1、1集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.知识点一元素与集合的概念1.集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合.集合常用大写字母A，B，C，D，标记.2.元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素.常用小写字母a，b，c，d，表示集合中的元素.知识点二元素与集合的关系元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为、.知识点三元素的三个特性元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.思考某中学2018级高一年级20个班构成一个集合A，高一(1
2、0)班、高二(6)班是集合A中的元素吗？若aA，bA，则元素a，b有什么关系？为什么？答案高一(10)班是A中的元素，高二(6)班不是A中的元素.ab，这是因为集合A中的元素具有互异性.知识点四常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN或N*ZQR1.yx1上所有点构成集合A，则点(1,2)A.()2.某班所有的“帅哥”构成一个集合.()3.由方程x240和x20的根组成的集合中有3个元素.()4.元素0,1,2和元素2,1,0组成的集合是不相同的.()题型一对集合含义的理解例1考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；(2)方程x290在实数范围内的
3、解；(3)某班的所有高个子同学；(4)的近似值的全体.考点集合的概念题点集合的概念解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合.(2)能构成集合.(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合.(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角
4、坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数考点集合的概念题点集合的概念答案B解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.题型二元素与集合的关系例2给出下列关系：R；Q；|3|N；|Q；0N，其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案B解析是实数，对；不是有理数，对；|3|3是自然数，错；|为无理数，错；0是自然数，错.故选B.反思感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合
5、中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.跟踪训练2给出下列命题：N中最小的元素是1；若aN，则aN；若aN，bN，则ab的最小值是2.其中所有正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析自然数集中最小的元素是0，故不正确；对于，若aN，即a是自然数，当a0时，a仍为自然数，所以也不正确.题型三元素的三个特性的应用例3已知集合A有三个元素：a3,2a1，a21，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若3A，求a的值；(2)若x2B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.考点元素与集合的关系题
6、点由元素与集合的关系求参数的值解(1)由3A且a211，可知a33或2a13，当a33时，a0；当2a13时，a1.经检验，0与1都符合要求.a0或1. (2)当x0,1，1时，都有x2B，但考虑到集合元素的互异性，x0，x1，故x1.(3)显然a210.由集合元素的无序性，只可能a30或2a10.若a30，则a3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同；若2a10，则a，A包含的元素为0，与集合B中元素不相同.故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.反思感悟元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序
7、对应相等.元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.跟踪训练3已知集合M中含有三个元素：a，1，集合N中含有三个元素：a2，ab,0，若集合M与集合N中元素相同，求a，b的值.考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值解集合M与集合N中元素相同.解得或由集合中元素的互异性，得a1，a1，b0.根据已知元素与集合的关系推理典例设A是某实数集合，满足若aA，则A，a1，且1A.(1)若2A，则集合A中至少还有几个元素？求出这几个元素；(2)集合A中能否只含有一个元素？请说明理由；(3)若aA，证明：1A.考点元素与集合的关系题点伴随元素问题(1)解因为2A，
8、所以1A；所以A；所以2A.因此，集合A中至少还有两个元素1和.(2)解不能.如果集合A中只含有一个元素，则a，整理得a2a10.该方程无实数解，故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素.(3)证明aAAA.即A，故1A.素养评析1.判断或证明元素和集合关系的两种方法(1)直接法使用前提：集合中的元素是直接给出的.判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法使用前提：对于某些不便直接表示的集合.判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.2.掌握推理基本形式和规则，探索和表达论证过程，体现了逻辑推
9、理的数学核心素养.1.下列给出的对象中，能组成集合的是()A.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程x210的实数根考点集合的概念题点集合的概念答案D2.下列结论中，不正确的是()A.若aN，则N B.若aZ，则a2ZC.若aQ，则|a|Q D.若aR，则R考点元素与集合的关系题点常用的数集及表示答案A3.若一个集合中的三个元素a，b，c是ABC的三边长，则此三角形一定不是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形考点元素的三特性题点元素互异性的应用答案D4.由“book中的字母”构成的集合中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4考点元素与集合的关系题点集
10、合中元素的个数答案C5.已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，则实数m的值为()A.2 B.3C.0或3 D.0,2,3均可考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值答案B解析由2A可知：若m2，则m23m20，这与m23m20相矛盾；若m23m22，则m0或m3，当m0时，与m0相矛盾，当m3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体.如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合.2.元素a与集合A之间只有两种关系：aA，aA.3.集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相同的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.
