1、2实际问题的函数建模一、选择题1.在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线yf(x)，另一种是平均价格曲线yg(x).例如，f(2)3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元.下图给出的四个图像中，实线表示yf(x)，虚线表示yg(x)，其中可能正确的是()考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案C解析开始时平均价格与即时价格一致，排除A，D；平均价格不能一直大于即时价格，排除B.2.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元.据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应
2、降低的价格为()A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案D解析设每件降价0.1x元，则每件获利(40.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000100x)，利润y(40.1x)(1 000100x)10x2300x4 00010(x230x225225)4 00010(x15)26 250.当x15时，ymax6 250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益.3.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金
3、开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2017年 B.2018年 C.2019年 D.2020年考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案D解析设从2016年起，过了n(nN)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130(112%)n200，则n3.8，由题意取n4，则n2 0162 020.故选D.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A.x15，y12 B.x12，y15C
4、.x14，y10 D.x10，y14考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案A解析由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y12)2180(8y24).当y12时，S有最大值，此时x15.5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据.根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟 B.3.75分钟C.4.00分钟 D.4.25分钟考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案B解析依题意得解得所以p0.2t2
5、1.5t20.22，所以当t3.75时，p取得最大值.所以最佳加工时间为3.75分钟.故选B.6.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系yalog3(x2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2018年冬有越冬白鹤()A.4 000只 B.5 000只C.6 000只 D.7 000只考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案C解析当x1时，由3 000alog3(12)，得a3 000，所以到2018年冬，即第7年，y3 000log3(72)6 000.故选C.二、填空题7.现测得(x，y)的两组对应值分别为(
6、1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用_作为函数模型.考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型答案甲解析将x3分别代入yx21及y3x1，得y32110，y3318.由于10更接近10.2，所以选用甲模型.8.某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林_亩.考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案17 280解析易知第四年造林为10 000(120%)310 0001.2317 280(亩).9.工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya0.5xb，现已知
7、该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为_万件.考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案1.75解析由题意有解得y20.5x2，3月份产量为y20.5321.75(万件).10.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系Ra(a为正数)，广告效应为DaA.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为_.考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案解析DaA2，当时，Dmax，此时A.三、解答题11.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设
8、该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100 元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域.解因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2(元)，则200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3).由h0，r0，可得0r5，故函数V(r)的定义域为(0,5).12.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订
9、购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元.写出函数Pf(x)的表达式.(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本)解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0100550，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.(2)当0x100时，P60；当100x550时，P600.02(x100)62；当x550时，P51.Pf(x)(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L(P40)x当x500时，L6 000；当x1 000时，L11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润为6 000元，当一次订购1 000个时，利润为11 000元.
