1、第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题,第二章 4 用向量讨论垂直与平行,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解空间点、线、面的向量表示. 2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则,ab,a0,kv(kR),知识点二 利用空间向量处理平行问题 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题
2、转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.,知识点三 平面的法向量及其求法 在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个 的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)； (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的 ，即得平面的一个法向量.,不共线,一组解,1.若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( ) 2.两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.( ) 3.若向量n1
3、，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.( ) 4.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,解 设平面ABC的法向量为n(x，y，z). A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，,题型一 求平面的法向量,例1 已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，试求出平面ABC的一个法向量.,故平面ABC的一个法向量为n(3，3，1).,反思感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个
4、平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的.,跟踪训练1 如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD 建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SCD与平面SBA的一个法向量.,解 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,设n(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，,取x2，得y1，z1， 故平面SDC的一个法向量为(2，1，1).,题型二 利用空间向量证明平行问题,例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1
5、)FC1平面ADE；,证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz， 则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，,设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，,令z12，则y11， 所以n1(0，1，2).,又因为FC1平面ADE， 所以FC1平面ADE.,(2)平面ADE平面B1C1F.,设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.,令z22，得y21， 所以n2(0，1，2)， 因为n1n2， 所以平面ADE平面B1C1F
6、.,反思感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.,跟踪训练2 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABC 1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.,解 存在点E使CE平面PAB. 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz， P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，,E是PD的中点， 存在E点，当点E为PD中点时，C
7、E平面PAB.,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,面面平行有探究,典例 如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO.,解 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q. 设正方体的棱长为1，,设Q(0，1，z)，,OPBD1.,即APBQ，又APOPP，BQBD1B， 则有平面PAO平面D1BQ， 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.,素养评析 (1)求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据
8、面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式. (2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.已知l1的方向向量为v1(1，2，3)，l2的方向向量为v2(，4，6)，若l1l2，则等于 A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,2.已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a(1，0，2)，b(6，21，2)，若l1l2，则与的值可以分别是,1,2,3,4,5,3.若A(1，0，1)，
9、B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1),A.4 B.6 C.8 D.8,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为 _.,(1，1，1)(答案不唯一),1,2,3,4,5,解析 不妨设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 设平面ACD1的一个法向量a(x，y，z)，,则a(1，1，1). (注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对),课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR).,
