1、图形中动点的运动 知识互联网 题型一：因动点产生的函数关系问题思路导航我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系. 典题精练1. 圆中点的运动产生函数图象问题【例1】 如图，是的直径，为圆上一点点从点出发，沿运动到点，然后从点沿运动到点假如点在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是（ ）A B C D 如图，点、为圆的四等分点，动点从圆心出发，沿线段线段的路线作匀速运动设运动时间为秒，的度数为度，则下列图象中表示与的函数关系最恰
2、当的是（ ） A B C D 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，设弦的长为， 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）OyxOOOxxxyyy 如图，AB为半圆所在O的直径，弦CD为定长且小于O的半径(点C与点A不重合)，CFCD交AB于F，DECD交AB于E， G为半圆中点, 当点C在上运动时，设的长为，CF+DE= y，则下列图象中，能表示y与的函数关系的图象大致是（ ） A B C D【解析】 B C A B2. 因动点产生的面积问题【例2】 如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出
3、发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（）解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由【答案】AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角（1）BP=2t，则AP=10-2tP
4、QBC，即，解得t=，当t=s时，PQBC（2）如答图1所示，过P点作PDAC于点DPDBC，即，解得PD=6-tS=AQPD=2t(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+，当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分，则有SAQP=SABC，而SABC=ACBC=24，此时SAQP=12由（2）可知，SAQP=-t2+6t，-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，=(-5)2-4110=-150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t如
5、答图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，即，解得：PD=6-t，AD=8-t，QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t在RtPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8t）2+（6t）2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=，t=5s时，AQ=10cmAC，不符合题意，舍去，t=由（2）可知，SAQP=-t2+6tS菱形AQPQ=2SAQP=2（-t2+6t）=2-()2+6=cm2所以存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2题型二：因动点产生的特殊图形问题典题精练1. 因动点产生的等腰三角形问题【例3】 如图，四边形为矩形
6、，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动当其中一点到达终点时，运动结束过点作交于点，连接已知动点运动了秒 请直接写出的长；（用含的代数式表示） 试求的面积与时间秒的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值； 在这个运动过程中，能否为一个等腰三角形若能，求出所有的对应值；若不能，请说明理由【解析】 ； 其中，当时，取得最大值 由可知：若，则，解得，若，则过点作于，易得是矩形，又，则，解得（舍去），另解：过点作.，又，解得.若，则过点作于，易得是矩形，且，解得综上所述，若可以成为等腰三角形，满足条件的的值可以为2. 因动点产生的直角三角形问题
7、【例4】 如图，已知是线段上的两点，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合成一点，构成，设求的取值范围；若为直角三角形，求的值.【解析】 在中，解得 若为斜边，则，即，无解若为斜边，则，解得，满足若为斜边，则，解得，满足或 3. 因动点产生的特殊四边形问题【例5】 如图，在矩形中，分别从，出发沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若，则，CM=3xcm，当为何值时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形；当为何值时，以，为顶点的四边形是平行四边形；以，为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求的值
8、；如果不能，请说明理由【解析】 当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点与点重合时，由得，（舍去）因为，此时点与点不重合所以符合题意 当点与点重合时，由得此时，不符合题意故点与点不能重合所以所求的值为 由知，点只能在点的左侧，当点在点的左侧时，由，解得当时，四边形是平行四边形 当点在点的右侧时，由， 解得当时四边形是平行四边形所以当时，以，为顶点的四边形是平行四边形 过点，分别作的垂线，垂足分别为点，由于，所以点一定在点的左侧若以，为顶点的四边形是等腰梯形， 则点一定在点的右侧，且， 即解得由于当时， 以，为顶点的四边形是平行四边形，所以以
9、，为顶点的四边形不能为等腰梯形 【例6】 如图，在中，动线段（端点从点开始）沿边以的速度向点运动，当端点到达点时运动停止过点作交于点（当点与点重合时，与重合），连接，设运动的时间为秒()直接写出用含的代数式表示线段、的长；在这个运动过程中，能否为等腰三角形？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；设、分别是、的中点，求整个运动过程中，所扫过的面积【解析】，分三种情况讨论：当时，有，点与点重合，当时，解得： 当时，有，即，解得： 综上所述，当、或秒时，为等腰三角形设是的中点，连接，又，点沿直线运动，也随之平移如图，设从位置运动到位置，则四边形是平行四边形 、分别是、的中点，且分别过点、作，垂足为，
10、垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，当时，；当时，整个运动过程中，所扫过的面积为复习巩固题型一 因动点产生的函数关系问题 巩固练习【练习1】 如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，边长为2的正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形与AOB重叠部分的面积为则表示与的函数关系的图象大致是（ ） 【解析】 D.ABCDEF题型二 因动点产生的特殊图形问题 巩固练习【练习2】 如图，在矩形中，（是大于的常数），为线段上的动点（不与、重合）连结，作，与射线交于点，设，求关于的函数关系式； 若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【解析】 因为与都是的余角
11、，所以又因为，所以因为，即整理，得关于的函数关系为 如图1，当时，因此当时，取得最大值为2 若，那么整理，得解得或要使为等腰三角形，只存在的情况因为，所以，即将代入，得（如图2）；将代入，得（如图3）【练习3】 如图，已知中，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合，点Q不与B、C重合，当CQ的长取不同的值时，是否可能为直角三角形？若可能，请求出CQ的范围；若不能，说明理由【解析】 为直角三角形，可能有三种情况，但点P不与点A重合，所以么不可能为直角，因此有两种情况： 若为直角，如图，则CQ的范围为 若为直角，则点P在以CQ为直径的上，而点P在边AB上，就必须与边AB有公共点，即
12、与边AB相切或相交，我们先从与边AB相切入手求出CQ的长：如图，连结OP，则，得设，得，解得，若为直角，CQ的范围为【点评】 从相等到不等求范围，要抓住变化中图形的特殊位置，而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口【练习4】 已知：如图，在直角梯形中，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒求直线的解析式；若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；当动点在线段上移动时，能否在线段上找
13、到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由ABDCOxy（此图备用）ABDCOPxy【解析】 直线的解析式为 如图1，过点作轴，垂足为在中，所以梯形的面积解方程，解得因此，当时，四边形的面积是梯形的面积的 如图1， 当在线段上时，； 如图2，当在线段上时，； 如图3，当在线段上时， 四边形不可能成为矩形说理如下：如图4，当时，作交轴于在中，在中，所以，因此四边形不是矩形【练习5】 已知：如图，在中，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接若设运动的时间为（）AQCPB图AQCPB图如图，连接，并把沿翻折，得到四边形，
14、那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由【解析】 如图过点P作PMAC于，PNBC于N，P BAQPCMN若四边形PQP C是菱形，那么PQPCPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC， ，解得：当时，四边形PQP C 是菱形 此时，在RtPMC中，菱形PQP C边长为课后测【测试1】如图：等边中，边长，点在线段上，点在射线上，点沿方向从点以每秒1个单位的速度向终点运动，点沿方向从点以每秒2个单位的速度运动，当点停止时点也停止运动，设运动时间为秒，若、三点围成的图形的面积为来表示，则与的图象是（）ABC【解析】B【测试2】 矩形中，点是
15、线段上一动点，为的中点，的延长线交于 求证：； 若厘米，厘米，从点出发，以1厘米/秒的速度向运动（不与重合）设点运动时间为秒，请用表示的长；并求为何值时，四边形是菱形【解析】 证明：四边形是矩形，又， 四边形是矩形，当四边形是菱形时，又，即，解得，即运动时间为秒时，四边形是菱形 第十七种品格：成就换个思维想问题，成功马上就来临有一家效益相当好的大公司，为扩大经营规模，决定高薪招聘营销主管。广告一打出来，报名者云集。 面对众多应聘者，招聘工作的负责人说：“相马不如赛马，为了能选拔出高素质的人才，我们出一道实践性的试题：就是想办法把木梳尽量多的卖给和尚。”绝大多数应聘者感到困惑不解，甚至愤怒：出家
16、人要木梳何用？这不明摆着拿人开涮吗？于是纷纷拂袖而去，最后只剩下三个应聘者：甲、乙和丙。负责人交待：“以10日为限，届时向我汇报销售成果。” 10日到。负责人问甲：“卖出多少把？”答：“1把。”“怎么卖的？”甲讲述了历尽的辛苦，游说和尚应当买把梳子，无甚效果，还惨遭和尚的责骂，好在下山途中遇到一个小和尚一边晒太阳，一边使劲挠头皮。甲灵机一动，递上木梳，小和尚用后满心欢喜，于是买下一把。负责人问乙：“卖出多少把？”答：“10把。”“怎么卖的？”乙说他去了一座名山古寺，由于山高风大，进香者的头发都被吹乱了，他找到寺院的住持说：“蓬头垢面是对佛的不敬。应在每座庙的香案前放把木梳，供善男信女梳理鬓发。”住持采纳了他的建议。那山有十座庙，于是买下了10把木梳。负责人问丙：“卖出多少把？”答：“1000把。”负责人惊问：“怎么卖的？”丙说他到一个颇具盛名、香火极旺的深山宝刹，朝圣者、施主络绎不绝。丙对住持说：“凡来进香参观者，多有一颗虔诚之心，宝刹应有所回赠，以做纪念，保佑其平安吉祥，鼓励其多做善事。我有一批木梳，您的书法超群，可刻上积善梳三个字，便可做赠品。”住持大喜，立即买下1000把木梳。得到“积善梳”的施主与香客也很是高兴，一传十、十传百，朝圣者更多，香火更旺。 把木梳卖给和尚，听起来真有些匪夷所思，但不同的思维，却有不同的结果。 今天我学到了 15
