1、9.1数列的概念 (一)学习目标1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式知识链接下列4个结论正确的有_(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数；(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4) 对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则f(x)是增函数答案(3) 解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并不一定是数集，故(1)错；某地区的某天的温度
2、y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确预习导引1数列及其相关的概念按某种规则依次排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第1位的数称为这个数列的首项或叫做第1项，排在第2位的数称为这个数列的第2项，依次类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项2数列的表示方法一般形式可以写成a1，a2，an，简记为an3数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列4数列的通项公式如果数列an的第n项an可以用关于n的一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列a
3、n的通项公式题型一数列的有关概念例1下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由(1)0,1,2,3,4是有穷数列；(2)所有自然数能构成数列；(3)3，1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；(4)数列1,3,5,7，2n1，的通项公式是an2n1.解(1)错误0,1,2,3,4是集合，不是数列(2)正确如将所有自然数按从小到大的顺序排列(3)错误当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成(4)错误数列1,3,5,7，2n1，的第n项为2n1，故通项公式为an2n1.规律方法(1)数列的项与项数是两个
4、不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.(2)数列an表示数列a1，a2，a3，an，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别跟踪演练1已知下列数列：(1)2007,2011,2015,2019；(2)0，；(3)1，；(4)1，；(5)1,0，1，sin，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，摆动数列是_，周期数列是_(将合理的序号填在横线上)答案(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)(5)解析(1)是
5、有穷递增数列；(2)是无穷递增数列(因为1)；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.题型二根据数列的前几项写出通项公式例2根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)，2，8，；(3)0.8,0.88,0.888，；(4)，；(5)，1，.解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)类似(1)统一分母为2，则有，因而有an.(3)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(
6、10.001)，an.(4)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，至此原数列已化为，an(1)n.(5)将数列统一为，对于分子3,5,7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，可得原数列的一个通项公式为an.规律方法此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体思考方向为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后
7、的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系跟踪演练2写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，；(2)，；(3)，1，.解(1)中3可看作211,5可看作221,9可看作231,17可看作241,33可看作251，.所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，所以an.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是321,421,521,621，按照这样的规律第
8、1,2两项可分别改写为，所以an(1)n1.题型三数列通项公式的应用例3已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由解(1)根据an3n228n，a434228464，a636228660.(2)令3n228n49，即3n228n490，n7或n(舍)49是该数列的第7项，即a749.令3n228n68，即3n228n680，n2或n.2N*，N*，68不是该数列的项规律方法(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项(2)判断某
9、数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项跟踪演练3已知数列an的通项公式为anlog2，那么log23是这个数列的()A第3项B第4项C第5项D第6项答案A解析由3，得n2123，所以n3.故答案为A.课堂达标1下列说法中，正确的是()A数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列C数列的第k项是1D数列0,2,4,6,8，可表示为an2n(nN*)答案C解析A错，1,3,5,7是集合B错，是两个不同的数列，顺序不同C正确，ak1.D错，an2(n1)(
10、nN*)2数列2,3,4,5，的一个通项公式为()AannBann1Cann2Dan2n答案B解析这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为ann1.3根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，3,5，7,9，；(2)9,99,999,9999，；(3)0,1,0,1，.解(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，考虑(1)n1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an(1)n1(2n1)，nN*.(2)各项加1后，变为10,100,1000,10000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1，nN*.(3)an或a
11、n(nN*)或an(nN*)课堂小结1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(2)可重复性：数列中的数可以重复(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，它没有通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式
