1、3.2基本不等式与最大(小)值学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.知识点用基本不等式求最值基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足.1.yx的最小值为2.()2.因为x212x，当且仅当x1时取等号.所以当x1时，(x21)min2.()3.y23x(x0)的最大值为24.()题型一基本不等式与最值例1(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)设0x2，求x的最
2、小值.解(1)当x0时，x24，当且仅当x，即x24，x2时取等号.函数yx(x0)在x2处取得最小值4.(2)0x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立.，函数y4x(32x)的最大值为.(3)x2，x20，xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立.x的最小值为6.反思感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.跟踪训练1已知x3，求f(x)x的最大值.解x3，x30，y0，1，x2
3、y(x2y)1010218.当且仅当即时，等号成立，故当x12，y3时，(x2y)min18.引申探究1.若x0，y0，且x2yxy，求xy的最小值.解x0，y0且x2yxy，1，xy(xy)33232，当且仅当，即xy时等号成立，又1.当x2，y1时，xy取得最小值32.2.若x0，y0且xy6，求xy的最大值.解x0，y0，xy6，xy29，当且仅当xy3时，xy取得最大值9.3.若x0，y0，且x21，求x的最大值.解xxx，当且仅当x，即x，y时，x取得最大值.4.若x0，y0，且2xy6xy，求xy的最小值.解xy2xy626，令t0.则t22t6，即t22t60，t3或t(舍)，x
4、y18，当且仅当2xy且2xy6xy，即x3，y6时，xy取得最小值18.反思感悟(1)若已知两个变量的和为定值或积为定值，求积或和的最值可直接利用基本不等式求解；(2)若“已知axbym(a，b，x，y均正)，求的最值”或“已知1(a，b，x，y均正)，求xy的最值”，则利用“常值代换法”构造定值求解.(3)若“已知axbymxy”，求xy或xy的最值，通常换元解不等式.跟踪训练2(1)已知正数x，y满足xy1，求的最小值.解xy1，(xy)14.x0，y0，0，0，24，59.当且仅当即x，y时等号成立.min9.(2)若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_.答案解析根据题意，
5、1(xy)2xy(xy)22(xy)2，所以(xy)2，所以xy，当且仅当xy0且x2y2xy1，即xy时等号成立.基本不等式在实际问题中的应用典例某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管费及其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1).设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)90061 8009x10 809210 80910 989(元)
6、，当且仅当9x，即x10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少.引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x1，x215，)，且x1x2.则9(x1x2)900(x1x2)(x1x2).15x1x2，x1x20，x1x2225，(x1x2)0)的最小值为22D.函数y23x(x0)的最大值为22答案D解析y22222，当且仅当3x，即x时，“”成立.2.若x，y0，且x2y3，则的最小值为()A.2 B. C.1 D.32答案C解析1121，当且仅当，即x3(1)，y时等号成立
7、.3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m答案C解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，所以ab4，lab2426.828(m)(当且仅当ab2时，取等号).因为要求够用且浪费最少，故选C.4.若正数a，b满足2，则ab的最小值为_.答案4解析a，b都为正数，22，ab4.当且仅当a1，b4时，等号成立.5.设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_.答案4解析由题意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因为a
8、0，b0，所以(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立.1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p0)的单调性求得函数的最值.2.求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
