1、第6讲 数基础达标1凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(其中kN*)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(其中kN*)C假设nk时正确，再推nk1时正确(其中kN*)D假设nk时正确，再推nk2时正确(其中kN*)解析：选B.因为n为正奇数，所以n2k1(k
2、N*)3用数学归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_解析：当nk时，要证的式子为1k；当nk1时，要证的式子为12，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_解析：因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).答案：f(2n)(n2，nN*)5已知数列an满足，a11，an.(1)求证：an1；(2)求证：|an1an|.证明：(1)由已知得an1，计算a2，a3，a4，猜想an1.下面用数学归纳法证明当n1时，命题显然成立；假设nk时，有an1成立，则当nk1时，ak11，ak1，即当nk1时也成立，
3、所以对任意nN*，都有an1.(2)当n1时，|a1a2|，当n2时，因为(an)(an1)(an)11，所以|an1an|anan1|a2a1|.6(2019温州高考模拟节选)已知数列an，bn满足a12，b14，且2bnanan1，abnbn1.(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4；(2)猜想an，bn的通项公式，并证明你的结论解：(1)因为2bnanan1，abnbn1，且a12，b14.令n1，得到解得a26，b29；同理令n2，3分别解得a312，b316，a420，b425.(2)证明：猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk
4、时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立7(2019台州市高三期末考试)在正项数列an中，已知a11，且满足an12an(nN*)(1)求a2，a3；(2)证明：an()n1.解：(1)因为在正项数列an中，a11，且满足an12an(nN*)，所以a221，a32.(2)证明：当n1时，由已知a11()111，不等式成立；假设当nk时，不等式成立，即ak()k1，因为f(x)2x在(0，)上是增函数，所以ak12a
5、k2()k1()k()k()k()k，因为k1，所以2()k3230，所以ak1()k，即当nk1时，不等式也成立根据知不等式对任何nN*都成立8(2019台州市书生中学月考)已知数列an中，a1，an0，Sn为该数列的前n项和，且Sn1an(1an1)Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)若不等式anan1an2a3n对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论解：(1)因为Sn1an(1an1)Sn，nN*，所以Sn1Snan(1an1)，所以an1an(1an1)ananan1，所以anan1anan1.又an0，所以1，所以构成以2为首项，以1为公差的等差数列，所以2
6、(n1)1n1，所以an，nN*.(2)当n1时，即，所以a.当n1时，已证；假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，即，则当nk1时，有.因为，即，所以0.所以当nk1时不等式也成立由知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25.能力提升1(2019宁波市诺丁汉大学附中高三期中考试)已知数列an满足a13，an1a2an，nN*，设bnlog2(an1)(1)求an的通项公式；(2)求证：1n(n2)；(3)若2cnbn，求证：2()n3.解：(1)由an1a2an，则an11a2an1(an1)2，由a13，则an0，两边取对数得到log2(an11)log2(an1)22 log2
7、(an1)，即bn12bn.又b1log2(a11)20，所以bn是以2为公比的等比数列即bn2n.又因为bnlog2(an1)，所以an22n1.(2)证明：用数学归纳法证明：当n2时，左边为12右边，此时不等式成立；假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立，则当nk1时，左边1kk2k个,k1右边，所以当nk1时，不等式成立综上可得：对一切nN*，n2，命题成立(3)证明：由2cnbn得cnn，所以()n()n(1)n，首先(1)nCCCCC2，其次因为C(k2)，所以(1)nCCCCC11133，当n1时显然成立所以得证2已知数列an的各项均为正数，bnnan(nN*)，e为自然对数的底
8、数(1)求函数f(x)1xex的单调区间，并比较与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1ex.当f(x)0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0时，f(x)单调递减. 故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，). 当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即ne.(2)11112；222(21)232；3233(31)343.由此推测：(n1)n.(*)下面用数学归纳法证明(*)成立当n1时，左边右边2，(*)成立. 假设当nk(k1，kN*)时，(*)成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)k1ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)k1(k2)k1，所以当nk1时，(*)也成立. 根据，可知(*)对一切正整数n都成立. 7
