山东省济宁市 2020年中考数学二轮复习核心母题三:相似三角形

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1、核心母题三相似三角形 【核心母题】如图,已知:BACEAD,AB20.4,AC48,AE17,AD40.求证:ABCAED.【知识链接】相似三角形的性质与判定【母题分析】先证得,然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论【母题解答】角度一 条件开放型子题1:如图,在ABC中,ABAC.D,E分别为边AB,AC上的点AC3AD,AB3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得FDB与ADE相似(只需写出一个)【子题分析】根据相似三角形的判定方法解答即可【子题解答】角度二 结论开放型子题2:如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任

2、意一对相似三角形: 【子题分析】利用平行四边形的性质得到ADCE,再根据相似三角形的判定方法可得答案【子题解答】角度三 由判定向其性质衍生子题3:如图,在ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若ADE的面积为4,则ABC的面积为( )A8 B12 C14 D16【子题分析】直接利用三角形中位线定理得出DEBC,DEBC,再利用相似三角形的性质得出答案【子题解答】角度四 设置陷阱子题4:矩形ABCD中,AB6,BC8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC,若APD是等腰三角形,则PE的长为 【子题分析】根据勾股定理求出BD,分PDDA,PDPA两种情况,根据相似三角形的

3、性质计算,本题易忽略其中一种情况而出错【子题解答】角度五 设置背景子题5:如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点P处放一水平的平面镜,光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知ABBD,CDBD,测得AB2米,BP3米,PD12米,那么该古城墙的高度CD是 米【子题分析】首先证明ABPCDP,可得,再代入相应数据可得答案【子题解答】角度六 由静态向动态衍生子题6:如图,在ABC中,C90,BC16 cm,AC12 cm,点P从B出发沿BC以2 cm/s的速度向C移动,点Q从C出发,以1 cm/s的速度向A移动,若P,Q分别从B,C同时出发,设运动时间为t s

4、,当t为何值时,CPQ与CBA相似?【子题分析】分CP和CB是对应边,CP和CA是对应边两种情况,利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解【子题解答】角度七 与其他知识综合子题7:如图,四边形ABCD中,ADBC,ABC90,AB5,BC10,连接AC,BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE3,则AD的长为( )A5 B4 C3 D2【子题分析】先判断出ABC与DEB相似,求出BD,最后用勾股定理即可得出结论【子题解答】模型一 A字型子题8:如图,12,添加一个条件使得ADEACB,该条件为 子题9:如图,在ABC中,点D是边AB上的一点,ADCACB,AD2,BD6,则边AC的长为(

5、)A2 B4 C6 D8模型二 8字型已经存在一组等角(对顶角)子题10:如图,已知ABCD,若,则 .子题11:如图,不能判定AOB和DOC相似的条件是( )AAOCOBODO B.CAD DBC模型三 双垂直型有一个公共角,有三个直角子题12:如图,ABC的高AD,BE交于点F.写出图中所有与AFE相似的三角形,并选择一个进行证明模型四 一线三垂直型一线三垂直常存在的背景图形:子题13:如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且EFG90.求证:EBFFCG.子题14:如图,已知矩形ABCD中,点E是边AD上的任意一点,连接BE,过E作BE的垂线交BC延长线于点F,交

6、边CD于点P,则图中共有相似三角形( )A6对 B5对 C4对 D3对模型五 一线三等角型需满足BACED.子题15:如图,等边ABC中,边长为5,点D,E,F,分别在BC,AB,AC上,EDF60.(1)求证:BDECFD;(2)当BD1,FC3时,求BE的长参考答案【核心母题突破】【核心母题】AB20.4,AC48,AE17,AD40,1.2,1.2,.BACEAD,ABCAED.【母题衍生角度】角度一子题1: DFAC(答案不唯一)理由:AA,ADEACB,当DFAC时,BDFBAC,BDFEAD.故答案为DFAC(答案不唯一)角度二子题2: 四边形ABCD为平行四边形,ADCE,ADF

7、ECF.故答案为ADFECF(答案不唯一)角度三子题3: 在ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,DEBC,DEBC,ADEABC.,.ADE的面积为4,ABC的面积为16.故选D.角度四子题4: 如图,四边形ABCD为矩形,BAD90,BD10.当PDDA8时,BPBDPD2.PBEDBC,即,解得PE.当PDPA时,点P为BD的中点,PECD3.故答案为或3.角度五子题5: 如图,由题意可得APECPE,APBCPD.ABBD,CDBD,ABPCDP90,ABPCDP,.AB2米,BP3米,PD12米,得CD8米故答案为8.角度六子题6: CP和CB是对应边时,CPQCBA,即,解得t

8、;CP和CA是对应边时,CPQCAB,即,解得t.综上所述,当t或时,CPQ与CBA相似角度七子题7: 在RtABC中,AB5,BC10,AC5.如图,连接BE,BACEDB.ADBC,ABC90,BAD90,BD是圆的直径,BED90CBA,ABCDEB,即,DB3.在RtABD中,AD2.故选D.【母题衍生模型】模型一子题8: DC(答案不唯一)子题9: B模型二子题10: 子题11: B模型三子题12: 解:与AFE相似的三角形有:BFD,ACD,BCE.选择求证:ACDAFE.证明:ABC的高AD,BE交于点F,ADCAEF90.CADFAE,ACDAFE.模型四子题13: 证明:四边形ABCD为正方形,BC90,BEFBFE90.EFG90,BFECFG90,BEFCFG,EBFFCG.子题14: A模型五子题15: (1)证明:ABC是等边三角形,BC60.EDFCDFBBED,EDF60,BEDCDF,BDECFD.(2)解:等边ABC中,边长为5,BD1,CDBCBD4.BDECFD,BE.

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