1、12.2空间中的平行关系第1课时平行直线学习目标1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理知识点一基本性质41文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性2符号表达：ac.知识点二等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等知识点三空间四边形顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线空间四边形用表示顶点的四个字母表示1若ABAB，
2、ACAC，则BACBAC.()2没有公共点的两条直线是异面直线()3若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()题型一基本性质4的应用例1在正方体ABCDABCD中，E，F，E，F分别是AB，BC，AB，BC的中点，求证：EEFF.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明因为E，E分别是AB，AB的中点，所以BEBE，且BEBE.所以四边形EBBE是平行四边形，所以EEBB，同理可证FFBB.所以EEFF.反思感悟证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行
3、，根据基本性质4，显然这两条直线平行若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行跟踪训练1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形解在PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以EFAB，EFAB，同理GHDC，GHDC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，ABCD.所以EFGH，EFGH.所以四边形EFGH是平行四边形题型二等角定理的应用例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)
4、BMCB1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，A1M1AM且A1M1AM，四边形AMM1A1是平行四边形，A1AM1M且A1AM1M.又A1AB1B且A1AB1B，M1MB1B且M1MB1B，四边形BB1M1M为平行四边形(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.反思感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理(2)利用三角形相似(3)利用三角形全等本例是通过第一种途径来实现的跟踪训练2已知棱
5、长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.证明(1)如图，连接AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质，得ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1，又NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，DNMD1A1C1.题型三空间四边形的认识例3如图，设E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，D
6、A上的点，且，求证：(1)当时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当时，四边形EFGH是梯形证明(1)，EHBD，.同理，GFBD，.又，EHGF，且EHGF.四边形EFGH是平行四边形(2)由(1)知EHGF，又，EHGF.四边形EFGH是梯形反思感悟因空间图形往往包含平面图形，故在解答与空间四边形有关的问题时，常借助平面几何中的有关性质或定理跟踪训练3已知空间四边形ABCD中，ABAC，BDBC，AE是ABC的边BC上的高，DF是BCD的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系解由已知，得E，F不重合设BCD所在平面为，则DF，A，E，EDF，所以AE与DF异面.1直线ab，直线b与c相交
7、，则直线a，c一定不存在的位置关系是()A相交 B平行 C异面 D无法判断答案B解析如图，a与c相交或异面2下列四个结论中假命题的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D4答案B解析均为假命题可举反例，如a，b，c三线两两垂直如图甲时，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交3下列结论正确的是()A若两个角相等，则这两个角的两
8、边分别平行B空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C空间四边形的两条对角线可以相交D空间四边形的两条对角线不相交答案D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.4一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.5对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是_考点平行公理题点判断、证明线线平行答案矩形解析如图所示点M，N，P，Q分别是四条边的中点，MNAC，且MNAC，PQAC且PQAC，即MNPQ且MNPQ，四边形MNPQ是平行四边形又BDMQ，ACBD，MNMQ，平行四边形MNPQ是矩形1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具3注意：等角定理的逆命题不成立.
