1、2019年苏科新版数学八年级上册第3章 勾股定理单元测试卷一选择题（共15小题）1如图，RtABC中，ACB90，A55，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB（）A40B30C20D102如图，在ABC中，BAC90，ACAB，AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，则图中与C（C除外）相等的角的个数是（）A3个B4个C5个D6个3有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25其中直角三角形有（）A1个B2个C3个D4个4已知直角三角形两边的
2、长为6和8，则此三角形的周长为（）A24B14+2C24或14+2D以上都不对5直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（）A4B5C6D106如图，在RtABC中，C90，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC4，BC2时，则阴影部分的面积为（）A4B4C8D87我国是最早了解勾股定理的国家之一下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）ABCD8如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB10，EF2，那么AH等于（）A2B4C6D89“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定
3、理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A9B6C4D310下列四组线段中，可以组成直角三角形的是（）A4，5，6B3，4，5C5，6，7D1，311下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A1.5，2，2.5B7，23，24C6，8，10D9，12，1512以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A4cm，8cm，7cmB2cm，2cm，2cmC2cm，2cm，4cmD13cm，12cm，5cm13下列各组数中，不
4、是“勾股数”的是（）A7，24，25B1，C6，8，10D9，12，1514下列各组数能构成勾股数的是（）A2，B12，16，20C，D32，42，5215在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A5，6，7B1，4，8C5，12，13D5，11，12二填空题（共6小题）16直角三角形两锐角的平分线的夹角是 17若直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a3）2+|b4|0，则该直角三角形的第三条边长为 18如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成若较短的直角边BC5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若BCD的
5、周长是30，则这个风车的外围周长是 19已知：如图，四边形ABDC，AB4，AC3，CD12，BD13，BAC90则四边形ABDC的面积是 20观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：324+5；列举：5、12、13，猜想：5212+13；列举：7、24、25，猜想：7224+25；列举：13、b、c，猜想：132b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b ，c 21如图所示的一块地，已知AD4米，CD3米，ADC90，AB13米，BC12米，这块地的面积为 三解答题（共3小题）22如图所示，在ABC中，已知ADBC，B64，C56，（1）求BAD和DAC的度数；（2）若DE平分ADB
6、，求AED的度数23如图，已知ABC中，B90，AB8cm，BC6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始BC方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由24如图，将RtABC绕其锐角顶点A旋转90得到RtADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有BFE90，且四边形ACFD是一个正方形（1）判断ABE的形状，并证明你的结论；
7、（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2c22019年苏科新版数学八年级上册第3章 勾股定理单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1如图，RtABC中，ACB90，A55，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB（）A40B30C20D10【分析】在直角三角形ABC中，由ACB与A的度数，利用三角形的内角和定理求出B的度数，再由折叠的性质得到CADA，而CAD为三角形ABD的外角，利用三角形的外角性质即可求出ADB的度数【解答】解：在RtABC中，ACB90，A55，B180905535，由折叠可得：CADA55，又CAD为ABD的外角，CA
8、DB+ADB，则ADB553520故选：C【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键2如图，在ABC中，BAC90，ACAB，AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，则图中与C（C除外）相等的角的个数是（）A3个B4个C5个D6个【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得CBDFBADADE【解答】解：如图，AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB，C+B90，BDF+B90，BAD+B90，CBDFBAD，DAC+C90，DAC+ADE90，CADE，图中与C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A【点评】
9、此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余3有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25其中直角三角形有（）A1个B2个C3个D4个【分析】（1）（2）根据三角形的内角和等于180，求出三角形中最大的角的度数，然后即可判断；（3）（4）根据勾股定理逆定理列式进行计算即可得解【解答】解：（1）一个角等于另外两个内角之和，这个角18090，是直角三角形；（2）三个内角之比为3：4：5，最大的角18018090，是锐角三角形；（3）设三边分别为5k，12k，13k，则（5k）
10、2+（12k）225k2+144k2169k2（13k）2，是直角三角形；（4）52+24225+576601252，三边长分别为5，24，25的三角形不是直角三角形综上所述，是直角三角形的有（1）（3）共2个故选：B【点评】本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与90进行比较即可，技巧性较强4已知直角三角形两边的长为6和8，则此三角形的周长为（）A24B14+2C24或14+2D以上都不对【分析】先设RtABC的第三边长为x，由于8是直角边还是斜边不能确定，故应分8是斜边或x为斜边两种情况讨论【解答】解：设RtABC的第三边长为x，当8为直角三角形的直角边时，x为
11、斜边，由勾股定理得，x10，此时这个三角形的周长6+8+1024；当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x2，此时这个三角形的周长6+8+214+2，故选：C【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键5直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（）A4B5C6D10【分析】利用勾股定理即可求出斜边长【解答】解：由勾股定理得：斜边长为：5故选：B【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是关键6如图，在RtABC中，C90，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克
12、拉底月牙”，当AC4，BC2时，则阴影部分的面积为（）A4B4C8D8【分析】根据勾股定理得到AB2AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可【解答】解：由勾股定理得，AB2AC2+BC220，则阴影部分的面积ACBC+（）2+（）2（）224+（AC2+BC2AB2）4，故选：A【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键7我国是最早了解勾股定理的国家之一下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）ABCD【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可【解答】解：A、+c2+ab（a+b）（a+b），整理得：a2+b2c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意
13、；B、4+c2（a+b）2，整理得：a2+b2c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、4+（ba）2c2，整理得：a2+b2c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键8如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB10，EF2，那么AH等于（）A2B4C6D8【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用ab2，解得a，b的值代入即可【解答】解：AB10，EF2，大正方形的面积是1
14、00，小正方形的面积是4，四个直角三角形面积和为100496，设AE为a，DE为b，即4ab96，2ab96，a2+b2100，（a+b）2a2+b2+2ab100+96196，a+b14，ab2，解得：a8，b6，AE8，DE6，AH826故选：C【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值9“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A9B6C4D3【分析】
15、由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一个直角三角形的面积为： ab84，4ab+（ab）225，（ab）225169，ab3，故选：D【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型10下列四组线段中，可以组成直角三角形的是（）A4，5，6B3，4，5C5，6，7D1，3【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】解：A、42+5262，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、32+4252，能构成直角三角形，
16、故符合题意；C、52+6272，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、12+（）232，不能构成直角三角形，故不符合题意故选：B【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形11下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A1.5，2，2.5B7，23，24C6，8，10D9，12，15【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形中三边存在：a2+b2c2关系时是直角三角形【解答】解：A、能，因为1.52+222.52；B、不能，因为不符合勾股定理的逆定理；C、能，因为62+82102；D、能，因为92+122152故选：B【点评】
17、本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形关键是根据勾股定理的逆定理解答12以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A4cm，8cm，7cmB2cm，2cm，2cmC2cm，2cm，4cmD13cm，12cm，5cm【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】解：A、42+7282，故不为直角三角形；B、22+2222，故不为直角三角形；C、2+24，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、122+52132，故为直角三角形；故选：D【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以
18、判断即可勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形13下列各组数中，不是“勾股数”的是（）A7，24，25B1，C6，8，10D9，12，15【分析】根据勾股数的定义：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数进行判断即可【解答】解：，不是正整数，不是“勾股数”的是1，故选：B【点评】本题考查了勾股数，是基础题，熟记概念是解题的关键，此类题目，如果三个数都是整数，一般用勾股定理逆定理进行验证14下列各组数能构成勾股数的是（）A2，B12，16，20C，D32，42，52【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和
19、是否等于最长边的平方【解答】解：A、22+（）2（）2，但不是正整数，故选项错误；B、122+162202，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；C、（）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，故选项错误；D、（32）2+（42）2（52）2，不能构成直角三角形，故选项错误故选：B【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC的三边满足a2+b2c2，则ABC是直角三角形15在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A5，6，7B1，4，8C5，12，13D5，11，12【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边
20、的平方即可【解答】解：A、因为52+6272，所以不能组成直角三角形；B、因为12+4282，所以不能组成直角三角形；C、因为52+122132，所以能组成直角三角形；D、因为52+112122，所以不能组成直角三角形故选：C【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可二填空题（共6小题）16直角三角形两锐角的平分线的夹角是45或135【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出ABC+BAC90，再根据角平分线的定义可得OAB+OBA（ABC+BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出AO
21、E，即为两角平分线的夹角【解答】解：如图，ABC+BAC90，AD、BE分别是BAC和ABC的角平分线，OAB+OBA（ABC+BAC）45，AOEOAB+OBA45，AOB135两锐角的平分线的夹角是45或135故答案为：45或135【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观17若直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a3）2+|b4|0，则该直角三角形的第三条边长为5或【分析】设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：该直角三角形的第三条
22、边长为x，直角三角形的两条边长为a，b，且满足（a3）2+|b4|0，a3，b4若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42x2，x5；若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x242，x；第三边的长为5或故答案为：5或【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键18如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成若较短的直角边BC5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是76【分析】由题意A
23、CB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，ACy，则x24y2+52，BCD的周长是30，x+2y+530则x13，y6这个风车的外围周长是：4（x+y）41976故答案是：76【点评】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题19已知：如图，四边形ABDC，AB4，AC3，CD12，BD13，BAC90则四边形ABDC的面积是36【分析】连接BC，根据勾股定理可求得BC的长根据勾股定理的逆定理可得到BCD也是直角三角形，从而求得ABC与BCD的面
24、积和即得到了四边形ABDC的面积【解答】解：连接BC，A90，AB4，AC3BC5，BC5，BD13，CD12BC2+CD2BD2BCD是直角三角形S四边形ABCDSBCD+SABC43+51236，故答案为：36【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键20观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：324+5；列举：5、12、13，猜想：5212+13；列举：7、24、25，猜想：7224+25；列举：13、b、c，猜想：132b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b84，c85【分析】认真观察三个数之间的关系：
25、首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题【解答】解：在324+5中，4，5；在5212+13中，12，13；则在13、b、c中，b84，c85【点评】认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键21如图所示的一块地，已知AD4米，CD3米，ADC90，AB13米，BC12米，这块地的面积为24m2【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，ABC的面积减去ACD的面积就是所求的面积【解答】解：如图，连接AC由勾股定理可
26、知AC5，又AC2+BC252+122132AB2故三角形ABC是直角三角形故所求面积ABC的面积ACD的面积24（m2）【点评】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用三解答题（共3小题）22如图所示，在ABC中，已知ADBC，B64，C56，（1）求BAD和DAC的度数；（2）若DE平分ADB，求AED的度数【分析】（1）在RtBAD中，根据直角三角形的两个锐角互余的性质求解；在RtBAD中，根据直角三角形的两个锐角互余的性质求解；（2）由DE平分ADB，ADBC求得BDE45，再根据外角定理求解即可【解答】解：（1）ADBC，在RtBAD中，BAD+B90，又B64，BAD26；在Rt
27、BAD中，DAC+C90，又C56，DAC34；（2）ADBC，DE平分ADB，BDE45；在BED中，B64，B+BDE109；AEDB+BDE，AED109【点评】（1）考查了直角三角形的两个锐角互余的性质；（2）考查的是角平分线的定义以及外角定理23如图，已知ABC中，B90，AB8cm，BC6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始BC方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相
28、等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由【分析】（1）我们求出BP、BQ的长，用勾股定理解决即可（2）PQB形成等腰三角形，即BPBQ，我们可设时间为t，列出方程2t81t，解方程即得结果（3）直线PQ把原三角形周长分成相等的两部分，根据勾股定理可知AC10cm，即三角形的周长为24cm，则有BP+BQ12，即2t+（81t）12，解方程即可【解答】解：（1）出发2秒后，AP2，BQ4，BP826，PQ2；（3分）（2）设时间为t，列方程得2t81t，解得t；（6分）（3）假设直线PQ能把原三角形周长分成相等的两部分，由AB8cm，BC6cm，根据勾股定理可知AC10cm，即三
29、角形的周长为8+6+1024cm，则有BP+BQ2412，设时间为t，列方程得：2t+（81t）12，解得t4，当t4时，点Q运动的路程是4286，所以直线PQ不能够把原三角形周长分成相等的两部分（10分）【点评】本题重点考查了利用勾股定理解决问题的能力，综合性较强24如图，将RtABC绕其锐角顶点A旋转90得到RtADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有BFE90，且四边形ACFD是一个正方形（1）判断ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2c2【分析】（1）利用旋转的性质得出BAEBAC+CAECAE+DAE90，ABAE，即
30、可得出ABE的形状；（2）利用四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，即可得出答案；（3）利用四边形ABFE面积等于RtBAE和RtBFE的面积之和进而证明即可【解答】（1）ABE是等腰直角三角形，证明：RtABC绕其锐角顶点A旋转90得到在RtADE，BACDAE，BAEBAC+CAECAE+DAE90，又ABAE，ABE是等腰直角三角形；（2）四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，四边形ABFE的面积等于：b2（3）S正方形ACFDSBAE+SBFE即：b2c2+（b+a）（ba），整理：2b2c2+（b+a）（ba）a2+b2c2【点评】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出S正方形ACFDSBAE+SBFE是解题关键
