长为10cm图中阴影部分的面积为 cm2【解析】5、如图，AB、BC、CD分别与O切于E、F、G，且ABCD连接OB、OC，延长CO交O于点M，过点M作MNOB交CD于N（1）求证：MN是
24、O的切线；（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求O的半径及MN的长【解析】（1）证明：AB、BC、CD分别与O切于点E、F、GOBC=ABC，DCB=2DCMABCD，ABC+DCB=180OBC+OCB=（ABC+DCB）=180=90BOC=180（OBC+OCB）=18090=90MNOB，NMC=BOC=90；即MNMC 且MO是O的半径；MN是O的切线（2）解：连接OF，则OFBC（5分），由（1）知，BOC是直角三角形，BC=10，SBOC=OBOC=BCOF68=10OF0F=4.8cmO的半径为4.8cm由（1）知，NCM=BCO，NMC=BOC=90；NMCBOC，即=，M
25、N=9.6（cm）6、如图，PA为O的切线，A为切点，直线PO交O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交O与点B，延长BO与O交与点C，连接AC，BF（1）求证：PB与O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tanF=，求cosACB的值【解析】（1）证明：连接OA，PA与圆O相切，PAOA，即OAP=90，OPAB，D为AB中点，即OP垂直平分AB，PA=PB，在OAP和OBP中，OAPOBP（SSS），OAP=OBP=90，BPOB，则直线PB为圆O的切线；（2）EF2=4DOPO证明：OAP=ADO=90，AOD=POA，OADOPA
26、，=，即OA2=ODOP，EF为圆的直径，即EF=2OA，EF2=ODOP，即EF2=4ODOP；（3）解：连接BE，则FBE=90tanF=，=，可设BE=x，BF=2x，则由勾股定理，得EF=x，BEBF=EFBD，BD=x又ABEF，AB=2BD=x，RtABC中，BC=x，AC2+AB2=BC2，122+（x）2=（x）2，解得：x=4，BC=4=20，cosACB=直击中考1、【2015深圳】如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动（1）当B与O
27、重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CGCE【解析】（1）解：由题意可得：BO=4cm，t=2（s）（2）解：如图2，连接O与切点H，则OHAC，又A=45，AO=OH=3cm，AD=AODO=（33）cm；（3）证明：如图3，连接EF，OD=OF，ODF=OFD，DE为直径，ODF+DEF=90，DEC=DEF+CEF=90，CEF=ODF=OFD=CFG，又FCG=ECF，CFGCEF，=，CF2=CGCE2、【2014深圳】如图，在平面直角坐标系中，M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，
28、3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD（1）求M的半径；（2）证明：BD为M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DPAP|最大【解析】（1）由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，AB=5，圆的半径为；（2）证明：由题意可得出：M（2，） 又C为劣弧AO的中点，由垂径定理且 MC=，故 C（2，1）过 D 作 DHx 轴于 H，设 MC 与 x 轴交于 K，则ACKADH，又DC=4AC，故 DH=5KC=5，HA=5KA=10，D（6，5）设直线AB表达式为：y=kx+b，解得：故直线AB表达式为：y=x+3，同理可得：根据B，D两点求
29、出BD的表达式为y=x+3，kABkBD=1，BDAB，BD为M的切线； （3）解：取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DPAP|的最大值；设直线DO表达式为 y=kx，5=6k，解得：k=，直线DO表达式为 y=x 又在直线DO上的点P的横坐标为2，y=，P（2，），此时|DPAP|=DO=S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 利用圆心角、弦、弧的关系和圆周角定理及其推论等知识解决关于圆的性质相关的问题；2、 综合运用圆的知识解圆的相关计算。名师点拨本单元内容较多，熟练理解并识记相关性质定理是学好本单元的前提，多练是根本，善于总结是成绩提高的保障。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是20
