1、第2课时参数方程考情考向分析了解参数的意义，重点考查直线参数方程及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查在高考选做题中以解答题的形式考查，属于低档题1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan(xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)抛物线y22px(p0)(t
2、为参数)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量()(3)方程(为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()题组二教材改编2P56习题T2(2)曲线(为参数)的对称中心为_答案(1,2)解析由得所以曲线对应的直角坐标方程为(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)
3、为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1,2)3P57习题T6已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值解直线l1的方程为yx，斜率为；直线l2的方程为y2x1，斜率为2.l1与l2垂直，(2)1，解得k1.题组三易错自纠4直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率解将直线l的参数方程化为普通方程为y23(x1)，因此直线l的斜率为3.5设P(x，y)是曲线C：(为参数，0,2)上任意一点，求的取值范围解由曲线C：(为参数)，得(x2)2y21，表示圆心为(2,0)，半径为1的圆表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设k，则原问题转化为ykx和圆有交点的问题，即圆心到直线
4、的距离dr，所以1，解得k，所以的取值范围为.6已知直线l的极坐标方程为sin3，曲线C的参数方程为(为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值解由sin3，可得3，yx6，即xy60.由得x2y24，圆的半径为r2，圆心到直线l的距离d3.P到直线l的距离的最大值为dr5.题型一参数方程与普通方程的互化1(2018江苏省南京师大附中等四校联考)已知曲线C：(为参数)和直线l：(t为参数)相交于A，B两点，求A，B两点的距离解曲线C的普通方程为1，直线l的普通方程为yx3，由解得或设A(2,0)，B，AB.即A，B两点的距离为.2已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)
5、写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|，则PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，PA取得最大值，最大值为.当sin()1时，PA取得最小值，最小值为.思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数(2)利用三角恒等式消去参数(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数将参数
6、方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围题型二参数方程的应用例1在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标是(3,0)，.(2)直线l的普通方程是x4y4a0，故C上的点(3cos，sin)到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当ab0，为参数)，且曲线C上
7、的点M(2，)对应的参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的普通方程；(2)若曲线C上的A，B两点的极坐标分别为A(1，)，B，求的值解(1)将M(2，)及对应的参数，代入(ab0，为参数)，得曲线C1的普通方程为1.(2)曲线C1的极坐标方程为1，将A(1，)，B，代入得1，1，.思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想跟
8、踪训练2在直角坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，曲线C3：2cos.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中00，所以方程有两个实数解故曲线C1与曲线C2的交点个数为2.3(2018江苏省苏州市第五中学模拟)已知点P在曲线C：(为参数)上，直线l：(t为参数)，求P到
9、直线l的距离的最小值解将直线l化为普通方程为xy60，则P(4cos，3sin)到直线l的距离d，其中tan.所以当cos()1时，dmin，即点P到直线l的距离的最小值为.4(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解直线l的参数方程化为普通方程为xy0，椭圆C的参数方程化为普通方程为x21，联立方程组解得不妨取A(1,0)，B，则AB.5(2018无锡期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是
10、4sin，且直线l与圆C相交，求实数m的取值范围解由4sin，得24sin，所以x2y24y，即圆C的方程为x2(y2)24，又由消去t，得xym0，由于直线l与圆C相交，所以2，即2m6.6(2017江苏)在平面直角坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为 (s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解直线l的普通方程为x2y80，因为点P在曲线C上，设P(2s2，2s)，从而点P到直线的距离d，当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.7在直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数)，在以O为极点，
11、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：sincosm.(1)当m0时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围解(1)曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，是一个圆，直线l的直角坐标方程为xy0，圆心C到直线l的距离dr，所以直线l与圆C相切(2)由已知可得，直线l的直角坐标方程为xym0.圆心C到直线l的距离为d，解得1m5.所以实数m的取值范围为1,58已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos.(1)若直线l的斜率为2，判断
12、直线l与曲线C1的位置关系；(2)求曲线C1与C2的交点的极坐标解(1)由直线l的参数方程为(t为参数)，可得直线l过点(1,1)当直线l的斜率为2时，直线l的普通方程为y12(x1)，即2xy30.由曲线C1的参数方程为(t为参数)，消去参数t，得(x2)2(y4)24，则曲线C1表示以(2,4)为圆心，以2为半径的圆此时圆心到直线的距离d0)，直线l的参数方程是(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A(1，)，B，C在曲线C上，求的值解(1)直线l的普通方程为xy2，与x轴的交点为(2,0)又曲线C的普通方程为1，所以a2，故所求曲线C的普通方程是1.(2)因为点A(1，)，B，C在曲线C上，即点A(1cos，1sin)，B，C在曲线C上，故.11
