1、24向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用基础过关1在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A2 B. C3 D.答案B解析BC中点为D，|.2点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点答案D解析，()0.0.OBAC.同理OABC，OCAB，O为三条高的交点3已知点A(2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹方程是()Ax2y21 Bx2y21Cy22x Dy22x答案D解析(2x，y)，(x，y)，则(2x)(x)y2x
2、2，y22x.4已知平面向量a，b，c，|a|1，|b|2，|c|3，且a，b，c两两夹角相等，则|abc|等于()A. B6或C6 D6或答案D5过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为()A2xy70 B2xy70Cx2y40 Dx2y40答案A解析设P(x，y)为直线上一点，则a，即(x2)2(y3)10，即2xy70.6过点(1,2)且与直线3xy10垂直的直线的方程是_答案x3y70解析设P(x，y)是所求直线上任一点，直线3xy10的方向向量为(1,3)，由(x1，y2)(1,3)0得x3y70.7.如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上
3、，且.求证：点E，O，F在同一直线上证明设m，n，由，知E，F分别是CD，AB的三等分点，m(mn)mn，(mn)mmn.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上能力提升8已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰(非等边)三角形 D等边三角形答案D解析由0，得角A的平分线垂直于BC.ABAC.而cos，又0，180，BAC60.故ABC为等边三角形，选D.9在四边形ABCD中，(1,2)，(4，2)，则四边形的面积为()A. B2 C5 D10答案C解析因为在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又|
4、，|2，该四边形的面积：|25.10已知曲线C：x，直线l：x6.若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，则m的取值范围为_答案2,3解析由0知A是PQ的中点，设P(x，y)，则Q(2mx，y)，由题意得2x0,2mx6，解得2m3.11已知：如图，AB是O的直径，点P是O上任一点(不与A，B重合)，求证：APB90.(用向量方法证明)证明连接OP，设向量a，b，则a且ab，ab，b2a2|b|2|a|20，即APB90.12三角形ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：ADBFDC.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2
5、,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，设F(x，y)，由，得0，即(x，y)(2,1)0，2xy0.又F点在AC上，则，而(x,2y)，因此2(x)(2)(2y)0，即xy2.由、式解得x，y，F，(0,1)，又|coscos，cos，即cosFDC，又cosADB，cosADBcosFDC，故ADBFDC.创新突破13如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BPDC. 证明设PC，并设ABC的边长为a，则有PPDCB(BB)B(21)BB，又EBB.PE，(21)Bkk.于是有：解得.PC.BBC()BB.CBB.从而BC(BB)(BB)a2a2a2cos600，BPDC.
