1、2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用一、选择题1.已知点A(2，3)，B(19,4)，C(1，6)，则ABC是()A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案C解析(19,4)(2，3)(21,7)，(1，6)(2，3)(1，3)，21210，.又|，ABC为直角三角形.2.在四边形ABCD中，若(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B.2 C.5 D.10答案C解析0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.3.已知点P是ABC所在平面内一点，若，其中R，则点P一定在()A.ABC的内部 B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上 D.BC边所
2、在的直线上答案B解析，P，A，C三点共线，点P一定在AC边所在的直线上.4.如图所示，在矩形ABCD中，AB4，点E为AB的中点，且，则|等于()A. B.2C.3 D.2考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用答案B解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.设|a(a0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)，所以(2，a)，(4，a).因为，所以0，所以24(a)a0，即a28.所以a2，所以(2，2)，所以|2.5.在ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A.2 B.
3、C.3 D.答案B解析BC的中点为D，|.6.已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形答案D解析由0，得角A的平分线垂直于BC，ABAC.而cos，又0，180，BAC60.故ABC为等边三角形，故选D.7.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案D解析，()0，0，ACOB.同理OABC，OCAB，O为三条高的交点.二、填空题8.已知在矩形ABCD中，AB2，AD1，E，F分别为BC，CD的中点，则
4、()_.答案解析如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1).E，F分别为BC，CD的中点，E，F(1,1)，(2,1)，()3(2)1.9.已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A，B两点，若|，则_.答案解析如图，作ODAB于点D，则在RtAOD中，OA1，AD，所以AOD60，AOB120，所以|cos 12011.10.若点M是ABC所在平面内的一点，且满足30，则ABM与ABC的面积之比为_.答案13解析如图，D为BC边的中点，则().因为30，所以32，所以，所以SABMSABDSABC.11.在等腰
5、梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_.答案解析在等腰梯形ABCD中，由AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()21cos 60211cos 60cos 120.由对勾函数的性质知，2，当且仅当，即时，取得最小值.三、解答题12.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BPDC.证明设PC，并设ABC的边长为a，则有PPDCBB(21)BB，EBB.PE，(21)Bkk.于是有解得.PC，BBCBB，CBB，从而BCa2a2a2cos 60
6、0，BPDC.13.已知点A(1,2)，直线l4x3y90.求：(1)过点A且与直线l平行的直线方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线方程.解直线l的斜率k，向量u与直线l平行.(1)设P是过点A且与直线l平行的直线上的一动点，点P的坐标是(x，y)，则(x1，y2)，当且仅当u，即当1(y2)(x1)0时，所求直线与直线l平行.整理得4x3y100，即为所求的过点A且与直线l平行的直线方程.(2)设Q是过点A且与直线l垂直的直线上的一动点，点Q的坐标是(x，y)，则(x1，y2)，当且仅当u，即当1(x1)(y2)0时，所求直线与直线l垂直.整理得3x4y50，即为所求的过点A且与直线l垂直
7、的直线方程.14.在ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点，若1，则AB的长为()A.1 B. C. D.答案B解析设AB的长为a(a0)，因为，所以()22a2a1.由已知，得a2a11，又因为a0，所以a，即AB的长为.15.在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，tR，O为坐标原点.(1)若ABC是直角三角形，求t的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求|的最小值.考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用解(1)由题意得，(t4,2)，(2，t)，(6t，t2)，若A90，则0，即2(t4)2t0，t2；若B90，则0，即(t4)(6t)2(t2)0，t62；若C90，则0，即2(6t)t(t2)0，无解，t的值为2或62.(2)若四边形ABCD是平行四边形，则，设点D的坐标为(x，y)，即(x4，y)(6t，t2)，即D(10t，t2)，|，当t6时，|取得最小值4.
