1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 复习课复习课 学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认 识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题 1参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数 xft， ygt， 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数 x， y 的变数 t 叫做参变数， 简称参数 参 数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数 2常见曲线的参数方程 (1)直线 过定
2、点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程的标准形式为 xx0tcos ， yx0tsin (t 为参 数) (2)圆 圆 x2y2r2的参数方程为 xrcos ， yrsin ( 为参数)； 圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为 xarcos ， ybrsin ( 为参数) (3)椭圆 中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 b2x2a2y2a2b2(ab0)的参数方程为 xacos ， ybsin ( 为参数) (4)双曲线 中心在原点， 对称轴为坐标轴的双曲线b2x2a2y2a2b2(a0， b0)的参数方程为 xasec ， ybtan ( 为参数) (5)抛物线 抛物线 y
3、22px(p0)的参数方程为 x 2p tan2， y 2p tan ( 为参数)或 x2pt2， y2pt (t 为参数) 类型一 参数方程化为普通方程 例 1 把下列参数方程化为普通方程： (1) xcos 4sin ， y2cos sin ( 为参数)； (2) xae tet 2 ， ybe tet 2 (t 为参数，a，b0) 解 (1)关于 cos ，sin 的方程组 xcos 4sin ， y2cos sin ， 变形得 sin y2x 9 ， cos x4y 9 . x4y 9 2 y2x 9 2cos2sin21， 即 5x24xy17y2810. (2)由 xae tet
4、2 ， ybe tet 2 ， 解得 2x a ete t， 2y b ete t， 22，得4x 2 a2 4y 2 b2 4， x 2 a2 y2 b21(x0) 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项 (1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普 通方程时需要考虑 x 的取值范围， 注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定 (2)消除参数的常用方法：代入消参法；三角消参法；根据参数方程的特征，采用特殊 的消参手段 跟踪训练 1 判断方程 xsin 1 sin ， ysin 1 sin ( 是参数且 (0，)表示的曲线的形状 解 x
5、2y2 sin 1 sin 2 sin 1 sin 24， 即 x2y24，x 2 4 y2 41. 又(0，)，sin 0，xsin 1 sin 2， 当且仅当 2时等号成立， 又 ysin 1 sin sin21 sin 0， 曲线为等轴双曲线x 2 4 y2 41 在右支位于 x 轴下方的部分 类型二 参数方程的应用 命题角度 1 直线参数方程的应用 例 2 已知点 P(3,2)平分抛物线 y24x 的一条弦 AB，求弦 AB 的长 解 设弦 AB 所在的直线方程为 x3tcos ， y2tsin (t 为参数)， 代入方程 y24x 整理，得 t2sin24(sin cos )t80.
6、 点 P(3,2)是弦 AB 的中点， 由参数 t 的几何意义可知，方程的两个实根 t1，t2满足关系 t1t20. 即 sin cos 0.0， 4. |AB|t1t2|t1t224t1t2 4 8 sin2 4 8. 反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式 (2)要注意直线倾斜角的取值范围 (3)设直线上两点对应的参数分别为 t1，t2. (4)套公式|t1t2|求弦长 跟踪训练 2 直线 l 过点 P0(4,0)，它的参数方程为 x4 3 2 t， y1 2t (t 为参数)，直线 l 与 圆 x2y27 相交于 A，B 两点 (1)求弦长|A
7、B|； (2)过 P0作圆的切线，求切线长 解 将直线 l 的参数方程代入圆的方程， 得 4 3 2 t 2 1 2t 27，整理得 t24 3t90. (1)设 A 和 B 两点对应的参数分别为 t1和 t2，由根与系数的关系，得 t1t24 3，t1t29. 故|AB|t2t1|t1t224t1t22 3. (2)设圆过 P0的切线为 P0T，T 在圆上， 则|P0T|2|P0A| |P0B|t1t2|9， 切线长|P0T|3. 命题角度 2 曲线参数方程的应用 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cos ， ysin ( 为参数)，在以坐 标原点为极点，x
8、轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin 4 2 2. (1)求曲线 C 与直线 l 在该直角坐标系下的普通方程； (2)动点 A 在曲线 C 上，动点 B 在直线 l 上，定点 P(1,1)，求|PB|AB|的最小值 解 (1)由曲线 C 的参数方程 x2cos ， ysin ， 可得(x2)2y21， 由直线 l 的极坐标方程为 sin 4 2 2， 可得 (sin cos )4， 即 xy4. (2)方法一 设 P 关于直线 l 的对称点为 Q(a，b)， 故 a1 2 b1 2 4， b1 a1 11 a3， b5， 所以 Q(3,5)， 由(1)知曲线 C 为圆，
9、圆心 C(2,0)，半径 r1， |PB|AB|QB|AB|QC|1. 仅当 Q，B，A，C 四点共线时，且 A 在 B，C 之间时等号成立，故(|PB|AB|)min 261. 方法二 如图，圆心 C 关于直线 l 的对称点为 D(4,2)，连接 PD，交直线 l 于点 B，此时|PB| |AB|有最小值，且|PB|AB|PB|BC|1|PB|BD|1|PD|1 261. 反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以 及两点之间线段最短解决 (2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线 的距离等 跟踪训练 3 已
10、知曲线 C：x 2 4 y2 91，直线 l： x2t， y22t (t 为参数) (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值 解 (1)曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y3sin ( 为参数) 直线 l 的普通方程为 2xy60. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d 5 5 |4cos 3sin 6|， 则|PA| d sin 30 2 5 5 |5sin()6|， 其中 为锐角，且 tan 4 3. 当 sin()1
11、时，|PA|取得最大值，最大值为22 5 5 . 当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 5 5 . 类型三 极坐标与参数方程 例 4 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是 xtcos ， ytsin (t 为参数)，l 与圆 C 交于 A，B 两点，|AB| 10，求 l 的斜率 解 (1)由 xcos ，ysin ，可得圆 C 的极坐标方程为 212cos 110. (2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 (R)
12、 设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程，得 212cos 110. 于是 1212cos ，1211. |AB|12|122412 144cos244. 由|AB| 10，得 cos23 8，tan 15 3 . 所以 l 的斜率为 15 3 或 15 3 . 方法二 把 xtcos ， ytsin 代入(x6)2y225， 得 t2(12cos )t110， 设 A，B 对应的参数为 t1，t2， 所以 t1t212cos ，t1t211. 则|AB|t1t2|t1t224t1t2 144cos244 10，所以 cos23 8，所以 tan 1
13、5 3 . 所以 l 的斜率为 15 3 或 15 3 . 反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点 (2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解当然也可以转化为极坐标下求解，关键是 根据题目特点合理转化 跟踪训练 4 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 x4cos t， y2 3sin t (t 为参数)， 以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 3cos 2sin 12. (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，M 为曲线 C 与 y 轴负半轴的
14、交点，求四边形 OMAB 的 面积 解 (1)由 x4cos t， y2 3sin t， 得 x 4cos t， y 2 3sin t， 所以 x 4 2 y 2 3 2(cos t)2(sin t)21， 所以曲线 C 的普通方程为x 2 16 y2 121. 在 3cos 2sin 12 中，由 cos x，sin y， 得 3x2y120， 所以直线 l 的直角坐标方程为 3x2y120. (2)由(1)可得 M(0，2 3)，联立方程 x2 16 y2 121， 3x2y120， 易得 A(4,0)，B(2,3)， 所以四边形 OMAB 的面积为1 24(32 3)64 3. 1曲线
15、x8cos ， y10sin ( 为参数)的焦点坐标为( ) A( 3,0) B(0， 3) C( 6,0) D(0， 6) 答案 D 解析 曲线 x8cos ， y10sin ( 为参数)的普通方程为 y2 102 x2 821，这是焦点在 y 轴上的椭圆，c 2 a2b262， 所以焦点坐标为(0， 6) 2椭圆的参数方程为 x2cos ， y 3sin (02)，则椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 4 答案 A 3已知直线 l 的参数方程为 x2t， y14t (t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 2 2sin ，则直 线 l 与圆 C 的位置关系
16、为( ) A相离 B相切 C相交 D由参数确定 答案 C 4点 P(1,0)到曲线 xt2， y2t (t 为参数)上的点的最短距离为_ 答案 1 解析 设点 P(1,0)到曲线上的点的距离为 d，则 dx12y02 t2122t2 t212t211.所以点 P 到曲线上的点的距离的最小值为 1. 5在平面直角坐标系 xOy 中，设 P(x，y)是椭圆x 2 3y 21 上的一个动点，求 Sxy 的最大 值和最小值 解 椭圆x 2 3y 21 的参数方程为 x 3cos ， ysin ( 为参数)，故设动点 P( 3cos ，sin )， 其中 0,2) 因此 Sxy 3cos sin 2 s
17、in 3cos cos 3 sin 2sin 3 . 当 6时，S 取得最大值 2；当 7 6 时，S 取得最小值2. 1 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程， 是曲线在同一坐标系下的又一 种表示形式 某些曲线上点的坐标， 用普通方程描述它们之间的关系比较困难， 甚至不可能， 列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便， 学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力 2参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根 据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化， 达到方便解题的目的， 同时注意参数的范围
