1、第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件基础达标1下列命题是真命题的是()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2解析：选A.由得xy，A正确；由x21得x1，B错误；由xy，不一定有意义，C错误；由xy不一定能得到x2y2，如x2，y1，D错误，故选A.2命题“若x1，则x0”的逆否命题是()A若x0，则x1B若x0，则x1C若x0，则x1D若x0，则x1解析：选A.依题意，命题“若x1，则x0”的逆否命题是“若x0，则x1”，故选A.3设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：
2、当a10，b1时，ab0，ab0，故ab0 ab0；当a2，b1时，ab0，但ab0，所以ab0 ab0.故“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件4(2019金华市东阳二中高三调研)若“0x1”是“(xa)x(a2)0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A1，0B(1，0)C(，01，)D(，10，)解析：选A.由(xa)x(a2)0得axa2，要使“0xb”，条件q：“2a2b1”，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.由条件p：“ab”，再根据函数y2x是增函数，可得2a2b，所以2a2b1，故条件q：“2a2b1”成立
3、，故充分性成立但由条件q：“2a2b1”成立，不能推出条件p：“ab”成立，例如由20201成立，不能推出00，故必要性不成立故p是q的充分不必要条件，故选A.6(2019高三“吴越联盟”)已知a，bR，则使|a|b|4成立的一个充分不必要条件是()A|a|b|4B|a|4C|a|2且|b|2Db4解析：选D.由b4，但由|a|b|4得不到b|b|，q：a2b2Cp：xa2b2，q：x2abDp：acbd，q：ab且cd解析：选D.A中，x1x2x，x2xx0或x1 x1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|b|，根据不等式的性质可得a2b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a
4、2b22ab，由xa2b2，得x2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a1，b1，c0，d3，满足acbd，但是ad，反之，由同向不等式可加性得ab，cdacbd，故p是q的必要不充分条件综上所述，故选D.11对于原命题：“已知a、b、cR，若ac2bc2，则ab”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为_解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若ab，则ac2bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.答案：212函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_解析：已知函数f(x)x22x1的图象关于直线x1对称，则m2；反之也成立所以函
5、数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.答案：m213已知：xa，：|x1|1.若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_解析：xa，可看作集合Ax|xa，因为：|x1|1，所以0x2，所以可看作集合Bx|0x0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：由题意知ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得解得3a0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为_解析：法一：由2，得2x10，所以綈p对应的集合为x|x10或x10或x0)，所以綈q对应的集合为x|xm1或x0，设Bx|xm1或x0因为綈p是綈q的必要而不充分条件，所以BA，所以且不
6、能同时取得等号解得m9，所以实数m的取值范围为9，)法二：因为綈p是綈q的必要而不充分条件，所以q是p的必要而不充分条件即p是q的充分而不必要条件，因为q对应的集合为x|1mx1m，m0，设Mx|1mx1m，m0，又由2，得2x10，所以p对应的集合为x|2x10，设Nx|2x10由p是q的充分而不必要条件知NM，所以且不能同时取等号，解得m9.所以实数m的取值范围为9，)答案：9，)17给出下列命题：已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的充分不必要条件；“x0”是“ln(x1)0”的必要不充分条件；“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a1”的充要条件；“
7、平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“ab0”其中正确命题的序号是_(把所有正确命题的序号都写上)解析：因为“a3”可以推出“AB”，但“AB”不能推出“a3”，所以“a3”是“AB”的充分不必要条件，故正确；“x0”不能推出“ln(x1)0”，但“ln(x1)0”可以推出“x0”，所以“x0”是“ln(x1)0”的必要不充分条件，故正确；f(x)cos2axsin2axcos 2ax，若其最小正周期为，则a1，因此“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”是“a1”的必要不充分条件，故错误；“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“ab0”，但由“ab0”，得“平面向量a与b的
8、夹角是钝角或平角”，所以“ab0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故错误正确命题的序号是.答案：能力提升1(2017高考天津卷)设R，则“”是“sin ”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.因为0，sin ，kZ，kZ，所以“”是“sin ”的充分而不必要条件2已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是_解析：因为Ax|1x3，即m2.答案：m23已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出否命题，判断其真假，并
9、证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解：(1)否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)该命题是真命题，证明如下：因为ab0，所以ab，ba.又因为f(x)在(，)上是增函数所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，因此f(a)f(b)f(a)f(b)，所以否命题为真命题(2)逆否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.真命题，可通过证明原命题为真来证明它因为ab0，所以ab，ba，因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f
10、(a)f(b)f(a)f(b)，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题4已知两个关于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，求两方程的根都是整数的充要条件解：因为mx24x40是一元二次方程，所以m0.又另一方程为x24mx4m24m50，且两方程都要有实根，所以解得m.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以所以m为4的约数又因为m，所以m1或1.当m1时，第一个方程x24x40的根为非整数；而当m1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m1.5已知p：x27x120，q：(xa)(xa1)0.(1)是否存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由(2)是否存在实数a，使p是q的充要条件，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：因为p：3x4，q：axa1.(1)因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以綈p綈q，且綈q 綈p，所以qp，且p q，即q是p的充分不必要条件，故x|axa1x|3x4，所以或无解，所以不存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件(2)若p是q的充要条件，则x|axa1x|3x4，所以解得a3.故存在实数a3，使p是q的充要条件7
