1、第1讲 与有理数有关的概念考点方法破译1了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典考题赏析【例1】写出下列各语句的实际意义向前7米收人50元体重增加3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反二是它们具有数量而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：向前7米表示向后7米收入50元表示支出50元体重增加3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01如果
2、10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A 18% B 8% C 2% D 8%02（金华）如果3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A 5吨 B 5吨 C 3吨 D 3吨03（山西）北京与纽约的时差13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是_【例】在，这四个数中有理数的个数（ )A 1个 B 2个 C 3个 D 4个【解法指导】有理数的分类：按正负性分类，有理数；按整数、分数分类，有理数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为3.1415926是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以不是有理数，是分数是无限循环小数可以化成
3、分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C【变式题组】01在7，01 5，301.31.25，100.l，3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，0.15.32，123, 2.333【例】（宁夏）有一列数为1，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：各数的分子部是1；各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1分母是2007，并且是一个负数，故答案为.
4、【变式题组】01（湖北宜宾）数学解密：第一个数是32 1，第二个数是53 2，第三个数是954，第四十数是1798观察并精想第六个数是 .02（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填_.03（茂名）有一组数l，2，5，10，17，26请观察规律，则第8个数为_.【例】（2008年河北张家口）若l的相反数是3，则m的相反数是_.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题4,m8 【变式题组】01（四川宜宾）5的相反数是( )A5 B C 5 D 02已
5、知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则abcd_03如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A、B、C内的三个数依次为( )A 1 ,2，0 B 0，2，1 C 2，0，1 D 2，1，0【例】（湖北）a、b为有理数，且a0，b0，|b|a，则a,b、a,b的大小顺序是( )A baab B abab C baab D aabb【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|.本题注意数形结合思想，画一条数轴 标出a、b,依相反
6、数的意义标出b,a,故选A【变式题组】01推理若ab，则|a|b|；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|；若|a|b|，则ab，其中正确的个数为（ ）A 4个 B 3个 C 2个 D 1个02a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则 .03a、b、c为不等于O的有理散，则的值可能是_.【例】（江西课改）已知|a4|b8|0，则的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|a|0所以|a4|0，|b8|0.而两个非负数之和为0，则两数均为0. 解：因为|a4|0，|b8|0，又|a4|b8|0，|a4|0，|b8|0即a40，b80，a4，b8.故【
7、变式题组】01已知|a|1，|b|2，|c|3，且abc，求abC02（毕节）若|m3|n2|0，则m2n的值为( )A 4 B 1 C 0 D 403已知|a|8，|b|2，且|ab|ba，求a和b的值【例】（第l8届迎春杯）已知(mn)2|m|m，且|2mn2|0求mn的值【解法指导】本例关键是通过分析(mn)2|m|的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问题转化为(mn)20，|2mn2|0，找到解题途径. 解：(mn)20，|m|O(mn)2|m|0，而(mn)2|m|m m0,(mn)2mm，即(mn)20mnO 又|2mn2|02mn20 由得m，n， mn【变式题组】01已知(ab)
8、2|b5|b5且|2abl|0，求aB02（第16届迎春杯）已知y|xa|x19|xa96|，如果19a96ax96,求y的最大值.演练巩固反馈提高01观察下列有规律的数,根据其规律可知第9个数是( )A B C D 02（芜湖）6的绝对值是( )A 6 B 6 C D 03在,8.四个数中，有理数的个数为( )A 1个 B 2个 C 3个 D 4个04若一个数的相反数为ab，则这个数是( )A ab B ba C ab D ab05数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A 0和6 B 0和6 C 3和3 D 0和306若a不是负数，则a( )A 是正数 B 不是负数 C 是
9、负数 D 不是正数07下列结论中，正确的是( )若ab,则|a|b| 若ab,则|a|b|若|a|b|，则ab 若|a|b|,则abA B C D 08有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a、b，a，|b|的大小关系正确的是( )A |b|aab B |b| baa C a|b|ba D a|b|ab09一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是_.10已知|x2|y2|0，则xy_.11a、b、c三个数在数轴上的位置如图，求12若三个不相等的有理数可以表示为1、a、ab也可以表示成0、b、的形式，试求a、b的值.13已知|a|4，|b|5，|c|
10、6，且abc，求abC14|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|xl|x3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|OB|b|ab|当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:如图2，点A、B都在原点的右边|AB|OB|OA|b|a|ba|ab|；如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|OB|OA|b|a|b(a)|ab|；如图4，点A、B在原点的两边，|AB|OB|OA|b|a|b（a）|ab|；综上，数轴上A、B两点之间的
11、距离|AB|ab|回答下列问题:数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 3，数轴上表示1和3的两点之间的距离是 4；数轴上表示x和1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 |x+1|，如果|AB|2，那么x 1或3；当代数式|x1|x2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7培优升级奥赛检测01（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A 1998 B 1999 C 2000 D 200102（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：ab
12、c0;|ab|bc|ac|；（ab）(bc)(ca)0；|a|1bc其中正确的结论有( )A 4个 B 3个 C 2个 D 1个03如果a、b、c是非零有理数，且abc0那么的所有可能的值为（ ） A 1 B 1或1 C 2或2 D 0或204已知|m|m，化简|ml|m2|所得结果( )A 1 B 1 C 2m 3 D 3 2m05如果0p15，那么代数式|xp|x15|xp15|在px15的最小值( )A 30 B 0 C 15 D 一个与p有关的代数式06|x1|x2|x3|的最小值为 .07若a0，b0，使|xa|xb|ab成立的x取值范围 .08（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足
13、|m|n|50所有这样的整数组(m，n)共有 组09若非零有理数m、n、p满足1则 .10（19届希望杯试题）试求|x1|x2|x3|x1997|的最小值.11已知(|xl|x2|)（|y2|y1|）（|z3|zl|）36，求x2y3的最大值和最小值.12电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3
14、台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲 有理数的加减法考点方法破译1理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典考题赏析【例】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（ ）A0.3元B16.2元C16.8元D18元【解法指导】将实
15、际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18（1.5）（0.3）16.8，故选C【变式题组】01今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为6，西安市最低气温2，这一天延安市的最低气温比西安低（ ）A8B8C6D202（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为_03（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为155 m，则它们的平均海拔高度为_【例】计算（83）（26）（1
16、7）（26）（15）【解法指导】应用加法运算简化运算，83与17相加可得整百的数，26与26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：互为相反数结合一起；相加得整数结合一起；同分母的分数或容易通分的分数结合一起；相同符号的数结合一起.解：（83）（26）（17）（26）（15）（83）（17）（26）（26）15（100）1585【变式题组】01（2.5）（3）（1）（1）02（13.6）0.26（2.7）（1.06）030.1253（3）11（0.25）【例】计算【解法指导】依进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式 【变式题组】01计算1（2）3（4） 99（100） 02如图，把一
17、个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算_.【例】如果a0，b0，ab0，那么下列关系中正确的是（ ）AabbaBaabbCbabaDabba【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：a0，b0，ab是异号两数之和又ab0，a、b中负数的绝对值较大，| a | b |将a、b、a、b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是abba【变式题组】01若m0，n0，
18、且| m | n |，则mn _ 0.（填、号）02若m0，n0，且| m | n |，则mn _ 0.（填、号）03已知a0，b0，c0，且| c | b | a |，试比较a、b、c、ab、ac的大小【例】4（33）（1.6）（21）【解法指导】有理数减法的运算步骤：依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；利用有理数的加法法则进行运算.解：4（33）（1.6）（21）4331.621 4.41.6（3321）65561【变式题组】01024（3.85）（3）（3.15）0317887.21（43）15312.79【例】试看下面一列数：25、23、21、19观察这列数，猜
19、想第10个数是多少？第n个数是多少？这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：第10个数为7，第n个数为252(n1)n13时，252(131)1，n14时，252(141)1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和（251）（233）（1511）1326613169【变式题组】01(杭州)观察下列等式1，2，3，4依你发现的规律，解答
20、下列问题.写出第5个等式；第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02观察下列等式的规律918,16412,25916,361620用关于n（n1的自然数）的等式表示这个规律；当这个等式的右边等于2008时求n.【例】（第十届希望杯竞赛试题）求（）（）（） （）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S（）（） （）则有S（）（） （）将原式和倒序再相加得2S（）（） （）即2S1234491225S【变式题组】01计算2222324252627282921002（第8届希望杯试题）计算（1）（）
21、（1）（）演练巩固反馈提高01m是有理数，则m|m|（ ）A可能是负数B不可能是负数C比是正数D可能是正数，也可能是负数02如果|a|3，|b|2，那么|ab|为（ ）A5B1C1或5D1或503在1，1，2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）A1B0C1D304两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）A两数一定都是正数B两数都不为0C至少有一个为负数D至少有一个为正数05下列等式一定成立的是（ ）A|x| x 0Bxx 0C|x|x| 0D|x|x|006一天早晨的气温是6，中午又上升了10，午间又下降了8，则午夜气温是（ ）A4B4C3D507若a0，则|a(a)|等于（ ）Aa
22、B0C2aD2a08设x是不等于0的有理数，则值为（ ）A0或1B0或2C0或1D0或209（济南）2(2)的值为_10用含绝对值的式子表示下列各式： 若a0，b0,则ba_，ab_ 若ab0，则|ab|_ 若ab0，则ab_11计算下列各题：23（27）955.40.20.60.350.250.532.75733.110.7（22.9）|12计算1357911979913某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：10，3，4，2，8，13，7，12，7，5问收工时距离A地多远？若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多
23、少千克？14将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的以此类推，直到最后减去余下的，最后的得数是多少？15独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如来表示，用表示等等.现有90个埃及分数：，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于1吗？培优升级奥赛检测01（第16届希望杯邀请赛试题）等于（ ）ABCD02自然数a、b、c、d满足1，则等于（ ）ABCD03（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd441，则abcd值是（ ）A30B32C34D3604（第7届希望
24、杯试题）若a，b，c，则a、b、c大小关系是（ ）AabcBbcaCcbaDacb05的值得整数部分为（ ）A1B2C3D406(2)20043(2)2003的值为（ ）A22003B22003C22004D2200407（希望杯邀请赛试题）若|m|m1，则(4m1)2004_08（）（） （）_09_10122223242526272829210_11求3200172002132003所得数的末位数字为_12已知(ab)2|b5|b5，且|2ab1|0，求aB13计算(1)(1) (1) (1) (1)14请你从下表归纳出13233343n3的公式并计算出132333431003的值.第03
25、讲 有理数的乘除、乘方考点方法破译1理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典考题赏析【例】计算 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：【变式题组】0
26、1 02 304【例】已知两个有理数a、b，如果ab0，且ab0，那么（ ）Aa0，b0 Ba0，b0 Ca、b异号 Da、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab0知a、b异号，又由ab0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D【变式题组】01若abc0，且bc0，则下列各式中，错误的是（ ）Aab0 Bbc0 Cabac0 Dabc002已知ab0，ab0，ab0，则a_0，b_0，|a|_|b|.03(山东烟台)如果ab0，则下列结论成立的是（ ）Aa0，b0 Ba0
27、，b0 Ca0，b0 Da0，b004(广州)下列命题正确的是（ ）A若ab0，则a0，b0 B若ab0，则a0，b0 C若ab0，则a0或b0 D若ab0，则a0且b0【例】计算 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：【变式题组】01 02 03【例】（茂名）若实数a、b满足，则_.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab0，；当ab0，ab0，从而1.【变式题组】01若k是有理数，则
28、(|k|k)k的结果是（ ）A正数 B0 C负数 D非负数02若Ab都是非零有理数，那么的值是多少？03如果，试比较与的大小.【例】已知求的值； 求的值.【解法指导】表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：当时，当时，当时，当时，【变式题组】01（北京）若，则的值是_.02已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求的值，这里n是正整数.【例】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A0.135106 B1.35106 C0.135107
29、D1.35107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a10n 的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B【变式题组】01（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A1.03105 B0.103105 C10.3104 D103103 02（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A25.3105亩 B2.53106亩 C253104亩 D2.53107亩【例】（上海竞赛）【解法指导】找出的通项公式原式99【变式题组】A B C D02（第10届希望杯试题）已知求的值.演练巩固反馈提高0
30、1三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D1个或3个02两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A互为相反数 B其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C都是负数 D其中绝对值大的数是负数，另一个是正数03已知abc0，a0，ac0，则下列结论正确的是（ ）Ab0，c0 Bb0，c0 Cb0，c0 Db0，c004若|ab|ab，则（ ）Aab0 Bab0 Ca0，b0 Dab005若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式的值为（ ）A3 B1 C3 D3或106若a，则a的取值范围（ ）Aa1 B0a1 Ca1 D1a0或a107
31、已知a、b为有理数，给出下列条件：ab0；ab0；ab0；，其中能判断a、b互为相反数的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个08若ab0，则的取值不可能为（ ）A0 B1 C2 D209的值为（ ）A2 B(2)21 C0 D210 10(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A2.89107 B2.89106 C2.89105 D2.89104 11已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd9，则abcd_.12（n为自然数）_.13如果，试比较与xy的大小.14若a、b、c为有理数且，求的值.15若a、b、c均为整数，
32、且.求的值.培优升级奥赛检测01已知有理数x、y、z两两不相等，则中负数的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D0个或2个02计算归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（ ）A1 B3 C7 D503已知，下列判断正确的是（ ）Aabcde0 Bab2cd4e0 Cab2cde0 Dabcd4e004若有理数x、y使得这四个数中的三个数相等，则|y|x|的值是（ ）A B0 C D05若A，则A1996的末位数字是（ ）A0 B1 C7 D906如果，则的值是（ ）A2 B1 C0 D107已知，则a、b、c、d大小关系是（ ）Aabcd Babdc Cbacd Dadbc08已知a
33、、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则_.09（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是_.第一组：第二组：第三组：10一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：，()，在()中左起第m个数记为F(m)，当F(m)时，求m的值和这m个数的积.12图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.32x6413(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且证明： ，求m、n的值.第04讲 整式考点方法破译1掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2掌握多项式及多
