1、第2课时 用空间向量解决立体几何中的垂直问题,第二章 4 用向量讨论垂直与平行,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系. 2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 向量法判断线线垂直 设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lm_. 知识点二 向量法判断线面垂直 设直线l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，则la_. 知识点三 向量法判断面面垂直
2、若平面的法向量为(a1，b1，c1)，平面的法向量为(a2，b2，c2)，则0 .,ab0,a1b1a2b2a3b30,ak(kR),a1a2b1b2c1c20,1.平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量. ( ) 2.两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直.( ) 3.直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直. ( ) 4.两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 证明线线垂直问题,例1 如图，已
3、知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且 求证：AB1MN.,证明 设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.,M为BC中点，,反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.,跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.,证明 直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5， AC，BC，C1C两两垂直. 如
4、图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz. 则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，,题型二 证明线面垂直问题,例2 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点. 求证：AB1平面A1BD.,证明 如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为ABC为正三角形， 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1， 且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC， 所以AO平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在
5、直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，,又因为BA1BDB，BA1，BD平面A1BD. 所以AB1平面A1BD.,反思感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：基向量法 (1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：坐标法 (1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量. (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.,跟踪训练2 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P
6、为DD1的中点.求证：直线PB1平面PAC.,证明 如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B1(1，1，2)，,又PAPCP，PA，PC平面PAC， 所以PB1平面PAC.,例3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A ABAC2A1C12，D为BC的中点.证明：平面A1AD平面BCC1B1.,题型三 证明面面垂直问题,证明 方法一 如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建
7、立空间直角坐标系Axyz，,D为BC的中点，D点坐标为(1，1，0)，,BCAD，BCAA1. 又A1AADA，A1A，AD平面A1AD， BC平面A1AD. 又BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1.,设平面A1AD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2).,n1n21100，n1n2， 平面A1AD平面BCC1B1.,令y11，则x11，z10， n1(1，1，0).,反思感悟 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.,跟踪训练3 在正
8、方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点. (1)求证：平面AED平面A1FD1；,证明 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，,设平面AED的一个法向量为n1(x1，y1，z1).,令y11，得n1(0，1，2). 同理平面A1FD1的一个法向量为n2(0，2，1). n1n2(0，1，2)(0，2，1)0，n1n2， 平面AED平面A1FD1.,(2)在直线AE上求一点
9、M，使得A1M平面AED.,解 由于点M在直线AE上，,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,利用向量求解空间中的探索性问题,典例 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE.,解 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，P(0，1，a)，,设平面A1B1P的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，,x1(a1)z1，y10. 令z11，得x1a1， n1(a1，0，1). 设平面C1DE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，,令y
10、21，得x22，z21， n2(2，1，1). 平面A1B1P平面C1DE，,当P为CC1的中点时，平面A1B1P平面C1DE.,素养评析 立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意.本例由题意设出探求点的坐标，利用两平面垂直，法向量的位置关系及严密的逻辑推理，从而得出点P的坐标.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.下列命题中，正确命题的个数为 若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2； 若n1，n2分别是平面，的法向量，则 n1n20； 若n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面平行，则na0； 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面
11、不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4,解析 中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确.,1,2,3,4,5,2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为 A.a(1，0，0)，b(3，0，0) B.a(0，1，0)，b(1，0，1) C.a(0，1，1)，b(0，1，1) D.a(1，0，0)，b(1，0，0),解析 因为a(0，1，0)，b(1，0，1)， 所以ab0110010， 所以ab，故选B.,1,2,3,4,5,3.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为(2，0，4)，则 A.l B.l C.l D.l与斜交,解析 a，l.,1,2,3,4,5,4.平面的一个法向量为m(1，2，0)，平面的一个法向量为n(2，1，0)，则平面与平面的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定,解析 (1，2，0)(2，1，0)0， 两法向量垂直，从而两平面垂直.,1,2,3,4,5,是,解析 如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,空间垂直关系的解决策略,
