1、第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质基础达标1(2019嘉兴市七校联考)“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件2. 如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析：选D.由题易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，所以A1C1B1O.3(2019温州中学高三模
2、考) 如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：选C.因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.4(2019浙江省名校协作体高三联考)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()ABCD解析：选A
3、.如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则可知B1D平面ACC1A1，所以DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为2，所以在RtAB1D中，sinDAB1，故选A.5(2019浙江省高中学科基础测试)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAAD，ADBC，ABBC2，PA3，PA底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设m，则“0m2”是“三棱锥CABE的体积不小于1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.过E点作EHAD，H为垂足，则EH平面ABCD.因为VCABEVEABC，所以三棱锥CAB
4、E的体积为EH.若三棱锥CABE的体积不小于1，则EH，又PA3，所以m1，故选B.6(2019绍兴市柯桥区高考数学模拟)如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将ABD翻折成ABD，异面直线CD与AB所成的角为，则()AACACACD解析：选B.因为ABCD，所以ABA为异面直线CD与AB所成的角假设ABBC1，平面ABD平面ABCD.连接AC交BD于点O，连接AA，AC，AO，则AO平面ABCD，AOAOBOCODOAC，所以AAACABAD1，所以ABA，ACD是等边三角形，ACA是等腰直角三角形，所以ACA45，ACDABA60，即ACA，ACD.排除A，C，D.故选B.7. 如图，在A
5、BC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为_解析：作CHAB于H，连接PH.因为PC平面ABC，所以PHAB，PH为PM的最小值，等于2.答案：28. 如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两垂直，且BCCD1.直线BD与平面ACD所成的角为30，则线段AB的长度为_解析：如图，过点B作BHAC，垂足为点H，连接DH.因为CDAB，CDBC，所以平面ACD平面ABC，所以BH平面ACD.所以BDH为直线BD与平面ACD所成的角所以BDH30，在RtBDH中，BD，所以BH.又因为在RtBHC中，BC1，所以BCH45.所以在
6、RtABC中，ABBC1.答案：19(2019台州市书生中学月考)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD，ADCD，PDADDC2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为_；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为_解析：因为ABCD，所以PCD即为异面直线PC与AB所成的角，显然三角形PDC为等腰直角三角形，所以PCD.设AB1，则可计算得，PB3，而点B到平面PDC的距离d等于AD的长为2，所以直线PB与平面PDC所成角的正弦值为.答案：10(2019浙江名校新高考联盟联考)如图，已知正四面体DABC，P为线段AB上的动点(端点除外)，则二面角DPCB的平面角的余弦值的取值范围
7、是_解析：当点P从A运动到B，二面角DPCB的平面角逐渐增大，二面角DPCB的平面角最小趋近于二面角DACB的平面角，最大趋近于二面角DBCA的平面角的补角，故余弦值的取值范围是.答案：11.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若PAAC，D为PC的中点求证：PBAD.证明：(1)设O所在的平面为，由已知条件PA，BC在内，所以PABC.因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径，所以BCA是直角，即BCAC.又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线，所以BC平面PAC.又因为BC在平面PBC
8、内，所以平面PAC平面PBC.(2)因为PAAC，D是PC的中点，所以ADPC.由(1)知平面PAC平面PBC，且平面PAC平面PBCPC.因为AD平面PAC.所以AD平面PBC.又PB平面PBC，所以PBAD.12(2019浙江名校协作体高三质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ADBC，ABBCCD1，DA2，DP平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点(1)求证：PD平面OCM；(2)若AP与平面PBD所成的角为60，求线段PB的长解：(1)证明：设BD交OC于N，连接MN，OB，因为O为AD的中点，AD2，所以OAOD1BC.又因为ADBC，所以四边形OBCD为平行四边
9、形，所以N为BD的中点，因为M为PB的中点，所以MNPD.又因为MN平面OCM，PD平面OCM，所以PD平面OCM.(2)由四边形OBCD为平行四边形，知OBCD1，所以AOB为等边三角形，所以A60，所以BD，即AB2BD2AD2，即ABBD.因为DP平面ABP，所以ABPD.又因为BDPDD，所以AB平面BDP，所以APB为AP与平面PBD所成的角，即APB60，所以PB.能力提升1如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：DFBC；BDFC；平面BDF平面BCF；平面DCF平面BCF
10、，则上述结论可能正确的是()ABCD解析：选B.对于，因为BCAD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则不成立；对于，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234可使条件满足，所以正确；对于，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；对于，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以不成立2(2019绍兴诸暨高考模拟)已知三棱锥ABCD的所有棱长都相等，若AB与平面所成角等于，则平面ACD与平面所成角的正弦值的取值范围是()ABCD解析：选A.因为三棱锥ABCD的所有棱长都相等，所以三棱锥A
11、BCD为正四面体，如图：设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP，则BAP为AB与平面ADC所成角APBP，可得cosBAP，sinBAP.设BAP.当CD与平行且AB在平面ACD上面时，平面ACD与平面所成角的正弦值最小，为sinsincos cossin ；当CD与平行且AB在平面ACD下面时，平面ACD与平面所成角的正弦值最大，为sinsincos cossin ，所以平面ACD与平面所成角的正弦值的取值范围是.故选A.3(2019杭州市高三期末)在ABC中，ABC，边BC在平面内，顶点A在平面外，直线AB与平面所成角为.若平面ABC与平面所成的二面角为，则sin _解析：过A
12、作AO，垂足是O，过O作ODBC，交BC于D，连接AD，则ADBC，所以ADO是平面ABC与平面所成的二面角，即ADO，ABO是直线AB与平面所成的角，即ABO，设AO，所以AD2，在RtADB中，ABD，所以AB，所以sin .答案：4(2019浙江“七彩阳光”新高考联盟联考)已知直角三角形ABC的两条直角边AC2，BC3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角ACPB，此时二面角PACB的正切值为，则翻折后AB的长为_解析：如图，在平面PCB内过P作直二面角ACPB的棱CP的垂线交边BC于E, 则EP平面ACP.于是在平面PAC中过P作二面角PACB的棱AC的垂线，垂足为D，连接
13、DE，则PDE为二面角PACB的平面角，且tanPDE，设DPa，则EPa.如图，设BCP，则ACP90，则在直角三角形DPC中，PC，又在直角三角形PCE中，tan ，则tan a，sin cos2，所以45，因为二面角ACPB为直二面角，所以cosACBcosACPcosBCP，于是cosACPsinACP，解得AB.答案：5(2019浙江模拟)如图，在四棱锥EABCD中，平面CDE平面ABCD，DABABC90，ABBC1，ADED3，EC2.(1)证明：AB平面BCE；(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值解：(1)证明：因为DABABC90，所以四边形ABCD是直角梯形，因为AB
14、BC1，ADED3，EC2.所以CD，所以CE2DC2DE2，所以ECCD，因为平面EDC平面ABCD，平面EDC平面ABCDDC，所以CE平面ABCD，所以CEAB，又ABBC，BCCEC，所以AB平面BCE.(2)过A作AHDC，交DC于H，则AH平面DCE，连接EH，则AEH是直线AE与平面DCE所成的角，因为DCAHABABBC，所以AH，AE，所以sinAEH，所以直线AE与平面CDE所成角的正弦值为.6(2019鲁迅中学高考方向性测试) 四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，E为AB的中点，PA平面ABCD，PC与平面PAB所成的角的正弦值为.(1)在棱PD
15、上求一点F，使AF平面PEC；(2)求二面角DPEA的余弦值解：(1)分别取PD，PC的中点F，G，则FGCDAB，FGCDABAE，所以四边形AEGF为平行四边形，所以AFEG，又EG平面PEC，所以AF平面PEC，所以PD的中点F即为所求(2)易知，CPE即为PC与平面PAB所成的角，在RtPEC中，即，解得：PA2，过D作BA的垂线，垂足为H，过H作PE的垂线，垂足为K，连接KD，因为PA平面ABCD，所以PADH，又DHBA，所以DH平面PBA，所以DHPE，所以PE平面DHK，所以PEDK，所以DKH即为所求的二面角的平面角，在RtDHK中，DH，由于PEHKEHPA，所以HK，从而DK，所以cosDKH，即二面角DPEA的余弦值为.11
