1、专题八函数综合题类型一 一次函数与反比例函数综合题 (2019粤西联考)已知，如图，一次函数ykxb(k，b为常数，k0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y(n为常数且n0)的图象在第二象限交于点C，CDx轴，垂足为D，若OB2OA3OD6.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kxb的解集【分析】 (1)先求出A，B，C坐标，再利用待定系数法确定函数表达式(2)两个函数的表达式作为方程组，解方程组即可解决问题(3)根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号【自主解答】 1(2019中山模拟)如
2、图，点A(1，m)是双曲线y1与直线y2x(k1)在第二象限的交点，另一个交点C在第四象限，ABx轴于B，且cosAOB.(1)求m的值；(2)求AOC的面积；(3)直接写出使y1y2成立的x的取值范围2如图，直线yxb与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，且与反比例函数y(x0)交于点A(1，n)(1)求直线与反比例函数的表达式；(2)连接OA，求OAB的正弦值；(3)若点D在x轴正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与OAB相似？若存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由类型二 一次函数与二次函数综合题 (2019广东模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx2与x轴交于点
3、A，与y轴交于点C.抛物线yax2bxc的对称轴是x且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)直接写出点B的坐标；求抛物线表达式；(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 (1)利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的表达式为ya(x4)(x1)，然后将点C的坐标代入即可求得a的值；(2)设点P，Q的横坐标为m，分别求得点P，Q的纵坐标，从而可得到线段PQm22m，
4、然后利用三角形的面积公式以及配方法可求得PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；(3)首先可证明ABCACOCBO，然后分类讨论即可，解题时，需要注意相似三角形的对应关系【自主解答】 解答存在性问题的一般思路解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏3(2019菏泽)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点
5、D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在第二象限内，且PEOD，求PBE的面积；(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由4(2019安顺)如图，抛物线yx2bxc与直线 yx3 分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC.已知A(0，3)，C(3，0)(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMC|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQP
6、A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由类型三 一次函数、反比例函数与二次函数综合题 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 y1kxb 与反比例函数y2的图象交于点A(1，5)和点B(m，1)(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)当x0时，根据图象直接写出不等式kxb的解集；(3)若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的表达式【分析】 (1)利用待定系数法求得反比例函数表达式，然后把B的坐标代入求得m的值；(2)不等式kxb的解集就是反比例函数的图象在一次函数的图象的交点以及反比例函数图象
7、在上方时对应的x的范围；(3)利用待定系数法即可求得二次函数的表达式【自主解答】 5如图，在平面直角坐标系中，过点A(2，0)的直线l与y轴交于点B，tanOAB，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1.(1)求直线l的表达式；(2)若反比例函数y的图象经过点P，求m的值及反比例函数的表达式；(3)若一抛物线过A，P两点，且对称轴为y轴，求此抛物线的顶点坐标类型四 二次函数与几何变换综合题 (2019广东)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于点A，B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，CAD绕点C顺时针旋转得到CFE，点A恰好
8、旋转到点F，连接BE.(1)求点A，B，D的坐标；(2)求证：四边形BFCE是平行四边形；(3)如图2，过顶点D作DD1x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PMx轴，点M为垂足，使得PAM与DD1A相似(不含全等)求出一个满足以上条件的点P的横坐标；直接回答这样的点P共有几个？【分析】 (1)利用抛物线表达式求得点A，B，D的坐标；(2)欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知ECBF且ECBF即可；(3)利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边(角)，需要分类讨论；根据的结果即可得到结论【自主解答】 6(2019聊城)如图，在平面直角坐标系中，抛物线
9、 yax2bxc 与x轴交于点A(2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E.(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得PEA和AOC相似的点P的坐标；(3)作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求 RtPFD 面积的最大值参考答案类型一【例1】 (1)OB2OA3OD6，OB6，OA3，OD2.CDx轴，DCOB，CD10，C(2，10)，B(0，6)，A(3，0)将A，B代入ykxb得解得一次函数为y2x6.反比例
10、函数y经过点C(2，10)，n20，反比例函数表达式为y.(2)由解得或另一个交点坐标为(5，4)(3)由图象可知kxb的解集为2x0或x5.跟踪训练1解：(1)A(1，m)，ABx轴于B，OB1.cosAOB，OA，AB3，A(1，3)，m3.(2)A(1，3)是双曲线y1与直线y2x(k1)在第二象限的交点，k3，反比例函数的表达式为y1，一次函数的表达式为y2x2，解得或C(3，1)，SAOC21234.(3)由图象知，使y1y2成立的x的取值范围是1x3.2解：(1)将C(4，0)代入yxb得04b，解得b4，直线的表达式为yx4.当x1时，y5，A(1，5)将A代入y得m5，反比例函
11、数的表达式为y.(2)如图，过点O作OMAC于点M.点B是直线yx4与y轴的交点，令x0，得y4，点B(0，4)，OCOB4，OCB是等腰直角三角形，OBCOCB45，在RtOMB中，sinOBMsin 45，OM2.点A坐标为(1，5)，AO，在RtAOM中，sinOAB，OAB的正弦值为.(3)存在以点D，C，B构成的三角形与OAB相似如图，过点A作ANy轴于点N，则AN1，BNONOB541，ABN为等腰直角三角形，且ANB90，AB.OBOC4，BC4.又ABNOCB45，OBABCD135.当OBABCD时，即，解得CD2.点C(4，0)，此时点D为(6，0)当OBADCB时，即，解
12、得CD16，此时点D为(20，0)综上所述，当点D的坐标为(6，0)或(20，0)时，以点D，C，B构成的三角形与OAB相似类型二【例2】 (1)yx2中，当x0时，y2；当y0时，x4，C(0，2)，A(4，0)由抛物线的对称性可知，点A与点B关于x对称，点B的坐标为(1，0)抛物线yax2bxc过A(4，0)，B(1，0)，可设抛物线表达式为ya(x4)(x1)又抛物线过点C(0，2)，24a，a，yx2x2.(2)设P(m，m2m2)如图，过点P作PQx轴交AC于点Q，Q(m，m2)，PQm2m2(m2)m22m.SPACPQ42PQm24m(m2)24，当m2时，PAC的面积有最大值，
13、最大为4，此时P(2，3)(3)在RtAOC中，tanCAO，在RtBOC中，tanBCO，CAOBCO.BCOOBC90，CAOOBC90，ACB90，ABCACOCBO.如图，当M点与C点重合，即M1(0，2)时，M1AN1BAC；根据抛物线的对称性，当M2(3，2)时，M2AN2ABC；当点M在第四象限时，设M(n，n2n2)，则N(n，0)，MNn2n2，ANn4.当时，MNAN，即n2n2(n4)，整理得n22n80，解得n14(舍)，n22，M3(2，3)当时，MN2AN，即n2n22(n4)，整理得n2n200解得n14(舍)，n25，M4(5，18)综上所述，存在M1(0，2)
14、，M2(3，2)，M3(2，3)，M4(5，18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似跟踪训练3解：(1)点A的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线 x1，则点B(4，0)，设函数的表达式为ya(x2)(x4)，将点C(0，2)代入得8a2，解得a，故抛物线的表达式为yx2x2.(2)一次函数表达式为ymxn，将点B，C的坐标代入可求得yx2，则tanABC，sinABC，设点D(x，0)，则点P(x，x2x2)，点E(x，x2)PEOD，PEx2x2x2x，解得x0(舍去)或5，即点D(5，0)，SPBEPEBD1.(3)设M(x，x2)，BDM是以BD为腰的等腰三角形，BDBM
15、.BD1，(x4)2(x2)21，解得x1，x2.点M在x轴的上方，x，此时x2.存在M(，)，使BDM是以BD为腰的等腰三角形4解：(1)将A(0，3)，C(3，0)代入yx2bxc得解得抛物线的表达式是yx2x3.(2)将直线yx3与yx2x3联立并解得x0或4.A(0，3)，B(4，1)当点B，C，M三点不共线时，|MBMC|BC，当点B，C，M三点共线时，|MBMC|BC，当点B，C，M三点共线时，|MBMC|取最大值，即为BC的长如图，过点B作BEx轴于点E，在 RtBEC 中，由勾股定理得BC，|MBMC|取最大值为.(3)存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似设点P坐
16、标为(x，x2x3)(x0)在RtBEC中，BECE1，BCE45，在RtACO中，AOCO3，ACO45，ACB180454590，AC3.如图，过点P作PQPA于点P，则APQ90，过点P作PGy轴于点G.AGPAPQ90，PAGQAP，PGAQPA.PGAACB90，当时，PAGBAC，解得x11，x20(舍去)，点P的纵坐标为12136，点P为(1，6)当3时，PAGABC，3，解得x1(舍去)，x20(舍去)，此时无符合条件的点P.综上所述，存在点P(1，6)，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似类型三【例3】 (1)反比例函数y2的图象交于点A(1，5)，n5，反比例函数的表
17、达式是y.点B(m，1)在双曲线上，1，m5，B(5，1)(2)不等式kxb的解集为0x1或x5.(3)抛物线的顶点为A(1，5)，设抛物线的表达式为ya(x1)25.抛物线经过B(5，1)，1a(51)25，解得a，二次函数的表达式是y(x1)25.跟踪训练5解：(1)点A(2，0)，即OA2，且tanOAB，OB1，即点B(0，1)，设直线l的表达式为ykxb，将点A(2，0)，B(0，1)代入得解得则直线l的表达式为yx1.(2)点P到y轴的距离为1，且点P位于y轴左侧，点P的横坐标为1，则当x1时，y(1)1，点P的坐标为(1，)将点P代入y得，即m，则反比例函数表达式为y.(3)设抛
18、物线表达式为yax2c.将点P(1，)，A(2，0)代入得解得 则抛物线的表达式为yx22，其顶点坐标为(0，2)类型四【例4】 (1)yx2x，y(x3)22，点D的坐标为(3，2)令yx2x0得x11，x27，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(7，0)(2)点A与点F恰好重合，ACCF.又COAF，AOOF1，点F的坐标为(1，0)，AF2.设直线CD的表达式是ykxb，直线CD过点D，F，解得yx，C(0，)，AC2，ACAFFC2，ACF是等边三角形，CFAACFCAF60，ECFACF60，CFAECF60，ECAB.如图，过点D作DGy轴于点G，则DG3.DCG30，CD6，C
19、ECD6，而点F的坐标为(1，0)，点B的坐标为(7，0)，FB6，FBCE，四边形BFCE是平行四边形(3)设点P坐标为(m，m2m)当点P与A，B重合时均不符合要求，m1，m7.如图，点P在点A右侧时，连接PA，则m1.若PAM与DD1A相似，都是直角三角形，必有一锐角相等(i)若PAMDAD1，则点P，A，D共线，而直线AD与抛物线只有两个交点A，D，这种情况不存在点P，使得PAM与DD1A相似(ii)若PAMD1DA，则，m1或m，均不满足m1，当点P在点A右侧时，不存在点P，使得PAM与DD1A相似.如图，当点P在点A和点B之间，则7m1.(i)若PAMDAD1，则AD与AP重合，此
20、时不存在点P，使得PAM与DD1A相似(ii)若PAMD1DA，则，m1(不合题意，舍去)或m，当m时，PAM与DD1A相似.如图，当点P在点B左侧时，则m7.(i)若PAMDAD1，则，m1(不合题意，舍去)或m11，当m11时，PAM与DD1A相似(ii)若PAMD1DA，则，m1(不合题意，舍去)或m，当m时，PAM与DD1A相似综上所述，点P的横坐标为，11，.一共存在三个点P，使得PAM与DD1A相似跟踪训练6解：(1)将C(0，8)代入yax2bxc得c8.将点A(2，0)和B(4，0)代入yax2bx8得解得抛物线的表达式为yx22x8.(2)A(2，0)，C(0，8)，OA2，
21、OC8.lx轴，PEAAOC90，PAECAO，只有当PAEACO时，PEAAOC，此时，即，AE4PE.设点P的纵坐标为k，则PEk，AE4k，OE4k2，P点的坐标为(4k2，k)将P(4k2，k)代入yx22x8得(4k2)22(4k2)8k，解得k10(舍去)，k2.当k时，4k242，P点的坐标为(，)(3)在RtPFD中，PFDCOB90.ly轴，PDFOCB，RtPFDRtBOC，()2，SPFD()2SBOC.由B(4，0)知，OB4.又OC8，BC4.又SBOCOBOC4816，SPFD16PD2，当PD最大时，SPFD最大由B(4，0)，C(0，8)可得BC所在直线的表达式为y2x8.设P(m，m22m8)，则D(m，2m8)，PDm22m8(2m8)m24m(m2)24.当m2时，PD有最大值4，当PD4时，SPFD最大42.
