1、3二倍角的三角函数(一)学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变形并能灵活地将公式变形运用知识点一二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos ， (S2)(3.9)cos 2cos2sin2 (C2)(3.10)12sin2(3.11)2cos21，(3.12)tan 2. (T2)(3.13)知识点二二倍角公式的变形1公式的逆用2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos2sin2cos 2，tan 2.2二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式升幂公式1cos 22co
2、s2，1cos 22sin2，1cos 2cos2,1cos 2sin2 .降幂公式cos2，sin2.1sin 2sin cos .()2cos 4cos22sin22.()3对任意角，tan 2.()提示公式中所含各角应使三角函数有意义如及，上式均无意义.题型一给角求值例1(1)计算：cos2sin2；考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值解原式cos .(2)计算：；考点应用二倍角公式化简求值题点利用正切的二倍角公式化简求值解222.(3)计算：cos 20cos 40cos 80.考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值解原式2sin 20cos
3、20cos 40cos 80sin 40cos 40cos 80sin 80cos 80sin 160.反思感悟对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos cos cos ；(2).解(1)原式.(2)原式4.题型二给值求值例2(1)若sin cos ，则sin 2 .答案解析(sin cos )
4、2sin2cos22sin cos 1sin 22，即sin 212.(2)若tan ，则cos22sin 2等于()A. B. C1 D.答案A解析cos22sin 2.把tan 代入，得cos22sin 2.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin cos ，求sin 2.解由题意，得(sin cos )2，12sin cos ，即1sin 2，sin 2.反思感悟(1)给值求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论(2)一个重要结论：(sin cos )2
5、1sin 2.跟踪训练2(1)若sin()，且，则sin 2的值为()A B C. D.答案A解析(1)因为sin()，所以sin ，又因为，所以cos ，所以sin 22sin cos 2.(2)已知为第三象限角，cos ，则tan 2 .考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角正切值答案解析因为为第三象限角，cos ，所以sin ，tan ，tan 2.题型三利用二倍角公式化简证明例3(1)化简：.考点应用二倍角公式化简求值题点利用二倍角公式化简证明三角函数式解方法一原式tan .方法二原式tan .(2)求证：tan 2.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明左边
6、tan 2右边反思感悟三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等(5)利用“1”的恒等变形，如tan 451，sin2cos21等跟踪训练3cos275cos215cos 75cos 15等于()A. B. C. D1考点利用二倍角公式化简求值题点利用正弦二倍角公式化简求值答案C解析原式sin215cos215sin 15cos 151sin 301.利用二倍角公式化简求值典例等腰三角形一个底角的余弦值为
7、，那么这个三角形顶角的正弦值为 考点利用二倍角公式化简求值题点利用二倍角公式求二倍角的正弦值答案解析设A是等腰ABC的顶角，则cos B，sin B.所以sin Asin(1802B)sin 2B2sin Bcos B2. 素养评析在实际问题中，提炼出等腰三角形的底角、顶角之间的关系，再利用二倍角公式化简或求值，这正是数学核心素养数学抽象的体现.1已知cos x，则cos 2x等于()A B. C D.答案D解析cos 2x2cos2x1221.故选D.2sin4cos4等于()A B C. D.答案B解析原式cos .3. .答案1解析tan 151.4设sin 2sin ，则tan 2 .答案解析sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0，2cos 10，即cos ，tan 2tan.5已知sin，0x，求的值解原式2sin.sincos，且0x，x，sin，原式2.1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；(nN)2二倍角余弦公式的运用在倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式：1cos 22cos2；cos2；1cos 22sin2；sin2.
